4.2. Задания на контрольные работы № 5 и №6

Номера задач выбираются по таблице в соответствии с первой буквой фамилии и последними двумя цифрами шифра. Например, студент Иванов, шифр 1-45-5825, решает в контрольной работе 5 задачи 5, 15, 22,31, в контрольной работе 6 - задачи 45, 52, 62, 71.

	Последняя			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	цифра шифра
	Номер контрольной работы		5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
				11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
			6	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
	Предпоследняя			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	цифра шифра
	Номер контрольной работы		5	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
			6	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
				61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
	Первая буква			А,И	Б,О	В,Н	Г,Ф	Д,З	Е,М	Ж,С	К	П	У,Ш
	фамилии			Т	Ц	Х	Я	Л	Р	Ч	Э	Щ	Ю
	Номер контрольной работы		5	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
			6	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80

161

Контрольная работа №5

В задачах 1-10 решить дифференциальное уравнение первого порядка.

1.		y2 +1dx = xydy,						2.	y′ ctgx + y = 2,
3.	y′− y2 x = 2xy,							4.	(y +			xy )dx = xdy,
5.	y	2	+ x	2	y	′	′	6.	xy	′	= y − xe		y / x	,
							= xyy ,
7.	(xy′−1) ln x = 2 y,							8.	y = x (y′− x cos x),
9.	(xy +ex )dx − xdy = 0,							10.	(2x +1)y ' = 2 y + 4.

В задачах 11-20 решить дифференциальное уравнение методом

понижения порядка.
11.	x2 y '' = (y ')2 ,	12.	2yy '' =1 +(y ')2 ,
13.	2xy ' y '' = (y ')2 −1,	14.	2yy ' = (y ')2 ,
15.	yy ''' = y ''− xy '',	16.	y3 y '' =1,
17.	y ''' = 2 (y ''−1) ctgx,	18.	xy ''− y ' = x2 ,

19.y '''−1 = 2 cos 2x −7x, 20. y ''(ey +1)+(y ')2 ey = 0.

Взадачах 21-30 найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

21. y ''+ y '−2 y = 3xex ,	22.	y ''−3y '+ 2 y = cos x,
23. y ''+ y = 4 cos x,	24.	y ''+3y '−4 y = e−4 x ,
25. y ''−5 y ' =15x2 ,	26.	y ''−4 y '+8y = sin 2x,
27. y ''−9 y = e3x cos x,	28.	y ''−2 y '+ y = 6xex ,
29. y ''+ y = x sin x,	30. y ''+ 4 y '+ 4 y = 2xe2 x .

В задачах 31-40 найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.

∞

2

2n−1

(x +1)

2n−1

∞

(

n +1

5

(

x +1

2n

31.

∑

,

32.

∑

)

)

,

(4n

+3)

2

2n +1

=

=

n 1

n 1

33.

∑(−1)n−1

(2n +1)2 (x +2)n ,

34. ∑

(x −7)

2n−1

,

∞

∞

n=1

n=1

(2n −1)(2n −1)!

162

35.

2n−1

,

36. ∑(x +6)n−1 (n + 2)!,

∑(x +5)n

∞

∞

n=1

2n 4

n=1

∞

(3n −2)(x +3)n

∞

n

(x −3)n

37.

∑

3

,

38. ∑(−1)

,

(n

1)

2

(

)

n=1

+

n+1

n=1

n +1

2n +1

∞

n

2

n

∞

(

x +5

n

39.

∑

x

,

40. ∑

n)

.

n +1

n! 5

n=1

2

n=1

Контрольная работа №6

В задачах 41-50 разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда

41.a) f (x)= ln (1 − x2 ),

42.а) f (x)= ex−1,

43.а) f (x)= x sin2 2x,

44.а) f (x)= 2x sin (5x2 ),

45.а) f (x)= ln (4 + x2 ),

46.а) f (x)= e3x −2e−x ,

47.а) f (x)= x3 e3x−1,

48.а) f (x)= xe−x2 ,

49.a) f (x)= ln (2x +3),

50.а) f (x)=1+sin 4x,

б) f (x)= 1+1x4 ,

б)

f (x)=

x2

,

1

+8x3

б)

f (x)=

4x

,

3

−2x

б)

f (x)=

3x

,

x +5

б)

f (x)=

2x2

,

2x +

3

б)

f (x)=

8x3

,

2 + x

б)

f (x)=

4

,

2x +

5

б)

f (x)=

x2

.

3

−27x2

б) f (x)=

x

,

9

+ x2

б)

f (x)=

9 − x2

.

4 − x2

163

В задачах 51-60 построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

51.	∫4 dx	7∫−x		f (x, y)dy,	52.	∫6	dx x∫−1			f (x, y)dy,
	0	1	x+1			0		x2
									−1
		2
								6
	2	4−x2				1		x2
53.	∫dx		∫	f (x, y)dy,	54.	∫dx		∫ f (x, y)dy,
	0	4−2 x2				0		x4
	1	3−2 x		f (x, y)dy,		2		(x−1)2		f (x, y)dy,
55.	∫dx		∫		56.	∫dx		∫
	0		x			0		0
	2	x+2				1		ex
57.	∫dx ∫			f (x, y)dy,	58.	∫dx		∫ f (x, y)dy,
	−1	x2				0		e−x
	2	2 x		(x, y)dy,		1		2−x2		f (x, y)dy.
59.	∫dx	∫ f			60.	∫dx		∫
	0	x				0		x

61.Вычислить площадь части поверхности цилиндра z2 = 4x , лежащей в I октанте, вырезанной цилиндром y2 = 4x и плоскостью x =1.

62.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y2 = x +1 и

x+ y =1.

63. Вычислить площадь части конической поверхности	z = x2 + y2 ,
вырезанной плоскостями x = 0, y = 0, x + y =1, x + y = 2	и лежащей в I
октанте.

64.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, ограниченного снизу плоскостью Oxy , сверху – цилиндром z = x2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y = 5 , x −2 y = 2 , y = 0.

65.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, ограниченного снизу плоскостью Oxy , сверху – эллиптическим параболоидом

z = x2 + y2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y =1, x = 0, y = 0.

66.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, которое снизу ограничено плоскостью z = 0 , сверху – цилиндром 8z = y2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y = 2 , x = 0, y = 0.

67.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, которое ограничено снизу плоскостью z = 0 , сверху – плоскостью x + z = 6 ,

сбоку – поверхностями y = x и y = 2 x .

68. Найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью z = 0 , сверху –

164

цилиндрической

поверхностью

z = 4 − x2 ,

сбоку

–

вертикальными

плоскостями y = ±x

(x ≥ 0).

ρ(x, y),

69. Найти массу пластины с плотностью

ограниченную

линиями: x = y , x −3y =1,

y =1, y = 3, если ρ(x, y)= y .

70. Найти массу пластины,

заданной неравенствами

y ≥ x2 ,

y − x ≤ 2,

y + x ≥ 2, если ее плотность ρ(x, y)= x + 2 .

В задачах 71-80 вычислить криволинейные интегралы по кривой L :

71.

∫

(x2 + y)dl, где L - отрезок AB , где A(0;1) и B(−2;3).

L

72.

∫(x + y)dl,

где кривая

L задана параметрически

x = cos t,

y = sin t,

L

0 ≤ t ≤ π.

2

73.

∫xydl,

где

кривая

L есть

часть окружности

x2 + y2 =1,

лежащая

в

L

первой четверти.

74.

∫ydl, где кривая

L

есть дуга параболы

y2 = 2x

от точки

A(2; 2)

до

L

точки B(8; 4).

75.

∫

dl

,

где кривая

L

задана параметрически

x = cos t +t sin t,

2

2

L

x

+ y

y = sin t −t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.

76.

∫(2 − y)dx + xdy,

где

кривая L задана

параметрически

x = t −sin t,

L

y =1−cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.

77.

∫

ydx + xdy

, где L - отрезок

AB , где A(0;0) и B(1;1).

1 + x

2

y

2

L

78.

∫ydx −(y + x2 )dy,

где

кривая L есть

дуга параболы

y = 2x − x2

от

L

A(2;0) до точки B(0;0).

точки

79.

∫2xydx + x2dy, где L - отрезок AB , где

A(0;0) и B(1;3).

80.

∫L (−x2 + xy)dx − xydy,

где

L есть дуга

кривой

x2 + y2 =1

от точки

L

A(0;1) до точки B(1;0).

165

4.3. Блок тестов текущего контроля Тренировочные тесты

Тест №1

1.Укажите, которые из написанных уравнений являются уравнениями первого порядка?

а) (y ')3 + 3y2 x + y ' x4 + 5 = 0 ;						б) y '+ xy + 2 y " = 0 ;
в) (y +	xy )dx = xdy ;				г) xy "+ y ' =1 + x .
1) только а;		2) только б; 3) только в;					4) только а и в; 5) а, б и г.
2. Которая	из функций: а)				y = cos 3x ;	б)	y = sin 3x	является решением
дифференциального уравнения y "+ 9 y = 0 .
1) только а;				2) только б;		3) и а, и б;		4) ни а, ни б.
3. Из приведенных выражений выбрать общее решение дифференциального
уравнения		y '−	3y	= x :
			x
1) y = 3x3 − x2 ;					2) y = Cx3 − x2 ;
3) y = 3x3 −Cx2 ;					4) y = 3x2 +C (1 − x2 ).

4. Через начало координат проходит кривая, в каждой точке которой угловой коэффициент касательной равен утроенной абсциссе точки касания. Каково

	ее уравнение?				3
	1) y = 3x ;	2) y = 3x2 ;	3)	y =		x2	;	4) y2 = 3x .
					2

5. Которая из функций является решением задачи Коши для уравнения y ' = 3y2

при начальных условиях y(1) = 12 :

	1) y = 5 + 3x ;	2)	y =		1	;	3) y = −	1	;	4) y =	2
				5	−3x			3x +5			3x +1

.

Тест №2

1.Является ли дифференциальное уравнение первого порядка

x+ xy + y′(y + xy)= 0

1)уравнением с разделяющимися переменными;

2)однородным;

3)линейным относительно неизвестной функции y(x) ;

4)линейным относительно неизвестной функции x( y) .

2.Имеются ли среди уравнений:

а) (y + xy )dx = xdy;

б) xy′ = y − xey x ;

в) x2 + y2 = 2xyy′

однородные дифференциальные уравнения первого порядка?

166

1)

однородное только в);

2) однородные только а) и в);

3)

все однородные ;

4) не имеются.

3. Частное решение дифференциального уравнения (x2 +1)y′ = 2x(4 − y) при

y(0) =1 имеет вид:

1)

y = 4 −

3

;

2)

y

=

4x2

−3

;

3) y = 4 +

1

;

4) y =

4x2

.

x2

+1

x2 +1

x2 +1

x2 +1

4. Которое из следующих выражений:

а)

y = 2 + 2C cos x;

б)

y = 2 −C cos x;

в)

y = C sin x −3x;

г)

y = sin x +cos x +3x

′

= 2 ?

является общим решением уравнения y ctgx + y

1)

а;

2) б;

3) в;

4) г;

5) Нет общих решений.

5. Функция

f (x)

удовлетворяет

дифференциальному

уравнению

(1+ x2 )f ′(x) =1 и, если

f (0) =1, то чему равно

f (1) ?

1)

π −1;

2)

π

;

3) π

+1;

4) 167

2

4

4

Тест №3

1. Сколько произвольных постоянных должно быть в общем решении дифференциального уравнения

(y′′)2 − y′′′+ 2 y′ = 0

1) одна;

2) две;

3) три;

4) четыре.

2. Укажите из предложенных дифференциальных уравнений:

а) xy

′′

=1;

б) y

′′

= 2(y

′

−1)ctgx;

в) y

′′

=

′

г) x

−1

y

′′

= sin x

2xy ;

те, понизить порядок которых можно, применив непосредственное последовательное интегрирование.

1) а, б и в; 2) а и б; 3) а и г; 4) а, в и г. 3. Имеются ли среди дифференциальных уравнений: а) xy′′ = y′− xy′;

б) (

)

2

в)

(

)

2

г)

(

)

2

y

′

+ 2 yy

′′

= 0;

′

′′

=

y

′

+1

+1;

yy

′′

+1

=

y

′

2xy y

уравнения, для понижения порядка которых следует применить подстановку

y′ = z(x) ?

1) а и б;

2) а и в;

3) только а;

4) а, б и г.

4. Укажите, для каких дифференциальных уравнений:

а) y

′′

cos 2x = tgx;

′

2

+ 2 yy

′′

= 0;

в) 1+ y

′

′′

г) e

2 x

y

′′

= xy

′

б) (y )

= yy ;

целесообразнее всего применить замену переменных y′ = p( y) ?

1) а, б и г;

2) б, в;

3) б, г;

4) а, г.

167

5. Найдите частное

решение дифференциального

уравнения

(

x +1

2

y

′′

=1

,

)

удовлетворяющее начальным значениям y(0) = 0,

′

=1.

y (0)

1)

y = 2x −ln(x +1) ;

2) y =

2x

;

3)

y = −

x

+2x ;

4)

y =

1

−

1

x .

x +1

x +1

2

x +1

Тест №4

1. Имеются ли среди систем функций линейно независимые:

а) ex , e2 x ;

б) e2 x , 2e2 x ;

в) ex , e−x ;

г)

x, 2x

1)

все а, б, в, г;

2) только а и б;

3)

только а и в;

4)

только г.

2.Укажите фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y′′+ y′ = 0.

1) ex , e−x ;

2) 1, ex ;

3) 1, e−x ;

4) cos x, sin x.

3.Известно, что функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) являются решениями уравнений y ''+5y '−4 y = 0 и y ''+5xy '−4x2 y = 0 . Для которого из них функция

ϕ(x) = 2ϕ1 (x) −5ϕ2 (x) также является решением:
1)	только для первого;		2) только для второго;
3)	и для первого и для второго; 4) ни для первого ни для второго.
4. Значение		определителя	Вронского W =		y1	y2		'		для функций
					y '	y	2
					1
y1 = cos x; y2		= sin x равно:	3)cos2x;							4) sin2x.
1) 1;		2) -1;

5. При каком значении b функция y(x) = 2x2 +b является решением уравнения y ''+3xy '−2 y =8x2 ?

1) b=2; 2) b=0; 3) b=3; 4) b=2x.

Тест №5

1.Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y′′+ 4 y′−5 y = 0.

1)	y = C1ex +C2e−5x ;	2)	y = ex (C1 sin 5x +C2 cos 5x);
3)	y = e5x (C1 cos x +C2 sin x);	4)	y = C1e−x +C2e5x .

2. Укажите линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого

функция y = e3x (C1 cos 2x +C2 sin 2x)				была бы общим решением.
1)	y′′−6 y′+5 y = 0;	2)	y′′−6 y′+13y = 0;
3)	y′′−5 y′+6 y = 0;	4)	y′′−4 y′+9 y = 0.
3. Найдите методом		неопределенных		коэффициентов частное решение y
			168

неоднородного линейного дифференциального уравнения												y′′+ 4 y′ = f (x) ,
соответствующее правой части				f (x) = 4x +5 .
1) y = −2x +3;	2) y = 2x	2	+	1	x;	3) y =	1	x	2	+ x;	4)	y =	1	x +1.
				4			2						2

4. Укажите линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , для которого числа λ1 = 3 и

λ2	= −2 являются корнями характеристического уравнения:
1)	y′′− y′−6 y = 0;	2) y′′+ y′−6 y = 0;
3)	y′′+ y′+5 y = 0;	4) y′′+5 y′− y = 0.

5. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

	y′′+9 y = 2 sin x равно:						1
	1) y =C e3x	+C e−3x +2sin x−2cos x;		2)	y = C e−9 x	+ xC e−9 x +			sin x;
	1	2			1	2	10
			1 sin x;
	3) y = C1 sin 3x +C2 cos 3x −			4)	y =C1 sin3x +C2 cos3x −		1	(sin x +cos x).
			5				5

Тест №6

1.Характеристическим уравнением линейной однородной системы

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

	dy			= 3y +3z,
				является
	dx
		dz		= 4 y +2z
	dx

1)

3 −λ 3

=0,

2)

3+λ

3

=0,

3)

3−λ

4

=0,

4)

3+λ 4

=0.

4

2 −λ

4 2+λ

2 3−λ

3 2 +λ

2.

Какой из наборов функций: а) y1 = ex , z1 = ex ; б)

y2 = 2e−2 x ,

z2 = −e−2 x

dy

= −y +2z,

является частным решением системы dx

dz

= y.

1) только а;

2) только б;

dx

3) и а и б;

4) ни а, ни б.

dy

= 3y + z,

3.

Найти общее решение линейной однородной системы dx

dz

= 2 y +2z.

dx

= C1e

4 x

,

= C1e

4 x

+ C2e

x

,

1)

y

2)

y

= C

ex.

ex.

z

z = C e4 x − 2C

2

1

2

169

			4 x		x	,
3)	y = 2C1e			+ C2e
					ex.
	z = C e4 x − 2C
		1		2

y = C1ex −C2e4 x ,

4) z = 2C2ex.

4. К какому дифференциальному уравнению второго порядка сводится система

	dy = y −4z
	dx		при использовании метода исключения:
dz		= −3y +2z
dx

1) y′′−2 y′−10 y = 0; 2) y′′−3y′−10 y = 0; 3) y′′− y′+12 y = 0; 4) y′′−10 y′+3y = 0.

dy = 5 y −3z

5. Если система дифференциальных уравнений

dx

имеет общее

dz

= −2 y +4z

dx

y = C e7 x

+C

e2 x ,

1

2

e2 x , , то частным решением, удовлетворяющим

решение z = −

2 C e7 x

+C

3

1

2

начальным условиям

y(0) = 0;

z(0) = 5

будет:

7 x

+5e

2 x

,

7 x

,

7 x

−5e

2 x

,

5e

2 x

,

1)

y = −3e

2)

y = −3e

3)

y = 3e

4)

y =

= −2e7 x +5e2 x ,

,

z = 2e7 x +5e2 x ,

z = 5e2 x ,

z

z = 2e7 x

Тест №7

1.Основной задачей вариационного исчисления является

1)отыскание экстремальных значений функционалов;

2)определение вариаций функции;

3)нахождение сильной и слабой окрестностей функции;

4)решение уравнения Эйлера.

2.Уравнение Эйлера представляет собой

1)линейное алгебраическоеуравнение;

2)дифференциальное уравнение в частных производных;

3)обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

4)обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

3.Управление называется допустимым на отрезке, если управляющий вектор

1)принимает значение только из области управления ,

2)является кусочно-непрерывным;

3)удовлетворяет одновременно условиям 1) и 2);

4)не имеет ограничений.

4. Выражение H = p1 f1 + p2 f2 +... + pn fn = pT f , называется

1)фазовым пространством ;

2)присоединенной вектор-функцией;

3)вектором управления;

170

4)функцией Гамильтона .

5.Принцип максимума Понтрягина применим

1)только к замкнутому множеству ;

2)только к закрытому множеству ;

3)к любому множеству ;

4)только к множеству достижимости .

Тест №8

1. С помощью первого признака сравнения выяснить сходимость ряда

	∞	1		1		1			1
	∑		=1 +		+			+... +			+...,
		3 n		3 2		3	3		3	n
	n=1

сравнив этот ряд с гармоническим рядом.

1)ряд сходится по первому признаку сравнения;

2)ряд расходится по первому признаку сравнения;

3)для сравнения следует взять другой ряд;

4)следует применить другой признак сравнения.

2. С помощью второго признака сравнения рядов исследовать на сходимость

		∞				1
	ряд	∑ ln		1	+		, сравнив этот ряд с гармоническим рядом.
		n =1				n

1)ряд сходится по второму признаку сравнения;

2)ряд расходится по второму признаку сравнения;

3)для сравнения следует взять другой ряд;

4)следует применить другой признак сравнения.

3.

С

помощью

необходимого

признака выяснить сходимость ряда

∞

3n +1

4

7

10

3n +1

∑

=

+

+

+... +

+... .

5n −2

3

8

13

5n −2

n=1

1) ряд сходится;

2) ничего сказать нельзя;

3) ряд расходится; 4) следует использовать другой признак сходимости.

4. Применяя интегральный признак Коши, исследовать сходимость ряда

∞

1

1

1

1

∑

=1+

+

+... +

+... .

3

3

3

n

3

n=1 n

2

3

1)ряд сходится;

2)ряд расходится;

3)ничего сказать нельзя;

4)следует использовать другой признак сходимости.

		∞	1
	5. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда ∑			.
		n=1 n(n +1)
	1)	согласно признаку Даламбера ряд сходится;
	2)	согласно признаку Даламбера ряд расходится;
	3)	ничего сказать нельзя;
	4)	следует использовать другой признак сходимости.
		171

Тест №9

1. Используя теорему Вейерштрасса, выяснить вопрос о равномерной сходимости функционального ряда

1 +sin x		+	1 +sin(2x)		+... +	1 +sin(nx)		+...
	3			32			3n
1) ряд равномерно сходится при всех x;					2) ряд расходится при всех x;

3)ряд равномерно сходится только при x (−π,π) ;

4)ряд расходится при x (−π,π) ;

2. Исследовать область сходимости степенного ряда

∞

(x +1)

2n−1

1

(x +1)

3

(x +1)

5

(x +1)

2n−1

∑

=

(x +1)

+

+

+... +

+...

(2n −1) 22n−1

1 21

3 23

5 25

(2n −1) 22n−1

n=1

1)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-5,3];

2)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-5,3);

3)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-3,1);

4)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-3,1].

3. Найти область сходимости и радиус сходимости степенного ряда ∑∞ (x +3)n .

n=1 n3

1)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-4,-2], радиус сходимости равен R =1;

2)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-4,-2), радиус сходимости равен R =1;

3)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-1,1), радиус сходимости равен R =1.

4)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [1,1], радиус сходимости равен R =1

4.

Написать разложение в ряд Тейлора функции

f (x) =

5

в окрестности

x2

точки x = −1 .

∞

∞

∞

n

1)

f (x) =5 ∑ (n+1)(x +1)n ; 2)

f (x)=5 ∑ (n+1)!(x−1)n;

3)

f (x) =5

∑

(n+1)

(x+1)

.

n =0

n=0

n =0

n!

5. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) = xex2 .

∞

2n +1

∞

n2

+1

∞

x

2

1)

f (x) = ∑

x

, -∞<x<∞;

2) f (x) = ∑

x

, |x|<1; 3)

f (x) =

∑

, |x|<1.

n = 0

n!

n =0

n!

n = 0 n!

172

Тест №10

1. Определите, чему		равен	∫∫dxdy ,	не вычисляя его,		если	D -		область,
			D
ограниченная координатными осями и прямой x + y = 4 .
	1) 4;		2) 8;	3) 16;	4) 0.
2. Выберите повторный интеграл, к				которому	сведется	двойной			интеграл
∫∫ f (x, y)dxdy		по области D ,		y = x2	y
D
заштрихованной на рисунке.									x = 2
2	− y
1) ∫dy ∫ f (x, y)dx ;
0	− 4−y
− 2	x2				O				x
2) ∫ dx ∫ f (x, y)dy;				y = 4 − x2
−2	4−x2
2	4−y	2	x2
3) ∫dy ∫ f (x, y)dx ; 4) ∫ dx ∫ f (x, y)dy .
0	y	2	4−x2
3. Выберите повторный интеграл, к				которому	сведется	двойной			интеграл
∫∫ f (x, y)dxdy		при переходе к		полярным	координатам.		Область D
D

		заштрихована на рисунке.
	π	1
1)	∫2 dϕ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr ;
	0	0
	π	1
2)	∫2 dϕ∫ f		(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ;
	0	0
	π	2sin ϕ
3)	∫2 dϕ ∫		f (r cos ϕ, r sin ϕ)dr ;
	0	0

y

x2 + y2 = 2 y

O x

π	2sin ϕ
4) ∫2 dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

0 0

4. Вычислите	∫∫y2dxdy ,		где D -	область, ограниченная осями координат,
	D
прямой x =1		и кривой y = ex .
e3 −1			e3		e3 −1		4) e3 .
1)	9	;	2) 3 ;	3)	3	;
				173

4dxdy

5. Переходя к полярным координатам, вычислите ∫∫( 2 2 )2 , где область

D x + y

D задается неравенствами: x2 + y2 ≤1,				x + y ≥1.
	π
1) 0;	2) 2	;	3) 2;	4) 4.

Тест №11

1.Найдите дифференциал dl длины дуги кривой y = 2e−x 2 .

1) 2e	−x	2 dx ;	2) −e	−x	2 dx ;	3) 1+e−x dx ; 4) 1−e−x dx .

2.Найдите дифференциал длины дуги кривой x = 3 cos t, y = 2 sin t .

1)			4 +5sin2 tdt ;								2)		6 sin t cos tdt ;
3)	6sin t cos tdt ;										4) (2 cos t −3sin t )dt .
3.			Найдите массу дуги материальной кривой y = 2																	x −1			между точками
			A(0; −1) и B(4;3) , если плотность вещества																μ = (2				x − y)/			1 + 1 .
																										x
1) 4;				2) 1;							3) 2		2 ;					2	2 + 4
																		4)	3	.
												x2 + y		2
4.			Вычислите		интеграл						∫						dl ,	где	L	-			дуга			кривой
													x2
											L							2 ) до точки B (2;0).
			x = 2 cos t, y = 2 sin t						от точки A(					2;
1)		1	;	2) π	+ 2 ;						3) 2		2 ;					4) 2.
	3
				4																				1
5.			Вычислите интеграл					∫			x2 + y2 dl , где							L - дуга кривой					y =			от точки
																								x
								L
			A(1;1)	до точки B					1
							3;				.
									3
1)	2 82 ;				2) 2	2	;						3) 5		1		;		4) 9		1	.
														3						3
			3		9

174

Тест №12

1.	Вычислите	интеграл	∫(y −3)dx + xdy , где			L - отрезок прямой
			L
	y = 2x +3 от точки A(0;3) до точки B(−1;1) .
		1) -2;	2) 2;		3) 3;	4)-6.
2.	Вычислите интеграл ∫(x +2 y)dx −2xdy , где L - дуга верхней половины
		L
	эллипса (y ≥ 0) x = 2 cos t,			y = sin t	от точки A(0;1) до точки B(2; 0) .
	1)	−2 − 2π;	2)	2 + 2π;	3) 2;	4)-2.

3.Выберите двойной интеграл, к которому с помощью формулы Грина

сведется криволинейный интеграл ∫3xydx +(2x2 + 2 y2 )dy .

		L
1) ∫∫7xydxdy ;	2) ∫∫xdxdy ;	3) ∫∫ydxdy ;	4) ∫∫7xdxdy .
D	D	D	D

4. Проверьте справедливость	утверждения: криволинейный интеграл
∫(2xy +3y2 )dx +(x2 +6xy)dy не зависит от пути интегрирования.
L
1) утверждение справедливо;	2) утверждение несправедливо.

5.Найдите функцию U (x, y) , если dU (x, y) = cos ydx − x sin ydy .

	1)	x + x cos y +C ;		2)		2x cos y +C ;
	3)	x cos y +C ;			4) sin y + x cos y +C .
			Ответы на тренировочные тесты
					№ вопроса
№ п/п	№ темы
	(раздела)							4
			1	2		3			5
1		1.1	4	3		2		3	2
2		1.2	1	3		1		2	3
3		2.1	3	3		2		2	1
4		2.2.	3	3		3		1	1
5		2.3	1	2		3		1	3
6		3	1	3		2		2	1
7		4	1	2		3		4	3
8		5.1	2	2		3		1	3
9		5.2	1	3		1		1	1
10		6.1	2	4		4		1	3
11		6.2	3	1		1		4	4
12		6.3	2	2		2		1	3
				175