Предисловие

Данное пособие включает в себя первый раздел курса теории вероятностей – случайные события. Оно должно помочь читателю как разобраться в отдельных темах (быть может, не понятых ранее), так и достичь хорошего понимания (при наличии времени и желания) сути всего изучаемого раздела. Пособие может оказаться полезным и для тех, кто, почувствовав интерес к этому увлекательнейшему (на наш взгляд) предмету, хочет этот интерес развить дальше, достичь понимания предмета на более высоком уровне и овладеть методами решения соответствующих задач, часто возникающих в практической деятельности. Поэтому при изложении упор сделан не на формальную строгость изложения (длинные доказательства опущены), а на достижение неформального понимания тонких (а потому часто неусваеваемых) мест теории. Для достижения задуманного пособие написано в стиле, наиболее приближенном к стилю эссе, а потому более подходящим для него названием было бы, наверное, название типа “Книга для чтения по теории вероятностей ”.

При написании данного материала автор (то есть я) преследовал следующие цели:

1. Сделать изложение максимально понятным. Для этого оно сопровождается большим количеством примеров, которые часто разбираются возможно даже с излишней дотошностью, чтобы читатель мог спокойно проследить за ходом решения и в аналогичных задачах не смущался бы их постановкой.

2. Сделать изложение максимально интересным для поддержания стимула дальнейшего чтения. Для этого мы старались подобрать побольше (насколько позволяли рамки данного пособия) задач, которые либо удивляют неожиданным результатом, либо просто интересны по содержанию и описывают вполне жизненные ситуации.

3. Сделать изложение максимально живым. Для этого мы старались изложение вести в форме общения, а традиционно формальный для такого рода литературы языковой стиль заменить неформальным. Даже анекдоты иногда рассказываем, если, конечно же, они к месту и способствуют более полному пониманию обсуждаемого вопроса.

Насколько нам удалось продвинуться в достижении указанных целей – судить Вам, уважаемый читатель. Если у Вас будет время и желание, то ознакомить нас с Вашим мнением по поводу прочитанного Вы можете на кафедре математики нашего университета или по адресу: [e-mail]. Буду рад Вашим замечаниям и предложениям.

1. Предмет теории вероятностей

Всякая научная (математическая или иная) дисциплина изучает некоторые реальные или сопоставленные реальным идеальные объекты, исследование которых и составляет предмет этой дисциплины. Так, например, в геометрии изучаются геометрические фигуры (плоские или пространственные), арифметика изучает числа, а предметом исследования в математическом анализе являются функции.

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных событий. Примерами событий является выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, выпадении определенного числа очков на кубике, выигрыш в лотерею, увеличение курса доллара на следующей неделе и так далее. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух: да, оно произошло; нет, оно не произошло.

Прежде всего, нас будет интересовать количественная оценка степени возможности появления того или иного события. Чтобы можно было говорить хотя бы о принципиальной возможности появления того или иного события, нужно, как говорят, провести эксперимент (подбросить монету или кубик, купить лотерейный билет или вытянуть карту из колоды, если изучаются события, связанные с появлением той или иной карты). По этому поводу есть подходящий анекдот. Один человек долгие годы роптал на Господа, что Он не помогает ему хоть раз выиграть в лотерею. Наконец небеса разверзлись и голос сверху: "А ты купил хоть один лотерейный билет?". Экспериментом (испытанием, опытом) называется осуществление определенного комплекса условий, в результате которого могут произойти (а могут и не произойти) интересующие нас события. В этом смысле покупка лотерейного билета и представляет собой эксперимент.

События обозначаются прописными (т. е. большими) буквами А, В, С … и делятся на следующие три группы.

К достоверным событиям относятся такие события, которые обязательно происходят в данном эксперименте. Подобные события обозначаются прописной греческой буквой  (омега). Примерами достоверных событий является выемка шара белого цвета из корзины, в которой нет шаров другого цвета (но хотя бы один шар все-таки есть); выпадение орла или решки при подбрасывании монеты; восход солнца послезавтра; событие, заключающееся в том, что сумма углов случайно выбранного (нарисованного) треугольника равна 180 градусам.

Невозможные события – это события, которые ни в коем случае не могут произойти в данном эксперименте. Примерами могут служить такие события, как появление 7 очков при подбрасывании обыкновенного игрального кубика, выемка красного шара из упомянутой выше корзины или наступление зимы после весны. Невозможные события тоже имеют специальное обозначение Ø (символ пустого множества).

Описанные события образуют два крайних полюса в мире всевозможных событий и не слишком интересны для исследования (шансы появления любого из них заранее понятны).

Между этими полюсами находятся случайные события – события, которые могут появиться, а могут и не появиться в данном эксперименте, причём их реализация зависит от случайных факторов. Примерами таких событий являются появление шара белого цвета из корзины с разноцветными (и белыми тоже) шарами, выпадение орла после подбрасывания монеты, попадание в мишень после выстрела, появление туза при вытягивании из колоды одной или нескольких карт, телефонный звонок в течение часа в пожарную часть, успешная сдача Вами экзамена по данному предмету, выигрыш при покупке лотерейного билета. Вы сами с лёгкостью можете продолжить список примеров случайных событий.

Введем одну важную сравнительную характеристику двух событий – понятие их несовместности. Два события называются несовместными, если появление одного из них в результате эксперимента исключает появление другого в этом же самом эксперименте (такие события не могут появиться одновременно). Если, к примеру, опыт заключается в однократном подбрасывании монеты, то такими событиями могут быть: событие A – выпадение орла и событие B – выпадение решки. Если же мы подбрасываем кубик, то такими событиями могут быть: A – выпадение четного числа очков, а B – выпадение единицы. Как правило, для того, чтобы ответить на вопрос о совместности или несовместности событий, достаточно привлечь здравый смысл.