12. Некоторые задачи на предыдущие формулы
Задача 1. В корзине находится 3 белых, 5 зеленых и 4 красных шара. Из корзины наудачу вынимается шар. Какова вероятность, что он цветной?
Введем обозначение событий: А – вынут цветной шар (о вероятности этого события и спрашивается), В – вынут зеленый шар, С – вынут красный шар. Поскольку цветной шар может быть только либо зеленым, либо красным, то событие А происходит только в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий В или С. Это означает (по определению суммы событий), что А = В + С. Поскольку события В и С несовместны (вынутый шар не может оказаться зелено-красным), то используем формулу (11.3): Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + +Р(С). Поскольку общее количество шаров равно 12, а зеленых из них 5, то по классическому определению вероятности Р(В) = 5/12. Аналогично, Р(С) = 4/12. Тогда Р(А) = 5/12+4/12 = 3/4. Конечно, можно было сразу сообразить, что если среди 12 шаров имеется 9 цветных, то вероятность вынуть цветной Р(А) = 9/12 = 3/4. Но тогда бы эта задача не могла бы служить иллюстрацией применения формулы (11.3).
Задача 2. Бросается кубик. Какова вероятность, что выпало либо четное число очков, либо число очков, делящееся на 3?
Обозначим события: А – выпало четное число очков, В – число очков делится на 3, С – число очков либо четно, либо делится на 3. Поскольку очевидно, что С = А + В, то по формуле (11.1): Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В). В § 6 уже показывалось, что Р(А) = 1/2. Поскольку B = 3 , 6} состоит из двух благоприятствующих элементарных исходов, то Р(В) = 2/6 = 1/3. Событие А·В = 6} совпадает с одним из шести равновозможных элементарных исходов, поэтому Р(А·В) = 1/6. Таким образом, Р(С) = 1/2 + 1/3 – 1/6 = 4/6 = =2/3. В § 4 уже показывалось, что C = 2 , 3 , 4 , 6 } состоит из 4 элементарных исходов, а потому Р(С) = 4/6 = 2/3, а потому и эту задачу можно было бы решать и без использования теоремы о вероятности суммы событий. Однако в более сложных задачах эта теорема значительно облегчает решение, что видно в дальнейших примерах.
Задача 3. Снова рассмотрим задачу о выигрыше в игре “Спортлото 6 из 36” и опять введем события Аi – отгадано ровно i чисел (из шести выигрышных), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. В § 8 уже были найдены вероятности всех этих событий: Р(А0) = 0,305 , Р(А1) = =0,439 , Р(А2) = 0,211 , Р(А3) = 0,0417 , Р(А4) = 0,00335 , Р(А5) = =0,0000924 , Р(А6) = 0,000000513. Найдем вероятность хоть какого-нибудь выигрыша в этой игре при покупке одной карточки (когда мы далее пройдем теорему о вероятности произведения событий, мы сможем проанализировать ситуацию при заполнении двух и более карточек). Если нам не изменяет память (а мы в эту игру не играем, так как давно сделали подобные расчеты), выигрыш начинается с трех угаданных чисел. Поэтому обозначим А3–6 событие, состоящее в том, что отгадано не менее 3 чисел, т. е. отгадано или 3 числа, или 4 числа, или 5 чисел, или 6 чисел. При такой формулировке этого события становится понятно, что А3–6 = А3 + А4 + А5 + А6. Поскольку события А3, А4, А5, А6 попарно несовместны (не могут одновременно произойти события, что, скажем, угадано ровно 5 чисел и угадано ровно 6 чисел в одной карточке одновременно), то для вычисления вероятности может быть использована формула (11.3): Р(А3–6) = Р(А3) + Р(А4) + Р(А5) + Р(А6) = 0,045142913 (т. е. в среднем выигрывает 4 – 5 карточек из 100 и в подавляющем большинстве случаев именно сумму, соответствующую трем угаданным числам; так что купив 100 карточек, можно смело заполнять только 4 – 5 из них – остальные все равно скорее всего ничего не выиграют их можно было и не покупать! Шутка.). Теперь Вы уже сами легко можете посчитать вероятности интересующих Вас событий, связанных с этой игрой. Посчитаем, например, вероятность того, что карточка ничего не выиграет. Обозначим соответствующее событие А0–2, поскольку это событие означает, что отгаданное количество чисел составляет от 0 до 2. Можно снова воспользоваться формулой (11.3) и получить, что Р(А0–2)= Р(А0) + Р(А1) + Р(А2). Однако в данном случае проще пойти другим путем. Очевидно, что события А3–6 (хоть что-то выиграть) и А0–2 (ничего не выиграть) есть пара противоположных событий (см. § 4). Поэтому по свойству 4 вероятности противоположного события (см. § 6) Р(А0–2)= 1 – Р(А3–6) = 1 – 0,045142913 = 0,954857.
Задача 4. Перед поездкой туристической группы из 27 человек за границу был произведен опрос. На вопрос о том, кто знает английский язык, подняли руки 17 человек. На вопрос о том, кто знает французский язык, подняли руки 6 человек. На вопрос о том, кто знает оба языка, подняли руки 2 человека. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист из группы знает хотя бы один из этих языков?
Введем события: А – турист знает английский язык, В – турист знает французский язык, С – турист знает хотя бы один из этих языков. Поскольку событие С происходит только в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А или В, то по определению суммы событий С = А + В. Тогда по формуле (11.1): Р(С) = Р(А + В)= = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). В данном случае опыт состоит в том, что из 27 человек выбирается один случайным образом (это означает, что каждый из них имеет равную возможность оказаться избранным). Поэтому общее число исходов опыта равно 27. Из них 17 благоприятствует событию А (английский знает 17 человек), 6 благоприятствует событию В (французский знает 6 человек), а потому по классическому определению вероятности Р(А) = 17/27, а Р(В) = 6/27. Событие А·В означает, что произошли оба события А и В, т.е. выбранный знает оба языка. Поскольку таких всего двое, то число исходов, благоприятствующих событию А·В, равно 2, поэтому Р(А·В) = 2/27. Таким образом, искомая вероятность Р(С) = 17/27 + 6/27 – 2/27 = 21/27 = 7/9.
Задача 5. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается не более одной бракованной из 50?
Введем события: А – среди испытываемых изделий бракованных не оказалось, В – среди испытываемых изделий оказалась только одна бракованная, С – вся партия изделий после проверки принята. По условию событие С может произойти только в том случае, если произойдет хотя бы одно из событий А или В, поэтому С = А + В. Поскольку, очевидно, события А и В несовместны (не могут произойти одновременно), то по формуле (11.3) получим: Р(С) = Р(А) + Р(В). Найдем Р(А) и Р(В). Опыт состоит в том, что из 100 изделий, среди которых 95 стандартных и 5 нестандартных, наугад выбирается 50 изделий (половина). Какова вероятность, что все они стандартные (для события А)? Какова вероятность, что среди них одна нестандартная (для события В)? Эти задачи совершенно аналогичны задачам о шарах, если их переформулировать следующим образом. Опыт состоит в том, что из 100 шаров, среди которых 95 белых и 5 черных, наугад выбирается 50 шаров. Какова вероятность, что все они белые (для события А)? Какова вероятность, что среди них только один черный (для события В)? Такие задачи в общей постановке были рассмотрены в § 9 (задача 7) и выведена формула (9.1) для вероятности подобных событий (посмотрите на нее!). Для нашей задачи параметры в формуле (9.1) имеют следующие значения: n = 95 – число белых шаров, m = 5 – число черных шаров, k = 50 – число вынимаемых шаров. Для события А число белых шаров в выборке i = 50, а для события В число белых шаров в выборке i = 49. Поэтому из формулы (9.1) получаем:
Р(А) =
ּ
/
= (
95! 50! 50!
) / (50! 45!
100!) =
= (46ּ47ּ48ּ49ּ50)/(96ּ97ּ98ּ99ּ100) = 0,02814
Р(В) =
ּ
/
=
(
95! 5! 50! 50!
) / (49! 46! 1!
4! 100!) =
= (5ּ50ּ47ּ48ּ49ּ50) / (96ּ97ּ98ּ99ּ100) = 0,15295 .
Поэтому вероятность того, что партия изделий будет принята Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,02814 + 0,15295 = 0,1811 . Шансов мало (примерно 1 к 5).
Прежде чем привести формулу для вычисления вероятности произведения событий, нам необходимо познакомиться с новым понятием – условная вероятность.