7. Статистическое определение вероятности

Достаточно часто возникает ситуация, когда условия применимости классического определения вероятности не выполняются. Если подбрасываемый кубик асимметричен или неоднороден (центр тяжести смещен), то исходы _{1 ,} _{2 ,} _{3 ,} _{4 ,} _{5 ,} ₆ уже не равновозможны, а потому вероятности этих исходов и событий, связанных с подбрасыванием такого кубика, нельзя определить в рамках классического определения вероятности. Или, например, мы хотим определить вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка. В данном случае пространство элементарных исходов  = {попал, не попал} тоже не состоит из равновозможных событий.

Для определения вероятностей подобных событий может быть использовано статистическое определение вероятности, которое вводится по следующей схеме. Пусть некоторый опыт (в котором может появиться интересующее нас событие А) может быть проведен в одинаковых условиях сколько угодно раз. Это и есть требование, при выполнении которого применимо указанное в заголовке определение. Проведем некоторое количество n опытов, пусть в m из них при этом появилось интересующее нас событие А. Относительной частотой события А в n испытаниях (обозначается W_n (А) ) называется отношение числа m появлений события А к общему числу проведенных испытаний n :

W_n (А) = m / n.

Пример 1. Стрелок 24 раза стреляет по мишени и попадает 19 раз. Если событие А – попадание данным стрелком в мишень при единичном выстреле, то W₂₄ (А) =19/24.

Пример 2. Пусть монету подбросили 10 раз, причем орел выпал 6 раз. Если событие А – выпадение орла при подбрасывании монеты, то W₁₀ (А) = 6/10 = 0,6.

Замечательным свойством относительных частот (многократно проверенным экспериментально) является свойство ее устойчивости: при большом числе испытаний n (n → ∞) относительная частота любого события W_n (А) утрачивает случайный характер и колеблется около определенного числа, неограниченно приближаясь к нему при неограниченном возрастании количества испытаний n. Это число и называется вероятностью события А. Таким образом, формально можно записать:

Р(А) =W_n (А).

Поскольку в такой ситуации предельный переход нереален (невозможно провести бесконечное число экспериментов), то это определение используется лишь в теоретических исследованиях. Практическая его ценность в том, что при большом числе экспериментов мы с хорошей точностью можем принять Р(А) ≈ W_n (А). Так, если мы 500 раз бросили "неправильный" кубик и при этом шестерка выпала 200 раз, то можно считать, что вероятность выпадения шестерки при подбрасывании такого кубика Р(₆) ≈ W₅₀₀ (₆) = 200/500 = 2/5.

Существует еще два вида определения вероятности – геометрическое и аксиоматическое – на них мы здесь останавливаться не будем.

8. Элементы комбинаторики

Чаще всего мы будем пользоваться классическим определением вероятности P(A) = m / n. Для вычисления вероятности события А по этой формуле необходимо научиться считать общее число равновозможных исходов эксперимента n и число m из них, благоприятных для события А. В простых примерах, приведенных в § 6, эти числа можно было посчитать непосредственно, что называется на пальцах. Однако в более сложных и интересных примерах их вычисления представляют непростую задачу как из-за большого их значения, так и из-за сложности самого принципа отбора необходимых вариантов. В этих случаях на помощь приходит раздел математики, называемый комбинаторикой. Рассмотрим необходимые элементы этого раздела.

Напомним для начала понятие факториала натурального числа и числа 0. Факториалом данного натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n и обозначается n! (читается: “n факториал): n! = 1ּ2ּ3ּ _… ּn. Поэтому, например, 3! = =1ּ2ּ3 = 6, а 5! = 120. По определению считается, что 0! = 1.

Пусть у нас есть n предметов . Их перестановками называются комбинации из этих n предметов, отличающиеся порядком их следования. Число различных перестановок из n предметов обозначается и вычисляется по формуле = n!. Приведем примеры.

Пример 1. Имеются три карточки с цифрами 1 , 2 и 3 . Сколько из них можно составить различных трехзначных чисел? Очевидно, столько, сколько существует различных перестановок этих карточек между собой, т. е. = 3! = 1ּ2ּ3 = 6. Выпишем все эти 6 перестановок: