1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 ,

3 1 2 , 3 2 1 .

Результат следующего примера является достаточно неожиданным.

Пример 2. Сколькими способами можно выложить на книжной полке 10 книг?

Очевидно, число способов равно = 10! = 3 628 800. Если, к примеру, каждая расстановка книг займет 1 секунду, то для того, чтобы перебрать все расстановки, необходимо заниматься этим непрерывно в течение 42 суток. Только, думаем, подобное занятие никого не увлечёт.

Пусть мы опять имеем n предметов . Сочетания – это комбинации из этих n предметов по m штук, различающиеся только составом элементов (но не порядком их следования в комбинации). Это означает, что разными считаются комбинации, для которых в одной из них есть хотя бы один предмет, которого нет в другой комбинации. При этом если две комбинации состоят из одних и тех же элементов, но различаются только порядком их следования, то они считаются одинаковыми (неразличимыми) и считаются одной и той же комбинацией. Число различных сочетаний из n элементов по m штук обозначается (читается: “число сочетаний из n по m”). Это число вычисляется по формуле = n! /[m!ּ(n – m)!]. Рассмотрим примеры.

Пример 3. Сколькими способами можно из 5 шахматистов составить команду из 2 человек?

Поскольку разными командами здесь будут считаться такие команды, которые различаются лишь составом игроков в них, то общее число способов есть = 5! / [3!(5 – 3)!] = 5! / (3!2!) = 120/12 = 10.

Пример 4. Имеется 10 различных подарочных предметов. Сколько имеется способов составить подарок семейной паре, если подарок должен содержать 2 предмета?

Поскольку для семейной пары порядок следования обоих предметов в подарке не важен, то общее число различных подарков есть = 10! / (2! 8!) = 45.

Пример 5. Сколькими способами можно заполнить карточку "Спортлото 6 из 36"?

Порядок в каждой выбранной шестерке чисел не важен (т. е. не важно, в какой последовательности зачеркиваются выбранные числа, а важно, что зачеркнутыми окажутся именно эти 6 чисел), то следует использовать сочетания:   = 36! / (6! 30!) = 1 947 792.

Снова рассмотрим некоторые n предметов . Размещения – это комбинации из этих n предметов по m штук, различающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования в комбинации. Это означает, что разными считаются даже те комбинации, которые состоят из одних и тех же предметов, но эти предметы в этих комбинациях отличаются порядком их следования. Число различных размещений из n элементов по m штук обозначается . Справедлива формула = n! /(n – m)!. Рассмотрим примеры.

Пример 6. Снова возьмем три карточки с цифрами 1 , 2 и 3 , но теперь выясним, сколько из них можно составить различных двузначных чисел?

Понятно, что в этом случае следует считать различными не только комбинации, которые отличаются хотя бы одной карточкой, но и комбинации, состоящие из двух одинаковых карточек, если они различаются порядком их следования (поскольку, к примеру, числа 23 и 32 различны, хотя сложены из одинаковых цифр). Поэтому для расчета используем размещения (а не сочетания, где порядок следования не важен) из 3 элементов по 2: = 3!/(3–2)! = 3!/1! = 6. Несложно указать эти 6 чисел: