14 . Вероятность произведения событий

Самая большая ценность формулы (13.1) состоит в том, что из нее можно получить формулу для вероятности произведения событий: Р(А·В) = Р(В)ּР(А/В). Эта формула говорит о том, что вероятность произведения двух событий равна вероятности второго события умножить на условную вероятность первого события. Поскольку при составлении произведения событий не важно, какое из них поставить при умножении первым, а какое вторым (события А·В и В·А равны – оба они означают одно и то же событие, которое состоит в том, что оба события А и В произошли одновременно), тогда формулу можно записать и в таком виде (поменяв местами А и В): Р(А·В) = =Р(А)ּР(В/А). Сформулируем полученные формулы в виде теоремы.

Теорема (формула умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) или Р(АВ) = Р(В) Р(А/В). (14.1)

Сделаем важное пояснение. Если мы захотим по формулам (14.1) (например, по второй из них) вычислить вероятность произведения событий Р(А·В), то необходимо прежде вычислить условную вероятность Р(А/В), для которой есть определяющая ее формула (13.1). Но для вычисления по этой формуле нам снова необходимо знать вероятность Р(А·В). Получается замкнутый круг! На самом деле при решении конкретных задач, использующих формулу (14.1), условную вероятность Р(А/В) для нее вычисляют не по формуле (13.1), а используя такого же рода “разумные соображения”, по которым мы вычисляли условные вероятности в примере с кубиком в начале предыдущего параграфа еще до написания формулы (13.1), строго определяющей условную вероятность.

Замечание. Формула (14.1) может быть обобщена на случай трех

Р(А·В·С) = Р(А) Р(В/А) Р(С/А·В) (14.2)

и большего числа сомножителей:

Р(А₁·А₂·А₃· ּּּ ·А_n) =

= Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁·А₂) ּּּ Р(А_n/А₁·А₂· ּּּ ·А_n–1). (14.3)

Действительно, по формуле (14.1) имеем

Р(А·В·С) = Р( (А·В)С ) = Р(А·В) Р(С/А·В) = Р(А) Р(В/А) Р(С/А·В),

что дает (14.2). Формула (14.3) может быть получена по индукции (если Вам этого сильно захочется). Рассмотрим примеры.

Пример 1. Из обычной колоды (36 карт – только такие и будут рассматриваться здесь и далее) вынимаются по очереди 2 карты без возвращения. Какова вероятность, что первая из них бубновая, а вторая червовая?

Пусть событие А₁ – первой вынута бубновая карта, а А₂ – второй вынута червовая карта. Интересующее нас событие А состоит в том, что после вытягивания двух карт произошли оба этих события, а это означает, что А = А₁·А₂. По формуле (14.1) получаем Р(А) = =Р(А₁·А₂) = Р(А₁) Р(А₂/А₁). Перед первым вытягиванием карты в колоде имеется 36 карт, из них 9 бубновых, а потому для события А₁ вероятность Р(А₁) = 9/36 = 1/4 (в этом рассуждении есть одна тонкая неточность, но на результате она не сказывается, а ее объяснение может только внести сумятицу в неопытную голову и принести больше вреда, чем пользы). Найдем Р(А₂/А₁) – вероятность того, что вторая карта червовая при условии, что первый раз вынули бубновую карту. Поскольку перед вторым вытягиванием в колоде осталось 35 карт, а червовых в ней как и ранее осталось 9 (т. к. первый раз вынута бубновая), то Р(А₂/А₁) = 9/35. Поэтому Р(А) = 1/4 ּ 9/35 = 9/140 = 0,0643. Попробуйте теперь самостоятельно найти вероятность того, что при таком вытягивании обе карты окажутся бубновыми. А если после первого раза карта возвращается в колоду (выбор с возвращением)?

Пример 2. Студент знает 20 из 25 вопросов зачета. Какова вероятность, что он сдаст зачет, если условием этого являются правильные ответы на 3 предложенных вопроса?

Введем события: А₁ – отвечено на первый вопрос, А₂ – отвечено на второй вопрос, А₃ – отвечено на третий вопрос, А – зачет сдан (т. е. отвечено на все три вопроса). По определению произведения событий А = А₁·А₂·А₃, поэтому по формуле (14.2) имеем Р(А) = =Р(А₁·А₂·А₃) = Р(А₁) Р(А₂/А₁) Р(А₃/А₁·А₂). Поскольку первым вопросом может быть задан любой из 25, а студент знает 20 из них, то вероятность того, что он ответит на первый вопрос Р(А₁) = 20/25 = 4/5. Какова вероятность Р(А₂/А₁), т.е. вероятность того, что он ответит на второй вопрос при условии, что он ответил на первый? Поскольку во второй раз ему вряд ли зададут тот же вопрос, на который он только что ответил (экзаменаторы не такие дураки), то из оставшихся 24 вопросов он знает только 19, а потому Р(А₂/А₁) = 19/24. Найдем вероятность Р(А₃/ А₁·А₂), т. е. вероятность того, что студент правильно ответит на третий вопрос, при условии, что он правильно ответил на первые два. Понятно, что теперь ему могут задать любой из оставшихся 23 вопросов, а среди них осталось всего 18 из тех, на которые он сможет ответить. Поэтому вероятность того, что именно такой ему и зададут Р(А₃/А₁·А₂) = 18/23. Итак, Р(А) = 4/5ּ19/24ּ18/23 =  = 57/115 ≈ 0,496. Как видим, шансов сдать зачет, как говорится, 50 на 50.

Попробуем решить эту задачу (и получить, естественно, тот же ответ) прежними комбинаторными методами, используя не раз помогавшую нам аналогию с выбором шаров из корзины. Переформулируем эту задачу следующим образом. Имеется корзина с 25 шарами (т. к. всего есть 25 вопросов), из которых 20 шаров белых (это те 20 вопросов, которые студент знает). Из корзины случайно вынимается 3 шара (т. е. студенту задается 3 вопроса). Какова вероятность, что все вытянутые шары белые (т. е. все вопросы попались из тех, которые студент знает)? В такой постановке задача о шарах была нами решена в общем виде в § 9 и получена там формула (9.1) (взгляните на нее снова!). В нашей задаче количество белых шаров n = 20, количество черных m = 5, вынимается k = 3 шара, Какова вероятность, что среди них i = 3 белых. По формуле (9.1) получим

Р(А_i) = / = / = 57/115 ≈ 0,496 .

Получен тот же ответ.

Как мы видели в § 13, вероятность некоторого события А при условии, что произошло событие В (т. е. условная вероятность Р(А/В)), может отличаться от изначальной (безусловной) вероятности этого события Р(А). В этом случае шансы события А зависят от того, произошло событие В или нет, а потому мы можем говорить о зависимости события А от события В. Однако бывает так, что условная и безусловная вероятности совпадают.