5. Первое упоминание вероятности

Различные события происходят с разной частотой – некоторые чаще, а некоторые – реже. Поэтому наша интуитивная степень уверенности в том, что произойдет некоторое событие А, зависит от содержания самого события. Для некоторых событий эта степень уверенности больше, а для других меньше. Возникает вопрос – нельзя ли для каждого события определить такое число, которое бы характеризовало эту степень – чем больше для данного события А это число, тем больше наша уверенность в том, что это событие произойдет. Такая числовая характеристика события называется его вероятностью (обозначается P(A) или просто P, если понятно, о вероятности какого события идет речь). Имеется несколько определений вероятности события, каждое из которых имеет свои рамки применимости, свои преимущества и недостатки.

6. Классическое определение вероятности

Пусть имеется группа событий, связанная с некоторым экспериментом. Эти события называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. О равновозможности событий обычно судят по симметрии объектов, с которыми проводится эксперимент. Например, если игральный кубик полностью симметричен и однороден по плотности (т. е. центр тяжести не смещен), то мы считаем равновозможным выпадение любого числа очков. Если монета практически идеально кругла и однородна, то мы считаем равновозможными выпадение орла или решки. Предположим, что пространство элементарных событий эксперимента состоит из конечного числа равновозможных событий (это и есть условие применимости классического определения вероятности):  = _{1 ,} _{2 , … ,} _n}.

Вероятностью события А называется число:

P(A) = m / n , (6.1)

где n – общее число равновозможных элементарных исходов, а m – количество элементарных исходов (из этих n), которые благоприятствуют событию A.

Рассмотрим примеры. Сначала будем один раз подбрасывать кубик. Тогда для всех событий, связанных с этим испытанием, общее число элементарных исходов n = 6, поскольку ПЭИ  =  =_1 , _2 , _3 , _4 , _5 , ₆}_. Пусть событие А – выпадение 4 очков, то число благоприятных исходов m = 1, так как А ={₄}. Поэтому Р(А) = 1/6. Если событие А – выпадение четного числа очков, то m = 3, так как А ={_2, _{4 ,} ₆}. Поэтому Р(А) = 3/6 = 1/2. Пусть теперь опыт состоит в подбрасывании двух кубиков (либо подбрасывание одного кубика 2 раза, что то же самое), тогда, как мы уже видели, n = 36 и  = _{11 ,} _{12 , … ,} _{16 ,} _{21 ,} _{22 , … ,} _{26 , … ,} _{61 ,} _{62 , … ,} ₆₆ }.

Пусть событие А – сумма очков равна 4. Тогда А = _13, _22, ₃₁}, а потому m = 3, и вероятность этого события Р(А) = 3/36 = 1/12.

Пусть теперь из корзины с белыми и черными шарами в количестве 3 и 2 соответственно наугад вынимается шар. Какова вероятность, что он черный? Общее число исходов n = 5, так как равновозможен выбор любого из 5 шаров, находящихся в корзине. Понятно, что из них только 2 благоприятны для события А – вынут черный шар. Поэтому m =2, а Р(А) = 2/5.

Отметим следующие свойства вероятности события, вытекающие из определения (6.1).

1. Вероятность достоверного события равна 1: Р() = 1. Это следует из того, что для достоверного события все исходы являются благоприятными, а потому m = n.

2. Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø) = 0. Это следует из того, что для невозможного события ни один из исходов не является благоприятным, а потому m =0.

3. Для любого события А: 0  Р(А)  1, поскольку ясно, что 0  m  n.

4. Р(Ā) = 1 – Р(А).

Докажем четвёртое свойство, так как оно является важным. Если событию А благоприятствуют некоторые m исходов из n (так что Р(А) = m / n), то противоположному событию благоприятны остальные (n – m) элементарных исходов, а потому Р(Ā) = (n – m) / n. Тогда Р(Ā) = n / n – m / n = 1 – Р(А). Это соотношение можно записать в виде Р(А) = 1 – Р(Ā), что может использоваться в следующей ситуации. Часто вычисление Р(Ā) намного проще, чем Р(А). Тогда вычисляют Р(Ā), а для вычисления Р(А) используют указанное соотношение.

Пример. При бросании двух кубиков требуется найти вероятность того, что сумма очков больше 3 (событие А). Гораздо проще подсчитать количество благоприятных исходов противоположного события Ā (сумма выпавших очков не больше 3): Ā = _11, _12, ₂₁}, т. е. Р(Ā) = 3/36 = 1/12, а потому Р(А) = 1 – Р(Ā) = 11/12.