Работа4. Определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний

Цель работы – определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.

Общие сведения

Пусть тело представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед со сторонами а, b, с(см.рисунок). Моменты инерции этого тела относительно соответствующих осей

;

;

.

Здесь оси х,уиzпроходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонамиbс,асиаbсоответственно.

Если тело имеет форму куба, то a=b = cи

.

В данной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний. Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол, то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Она создаст крутящий момент (момент силы) (здесьD– модуль кручения нити подвеса), возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Из теории крутильных колебаний следует, что период колебаний

. (1)

где J– момент инерции.

Так как Dнеизвестен, для его исключения из формулы (1) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого относительно оси вращения или легко рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например, куб, момент инерции которого .

В экспериментальной установке предусмотрена рамка для закрепления различных тел, отличающихся массой и размерами.

Пусть J₀,J_р, иJ– моменты инерции куба, рамки и параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (1) можно записать

(2)

где Т_р– период колебаний рамки;Т₀– период колебаний рамки и куба;Т– период колебаний рамки и параллелепипеда.

Исключая из уравнений (2) DиJ_р, получим

. (3)

Экспериментальная установка состоит из массивного основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в электронной схеме генерируются импульсы, которые после усиления подаются на электронный секундомер.

Порядок выполнения работы

1. Включить установку.

2. Нажатием кнопки «ПУСК» включить электромагнит, который должен удержать рамку прибора.

3. Нажать последовательно кнопки «СБРОС» и «ПУСК», измерить время tдесяти колебаний пустой рамки; вычислить период колебанияТ = t/N, гдеN– число колебаний.

4. Повторить измерения не менее 10 раз и вычислить среднее значение t.

5. Установить в рамку куб и повторить пп.2-3 не менее 10 раз.

6. Установить в рамку параллелепипед и повторить пп.2-3 не менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей).

7. Результаты измерений оформить в виде таблицы:

Номер опыта	t	T			m	m	a	a
1
2
…

8. Обработать результаты измерений. Вычислить момент инерции куба

где m– масса куба, m= 0,962 кг;а– длина ребра куба,а= 5,0 см.

Зная средние значения периодов, по формуле (3) рассчитать , и .

Вычислить средние квадратические ошибки для всех измеренных периодов по формуле

где n– число измерений; – среднее значение соответствующего периода колебаний; – значение периода вi-м опыте.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку момента инерции куба по формуле

где – ошибка при измерении массы, = 2 г; – приборная ошибка, = 1 мм.

Рассчитать средние квадратические ошибки для моментов инерции параллелепипеда относительно осейх, у, z. Так какТ»Т_р и Т₀»Т_р, то формулу для вычисления погрешности можно записать в виде

,

где – средние квадратические ошибки.

Расчеты погрешностей следует провести для всех трех моментов инерции. Окончательные результаты представить в виде .