2.3. Базис: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия

Базисом называют систему ФАЛ, если любая функция алгебры логики может быть выражена через функции, входящие в эту систему. Наиболее удобным для представления в виде логического выражения ФАЛ является базис, содержащий конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию (базис И, ИЛИ, НЕ). Этот базис называют основным. Минимальный базис включает в себя две функции: И, НЕ или ИЛИ, НЕ. Однако использование трех функций упрощает логическое описание, а в ряде случаев и построение дискретных устройств железнодорожной АТС.

Для начального представления функций обычно применяют основной базис И, ИЛИ, НЕ независимо от того, какой базис будет использован для построения дискретного устройства.

Решение вопросов анализа и синтеза схем дискретных устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи связано с преобразованием выражений, которые содержат ФАЛ основного базиса. Запись, содержащая двоичные переменные, соединенные знаками логического сложения, умножения и инверсии, называют логическим выражением. Такое выражение однозначно определяет комбинационное устройство, построенное на элементах И, ИЛИ, НЕ.

Операции алгебры логики обладают рядом свойств, некоторые из них сходны со свойствами операций умножения и сложения обычной алгебры. Для алгебры логики действительны:

сочетательный (ассоциативный) закон:

переместительный (коммутативный) закон:

распределительный (дистрибутивный) закон:

На основании сочетательного, переместительного и распределительного законов выражения, содержащие операции конъюнкции и дизъюнкции, можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т. п.) по правилам обычной алгебры, считая формально конъюнкцию операцией умножения, а дизъюнкцию – операцией сложения.

Специфичным для алгебры логики является закон двойственности (правило де Моргана):

Законы двойственности были обобщены Клодом Шенноном в следующее правило: «Для получения алгебраического выражения инверсной функции необходимо в исходной функции все переменные заменить на инверсные им, все знаки конъюнкции заменить на знаки дизъюнкции, а все знаки дизъюнкции – на знаки конъюнкции».

Например,

Из законов алгебры логики следуют соотношения:

Практическое значение имеют следующие формулы преобразования, которые называют законами поглощения.

Конъюнктивная форма законов поглощения имеет следующий вид:

Таким образом, если на выходе схемы включен элемент И, на вход которого поступает переменная х, на входах всех элементов схемы вместо одноименных значений переменной можно поставить 1, а вместо разноименных – 0.

Например, рассмотрим такое преобразование схемы (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Применительно к контактным схемам закон поглощения в конъюнктивной форме можно сформулировать так (см. рис. 2.7). Если последовательно с какой-либо контактной схемой включен одиночный контакт реле X, все одноименные по действию контакты этого реле, задействованные в схеме, можно закоротить, а все разноименные по действию – исключить из схемы.

Рис. 2.7

Для функций двух переменных конъюнктивная форма законов поглощения:

Дизъюнктивная форма законов поглощения имеет следующий вид:

Если на выходе схемы включен элемент ИЛИ, на вход которого подается переменная х, на входах всех элементов схемы вместо одноименных значений переменной можно поставить 0, а вместо разноименных – 1 (см. рис. 2.8).

Рис. 2.8

В случае контактной реализации дискретного устройства правило упрощения контактной схемы формулируют так (см. рис. 2.9). Если параллельно какой-либо контактной схеме включен одиночный контакт реле, все одноименные по действию контакты этого реле, задействованные в схеме, можно из схемы исключить, а разноименные по действию – закоротить.

Рис. 2.9

Для функций двух переменных дизъюнктивная форма законов поглощения имеет вид:

На основании законов поглощения можно получить следующие формулы преобразования:

Полученные формулы используют при упрощении БФ.