Вопросы для самопроверки по теме 6.3

1.Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.

2.Перечислите свойства криволинейного интеграла второго рода.

3.Какой механический смысл имеет криволинейный интеграл второго рода?

4.Что происходит с интегралом второго рода при изменении направления движения по кривой.

5.Напишите формулу Грина.

6.Сформулируйте теорему об условиях независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Заключение

Изложенный в опорном конспекте лекций учебный материал послужит основой для изучения не только последующих разделов математики, но и остальных технических дисциплин.

3.3. Глоссарий

Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд, если сходится

ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Асимптотически

устойчивое

решение

y1 = ϕ1(t), y2 = ϕ2 (t)

системы

уравнений

y′

=Y (t, y , y

2

),

y′

=Y (t, y , y

2

),

отвечающее

начальным условиям

1

1

1

2

2

1

y1 (t0 )= y10, y2 (t0 )

= y20

-

устойчивое

по

Ляпунову

и,

кроме

того,

lim (ψ (t) − ϕ (t)),

lim (ψ

2

(t) − ϕ

2

(t))= 0,

где

ψ (t), ψ

(t)

- решение

данной

t→+∞

1

1

t→+∞

1

2

системы

уравнений,

отвечающее

начальным

условиям

y1 (t0 )= y10 + δ1, y2 (t0 )= y20 + δ2 , где δ1

и δ2 - достаточно малые по модулю

величины.

Вариации величин

y1

и

y2

-

разности x1(t) = ψ1(t) −ϕ1(t), x2 (t) = ψ2 (t) −ϕ2 (t) ,

где

y1 = ϕ1(t),

y2 (t) = ϕ2 (t)

и

y1 = ψ1(t),

y2 = ψ2 (t)

-

частные

решения

системы

уравнений

y′

=Y (t, y , y

2

),

y′

=Y

(t, y , y

2

),

отвечающие соответственно начальным

1

1

1

2

2

1

условиям

y1 (t0 )= y10 , y2 (t0 )= y20

и

y1 (t0 )= y10 + δ1, y2 (t0 )= y20 + δ2 ,

где δ1

и

δ2 -

достаточно малые по модулю величины, называемые возмущениями.

Вещественным

степенным

рядом

называют

ряд

a

+ a z + a

2

z2 +... + a

n

zn +..., где

значения

z

могут

быть

только

0

1

вещественными, а коэффициенты ряда - также вещественные числа.

139

Второй признак сравнения положительных рядов.

Пусть a1 + a2 +... + an +... (A) и b1 + b2 +... +bn +..., (B) - два положительных ряда, причем можно указать такие постоянные m > 0 и

M > 0, что, начиная с некоторого n , выполняются неравенства m ≤ an ≤ M . bn

Тогда ряды (A) и (B) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

		∞ 1				1		1		1
Гармоническим рядом называется		ряд ∑		=	1 +		+		+... +		+...,
						2		3		n
который расходится.		n=1 n
Геометрическим	рядом			называют							ряд
∞
∑ a qn−1 =a + aq + aq2 +... + aqn−1 +...,		члены			которого				образуют

n=1

геометрическую прогрессию.

Дифференциальные уравнения – уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций.

Дифференциал длины дуги кривой y = f (x) на плоскости –

dl = 1 + (y′(x))2 dx.

		n
Двойной интеграл-	∫∫ f (x, y)dxdy = lim ∑ f (xi , yi )				Si ,
n	D	λ→0 i=1
где ∑ f (xi , yi ) Si	- интегральная	сумма	для	функции	f (x, y) ,
i=1				S1, S2 ,..., Sn
соответствующая выбранному разбиению		области	D;			-
площади областей, на которые разбита область D;			λ - максимальный			из
диаметров областей, на которые разбита область .

Задача Коши для уравнения n -го порядка, разрешенного относительно старшей производной, – отыскание такого решения уравнения, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение вместе с заданными значениями производных вплоть до n −1-го порядка.

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Знакочередующимся называется знакопеременный ряд, если соседние его члены имеют различные знаки, т.е. anan +1 < 0.

Интегральный признак Коши сходимости положительных рядов.

Пусть дан ряд a1 + a2 +... + an +...(A), члены которого положительны и не

возрастают, т.е. a1 ≥ a2 ≥... ≥ an ≥... . Пусть введена функция f (x), определенная для всех x ≥1, непрерывная, невозрастающая и такая, что

140

f (1) = a1, f (2) = a2 ,..., f (n) = an ,... .

Имеет место следующая теорема:

Для сходимости ряда (A) необходимо и достаточно, чтобы сходился

∞

несобственный интеграл

∫ f (x)dx.

Интервалом

1

сходимости

вещественного

ряда

a

+ a x + a

2

x2

+... + a

n

xn +...

называется множество значений переменной

0

1

соотношению −R < x < R .

Число R

x ,

удовлетворяющих

называется

радиусом сходимости.

f (M )

Криволинейный интеграл первого рода от функции

по кривой

АВ

n

∫

(

)

(

i ) i ,

f

∑

f

M

M dl = lim

l

n

AB

λ→0 i=1

где ∑ f (Mi )

li

-

интегральная

сумма

для функции

f (M ),

i=1

соответствующая выбранному разбиению дуги АВ; λ - максимальная

из длин

дуг, на которые разбита дуга АВ.

Криволинейный интеграл второго рода по переменной х от функции

P(x, y, z) пo кривой АВ от точки А до точки В

n

∫

P(x, y, z)dx = lim

∑P(xi; yi; zi )

xi ,

n

AB

λ→0i=1

(xi; yi; zi )

где

∑P

xi -

интегральная

сумма

для

функции

i=1

P(x, y, z) , соответствующая выбранному разбиению дуги

АВ;

λ -

максимальная из длин дуг, на которые разбита дуга АВ.

Комплексным

степенным

рядом

называют

ряд

a

0

+ a z + a

2

z2

+... + a

n

zn +..., где переменная

z

принимает комплексные

1

значения, а коэффициенты ряда - комплексные числа.

Кругом

сходимости

комплексного

ряда

a0 + a1 z + a2 z2 +... + an zn +... называется множество всех комплексных чисел, для которых | z |< R, и которые образуют на плоскости комплексных чисел

круг радиуса R с центром в точке 0.

Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка – уравнения вида

y	(n) + p	(x)y(n−1) + p	2	(x)yn−2	+... + p	n−1	(x)y '+ p	n	y = f (x),	где y искомая
	1
							141

функция аргумента x , а функции p1 (x), p2 (x), … , pn (x), f (x) заданы и непрерывны на промежутке (a, b). Если f (x)≡ 0 на (a, b), то это уравнение называется однородным.

Метод И. Бернулли – отыскание решения уравнения y '+ p (x)y = q (x) в виде y = u (x) v (x), где функции u (x) и v (x) непрерывно дифференцируемые

на промежутке X .

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) –

отыскание решения уравнения y '+ p (x)y = q (x), где p (x) и q (x) - заданные непрерывные функции на промежутке X , в виде y = C (x)e−∫p(x)dx , где функция

C (x) подлежит определению.
Необходимый и достаточный признак сходимости.					Для того чтобы
	∞
положительный	ряд ∑ an	сходился, необходимо и достаточно чтобы				его
	n =1	Sn
частичные	суммы		были	ограничены	сверху,	т.е.

Sn ≤ M (M = Const, n =1, 2,...).

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член an сходящегося

ряда стремится к нулю при n → ∞.

∞

Неотрицательным рядом называют ряд ∑ an , все члены которого

n=1

неотрицательны, так что an ≥ 0.

Нормальная система дифференциальных уравнений – система

уравнений вида	y′	=	f	k	(x, y , y	2	,..., y	n	), где k =1, 2, 3,..., n ; f	k	- заданные
	k				1

функции своих аргументов, а yk (x) - искомые функции.

Областью сходимости функционального ряда называется множество

всех значений переменной x , для которых сходится функциональный ряд.
Общее	решение	уравнения		y ' = f (x, y)		в	области	D	-	функция
y =ϕ (x, C )	непрерывно		дифференцируемая по			x , удовлетворяющая двум
условиям:	1) равенство		y =ϕ (x, C )	разрешимо		в	области D относительно
произвольной постоянной C , так что C =ψ (x, y), 2) функция ϕ (x, C )										является
решением	уравнения	y ' = f (x, y)		для всякого			значения	постоянной			C ,
полученной из формулы			C =ψ (x, y),		в которой точка (x, y) -				любая точка
области D .								y ' = f (x, y),
Однородное уравнение первого					порядка	–	уравнение				у

которого правая часть есть однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.

142

Однородная функция степени m относительно переменных x и y -

функция Φ(x, y), для которой умножение каждого из ее аргументов на одно и то же число λ > 0 равносильно умножению ее на λm .

ϕ1

ϕ2

...

ϕn

Определитель Вронского – W =

ϕ1 '

ϕ2 '

...

ϕn '

,

где

ϕ(x),

ϕ

(x),

...

...

... ...

1

2

ϕ(n−1)

ϕ(n−1)

ϕ(n−1)

) - (

1

2

n

).

…,

ϕ

x

n−1

a, b

n (

) раз дифференцируемые функции на промежутке (

Первый признак сравнения положительных рядов. Пусть даны два

положительных ряда

a1 + a2 +... + an +... (A)

и b1 + b2 +... +bn +...,

(B)

причем члены ряда (А), начиная с некоторого номера k, не превосходят соответствующих членов ряда (В): an < bn , n = k, k +1,... .

Тогда из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

b	ψ( x)
Повторный двукратный интеграл - ∫dx ∫ f (x, y)dy.
a	ϕ( x)

Признак Вейерштрасса			равномерной сходимости. Функциональный
ряд u1 (x) +u2 (x) +... + un (x) +... сходится				абсолютно	и	равномерно в
интервале	(a,b),	если	существует	сходящийся		числовой	ряд
c1 + c2 +... + cn +...,		члены	которого положительны		и	превосходят

абсолютные величины соответствующих членов функционального ряда при

всех x из интервала (a,b), т.е. | un (x) |≤ cn

(n =1, 2,...).

Признак Даламбера

сходимости

положительных рядов.

Если

отношение последующего

члена

ряда

к

предыдущему

an+1

,

начиная с

a

an+1

n

некоторого значения n,

удовлетворяет неравенству

≤ q <1,

где

q не

a

зависит от n, то ряд

a1 + a2 +... + an +...

n

сходится.

Если же наоборот,

начиная с некоторого n,

имеем

an+1

≥1,

то данный ряд расходится.

a

n

Признак сходимости Лейбница. Если абсолютные величины членов

знакочередующегося

ряда

a − a

2

+ a

−... + (−1)n+1 a

n

+...образуют

1

3

143

монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т.е.

если a ≥ a		≥ a ≥... ≥ a		≥..., и	lim a = 0	, то ряд сходится.
1	2	3	n		n→∞ n

Порядок дифференциального уравнения – порядок старшей производной,

входящей в дифференциальное уравнение.

Равномерно сходящимся в промежутке (a,b) называется ряд, для которого при любом заданном ε > 0 можно найти такое число N , не зависящее от x , чтобы при любом значении x из промежутка (a,b)

выполнялось

неравенство

| rn (x) |< ε

при

всех

n > N,

где

rn (x) = S(x) − Sn (x) - остаток ряда.

z2

zn

Радиусом сходимости

ряда a

+ a z + a

2

+... + a

n

+... называется

0

1

неотрицательное число R , которое обладает следующими свойствами: ряд

сходится абсолютно при | z |< R, и ряд расходится при | z |> R.

x = a

Разложением функции в ряд Тейлора в

окрестности точки

называется представление функции f (x) в виде ряда

f (x) = f (a) +

f '(a)

(x −a) +

f ''(a)

(x −a)2

+... +

f (n) (a)

(x −a)n

+....

1!

2!

n!

Расходящимся называется ряд, для которого последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Решение дифференциального уравнения n -го порядка на некотором промежутке – функция, которая n раз дифференцируема и при подстановке в уравнение обращает его в тождество на всем рассматриваемом промежутке.

Решение	нормальной		системы дифференциальных		уравнений
yk′ = fk (x, y1, y2 ,..., yn ),		где	(k =1, 2,3,..., n)	на интервале (a,b)	- всякая
совокупность	функций	y1(x), y2 (x),..., yn (x),		определенных и	непрерывно

дифференцируемых на (a,b) , которая при подстановке в уравнения системы обращает их в тождества при всех x из (a,b) .

∞

1

, (p

Рядом Дирихле называют ряд ∑

> 0), который, как можно

n=1 n p

показать, сходится при

p >1 и расходится при 0 < p ≤1.

Рядом Маклорена называют ряд

f (n) (0)

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +

f ''(0)

x

2

+... +

x

n

+....

1!

2!

n!

Рядом

типа

Лейбница

называют

знакочередующийся

ряд

a − a

+ a

−... + (−1)n +1 a

+..., удовлетворяющий

условиям

lim a

= 0 и

1

2

3

n

n→∞ n

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥... ≥ an ≥....

144

Система линейных дифференциальных уравнений –		система	вида
yk′ = ak1(x) y1 + ak 2 (x) y2 +... + akn (x) yn + fk (x), где k =1, 2, 3,..., n ;		функции akj (x)
( j =1, 2,..., n) и fk (x)	(k =1, 2,..., n) непрерывны на интервале (a,b) .
Если на интервале	(a,b) функции f1(x), f2 (x),..., fn (x) тождественно		равны

нулю, то система называется линейной однородной; в противном случае

линейной неоднородной.

Степенными

рядами

называются

ряды

вида

a

+a z +a z2 +...+a zn

+..., где числа a , a , a ,...,a ,... коэффициенты ряда.

0

1

2

n

1

2

3

n

Сходящимся называют ряд, для которого последовательность его

частичных сумм S , S

2

,..., S

n

,... имеет конечный предел

lim S

n

= S.

1

n→∞

lim Sn = S.

Суммой ряда называют конечный предел частичных сумм

z2

n→∞

zn +...

Теорема Абеля. Если степенной

ряд

a

+ a z + a

2

+... + a

n

сходится при некотором значении z = z0 ,

0

1

то он сходится абсолютно при всех

значениях z , для которых | z |<| z0 | . Наоборот, если он расходится при z = z0 , то расходится и при всех значениях z , для которых | z |>| z0 | .

Уравнение с разделяющимися переменными – дифференциальное

уравнение первого порядка, если	его можно записать в виде y ' =	f (x) g (y),
где функция f (x) определена и	непрерывна на интервале (a, b),	а функция

g (y) определена и имеет непрерывную производную на интервале (c, d ).

Условно сходящимся называется знакопеременный ряд, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

	∂Q	−	∂P
Формула Грина - ∫∫				dxdy = ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy,
D	∂x		∂y		L

где L - граница области D.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n -го порядка на промежутке (a, b) - любая система n решений этого

уравнения линейно независимых на (a, b).

Функция V (x1, x2 ) знакоопределенная (определенно-положительная или

определенно-отрицательная) – если она знакопостоянная и обращается в ноль только в единственной точке x1 = 0, x2 = 0.

Функция V (x1, x2 ) знакопостоянная (положительна или отрицательна),

если в некоторых точках достаточно малой окрестности | x1 |<ε, | x2 |<ε начала

координат она обращается в ноль, а во всех других точках этой окрестности принимает значение только одного знака (положительного или

145

отрицательного), при этом функция V (x1, x2 )

в

квадрате

| x1 |<ε,

| x2 |<ε

однозначна, непрерывна и V (0, 0)= 0 .

X

Функциональным

рядом

на

множестве

называется

символ

u1 (x) +u2 (x) +... +un (x) +...,

где u1 (x), u2 (x),..., un (x),...- функции,

определенные на некотором множестве X вещественных чисел.

Характеристическое

уравнение

дифференциального

уравнения

y

(n) +

p1 y

(n−1) +

p2 y

(n−2)

+

...

+

pn−1 y '

+

pn y

=

0,

где

p , p ,..., p

, p

-

заданные

1

2

n−1

n

числа

–

уравнение

λn + p λn−1

+ p

λn−2 +... + p

λ + p

n

= 0 ,

а

его

корни –

1

2

n−1

характеристические числа данного дифференциального уравнения.

Характеристическим

(вековым)

уравнением

системы

y′

= a

y′

+ a

k 2

y′ +

... + a

kn

y′

,

где

(k =1, 2,3,..., n) ,

а

a

k1

, a

k 2

,..., a

kn

-

заданные

k

k1 1

2

n

числа – уравнение

a11 − λ

a12

a1n

...

a21

a22 −λ

...

a2n

= 0.

...

...

...

...

an1

an2

...

ann −λ

y =ϕ (x, C ),

Частное решение – решение, которое получается из общего

если произвольной постоянной C придать конкретное (допустимое) значение.

Частичной суммой ряда называется сумма

Sn = a1 + a2 +... + an первых

n членов ряда.

Членами ряда a1 + a2 +... + an +...

называют члены последовательности

a1, a2 ,..., an ,..., где an

называют общим членом ряда.

∞

Числовым рядом называют символ a1 + a2 +... + an +... = ∑an ., для

n=1

которого введено понятие суммы ряда.

3.4. Методические указания к проведению практических занятий

Основной целью проведения практических занятий является выработка навыков решения задач по изучаемой теме. Для студентов всех форм обучения часть занятий, в соответствии с количеством часов, указанных в тематических планах (стр. 7-10), проводится в аудитории, в течение семестра, во время сессии или на форуме учебного сайта СЗТУ. Другая часть занятий ведется с использованием ДОТ: студенты рассматривают типичные задачи по изучаемой теме ([4], [6]), выполняют задания, выдаваемые персонально преподавателем. Инициативная работа на практических занятиях позволяет студентам набрать дополнительные баллы в балльно - рейтинговой системе.

146