10 . ''Сложные” события

Допустим, что имеется набор “простых” событий А, В, С … в том смысле, что нам удалось (либо “на пальцах”, либо с помощью формул комбинаторики) вычислить вероятности этих событий Р(А), Р(В), Р(С) … . Из этих событий с помощью союзов “и”, “или”, а также отрицаний “не”, “нет” можно строить сколь угодно сложные (с длинным словесным выражением) события. Как вычислять их вероятность? Если снова пользоваться классической формулой Р = m / n и непосредственно вычислять числа m и n, то для такого рода сложных событий это может быть очень непростой задачей (особенно для числа m). Нельзя ли это сделать проще, если использовать то, что вероятности событий А, В, С, … (из которых составлено сложное событие) уже вычислены, и известно, как именно из них составлено сложное событие с помощью указанных выше союзов и отрицаний. Понятно, что можно, иначе этот вопрос бы не задавался. Для этого необходимо вспомнить, что использование этих союзов и отрицаний для словесной формулировки “сложного” события эквивалентно применению операций умножения и сложения событий, а также перехода к противоположному событию в алгебре событий, о которой говорилось в § 4. Поэтому сложное событие может быть записано в виде формулы, в которую входят “простые” события, соединенные знаками сумм, произведений и отрицаний. Подобные формулы мы уже получали в примере об охотниках на кабана в § 4 (см. формулы (4.1) – (4.9)). Чтобы вычислить вероятность событий, выраженных такими формулами, прежде всего нужно прежде всего научиться вычислять вероятности суммы и произведения двух событий.

11. Вероятность суммы событий

Пусть даны события А и В. Напомним, что сумма двух событий А + В означает событие, заключающееся в том, что произошло событие А или событие В (т.е. хотя бы одно из двух этих событий). Чему равна вероятность этого события?

ТЕОРЕМА. Вероятность появления хотя бы одного события А или В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (11.1)

Доказательство проведем в рамках классического определения вероятности. Ведем обозначения следующих чисел: n – общее число элементарных исходов опыта; m_a – число исходов, благоприятствующих событию А; m_b – событию В; m_a+b – число исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А или В (т. е. сумме А + В); m_ab – число исходов, благоприятствующих А и В одновременно (т. е. событию АВ);  – число исходов, благоприятствующих только событию А, но не событию В (т. е. событию А – В);  – число исходов, благоприятствующих только событию В, но не А (событию В – А). Очевидны следующие соотношения между этими числами: m_a =  + +m_ab, m_b =  + m_ab, m_a+b =  +  + m_ab (эти соотношения особенно наглядны, если события А и В изобразить геометрически по правилам, изложенным в § 3). Тогда

Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = m_a / п + m_b / n – m_ab / n = (m_a + m_b – m_ab ) / n =

= (  + m_ab +  + m_ab – m_ab ) / n = (  +  + m_ab ) / n = m_a+b / n =

= P(A+B),

что доказывает формулу (11.1).

Замечание 1. Есть формула для вероятности суммы любого числа слагаемых, но в общем виде она выглядит достаточно громоздко. В случае трех слагаемых формула (11.1) заменяется следующей

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) –

– Р(А·В) – Р(А·С) – Р(В·С) + Р(А·В·С). (11.2)

Формула (11.1) упрощается, если события А и В несовместны (т.е. не могут произойти одновременно). В этом случае А·В = Ø, а потому из свойства вероятности под номером 2 в § 6 получим Р(А·В) = Р(Ø) = 0. Таким образом, имеет место

Следствие. Если события А и В несовместны, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (11.3)

Замечание 2. Формула (11.3) обобщается на любое число слагаемых. Если события А₁, А₂, … , А_к попарно несовместны (т. е. никакие два из них не могут появиться одновременно), то

Р(А₁ + А₂ + … + А_к) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_к). (11.4)