3. Геометрическое изображение событий

Для наглядного изображения событий строится геометрическая картинка, на которой изображаются множество всех элементарных исходов в , затем обводятся те из них, которые благоприятствуют интересующему событию. На картинке изображено пространство элементарных исходов, связанное с подбрасыванием кубика, и событие А, описанное выше.



A

4. Алгебра событий

Точно также, как и числа (либо векторы, матрицы), события можно складывать и умножать, а также производить с ними некоторые другие операции. При этом получаются другие более сложные события. Формально эти операции соответствуют соединению словесных выражений двух событий с помощью союзов "и" и "или". Ниже дадим строгие определения этих операций, а иллюстрировать их будем на следующих примерах событий.

Пример 1. Подбрасывается кубик, событие А – выпадение четного числа очков, событие B – выпадение числа очков, делящегося на 3. Напомним, что А = _{2 ,} _{4 ,} ₆}, а B = _{3 ,} ₆}.

Пример 2. Производится 2 выстрела по мишени. Событие А – попадание в мишень при первом выстреле, а B – при втором.

Пример 3. Из колоды вынимается одна карта, А – вытянута дама, B – вытянута пиковая карта.

Сложение событий. Суммой (объединением) событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B (т. е. произошло или событие A, или событие B, или оба события одновременно). Словесно это выражается использованием союза "или" – говорят: “C есть A или B”. Обозначение суммы событий: C = A + B (или C = A U B, где U – значок объединения множеств, но мы будем использовать знак +).

Событие C = A + B состоит из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А или B (т. е. для суммы событий благоприятные исходы слагаемых событий объединяются). Определим событие C = A + B для указанных выше примеров. В первом примере событие C состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков, делящееся на 3, C = _2 , _3 , _4 , ₆}. Во втором примере событие C – мишень поражена (т. е. попадание хотя бы в одном выстреле). В третьем примере C – выпадение дамы либо карты пиковой масти.

Аналогично определяется сумма большего числа слагаемых: событие А₁ + А₂ + … + А_n состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий А₁, А₂, …, А_n .

Произведение событий. Произведением (пересечением) событий А и B называется событие C, заключающееся в том, что произошли оба события А и B (т. е. произошли оба события одновременно). Словесно это выражается использованием союза "и" – говорят: “C есть А и B”. Обозначение произведения событий: C = A·B (или C=A∩B, где ∩ – знак пересечения множеств). Событие C = A·B состоит из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и B одновременно (т. е. для произведения событий благоприятными будут общие благоприятные исходы событий сомножителей, и в этом случае говорят, что благоприятные исходы событий пересекаются). Определим событие C = A·B для указанных выше примеров. В первом примере событие C состоит в том, что выпало четное число очков и одновременно число очков, делящееся на 3, т.е. выпала шестерка: C = ₆. Во втором примере событие C – мишень поражена при каждом выстреле. В третьем примере C – выпадение пиковой дамы.

С помощью операции умножения легко выразить формулой условие несовместности событий А и B: A·B=Ø.

Аналогично определяется произведение большего числа сомножителей: событие А₁·А₂· … ·А_n означает, что произошли одновременно все события А₁, А₂, … , А_n.

Противоположное событие. По каждому событию А можно построить противоположное ему событие (обозначается Ā), которое состоит в том, что событие А не произошло. Для события Ā благоприятными будут только те элементарные исходы, которые не являются благоприятными для А. Для первого примера событие Ā означает появление на кубике нечетного числа очков.

Разность событий . Разностью событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что событие A произошло, а событие B нет. Обозначение разности событий: C = A – B (или C = A / B). Событие С состоит из элементарных исходов, которые благоприятствуют событию A, но не благоприятствуют событию B. Найдем событие C = A – B для указанных выше примеров. В первом примере событие C состоит в том, что выпало 2 или 4 очка: C = _2, ₄}. Во втором примере событие C – мишень поражена только первым выстрелом. В третьем примере C – выпадение дамы не пиковой масти. Разность событий может быть выражена формулой: B – A = B·Ā (т. е. одновременно произошли 2 события: B и Ā) .

Далее нам понадобятся некоторые свойства введенных операций над событиями, которые в чем-то аналогичны некоторым свойствам сложения и умножения чисел, а в чем-то – нет.

1. Достоверное событие  при умножении событий играет ту же роль, что и единица для чисел: для любого события А выполняется равенство А  = А. Точно также невозможное событие в этих операциях играет роль нуля: для любого события А выполняется А + Ø = = А, А·Ø = Ø.

2. Как и при действии с числами, можно раскрывать скобки: А·(В₁+ В₂ + … + В_n) = А·В₁ + А· В₂ + … + А·В_n .

А дальше аналогия с числами нарушается.

3. Для любого события А выполняется: А + А = А.

4. Для любого события А выполняется: А·А = А.

Для успешного решения задач по теории вероятности нужно научиться “сложные” события выражать через комбинации “простых” событий, используя введенные нами операции над событиями. В этой связи рассмотрим важную и непростую задачу.

Пример. Три охотника пошли на охоту. Увидев кабана, они сделали залп (т.е. одновременно выстрелили). Введём обозначения событий: А₁ – первый охотник попал (в кабана), А₂ – второй охотник попал и А₃ – третий охотник попал. Выразить через них следующие события: В₀ – ни один не попал (т. е. 0 попаданий в кабана), В₁ – попал в точности один из них (т. е. всего одно попадание), В₂ – попало в точности двое (всего 2 попадания), В₃ – попали все (всего 3 попадания), С₁ – попал хотя бы один из них, С₂ – попали не менее двух охотников.

Сразу же отметим для себя, что словесно означают противоположные события: Ā₁ – первый охотник промахнулся, Ā₂ – второй промахнулся, Ā₃ – третий промахнулся. Событие В₀ (ноль попаданий, т. е. все промахнулись) означает, очевидно, что все эти события (промахи) произошли одновременно. Тогда по определению произведения событий В₀ = Ā₁·Ā₂·Ā₃. Точно также легко выражается событие В₃ (попали все). Наступление этого события означает, что все три попадания (т. е. события А₁, А₂ и А₃) произошли одновременно, а потому В₃ = А₁·А₂·А₃. Перейдем к выражению для более сложного события, а именно: В₁ – попал в точности один охотник. Правильно ли было бы написать, что В₁ = А₁ + А₂ + А₃? Событие А₁ + А₂ + А₃ по определению суммы событий означает, что произошло не в точности (как нам бы хотелось), а хотя бы одно из событий А₁, А₂ или А₃. Таким образом, событие А₁ + А₂ + А₃ означает, что попал хотя бы один охотник, т. е. событие С₁. Таким образом, мы получили выражение для события С₁: С₁ = А₁ + А₂ + А₃. Это тоже хорошо, т. к. событие С₁ также надо было выразить через А₁, А₂ и А₃. Но как же все-таки выразить В₁? Прежде всего “почувствуем разницу” между событиями В₁ и С₁. Если происходит событие В₁ (попадает в точности один охотник), то тем самым обязательно происходит и событие С₁ (т. е. попадает хотя бы один из них ). Таким образом, событие В₁ влечет событие С₁: В₁  С₁. Но обратное “влечение” не справедливо. Если происходит событие С₁ (попал хотя бы один), то это не значит, что попал именно в точности один. Это означает, что попал либо в точности один охотник (т. е. произошло событие В₁), либо попали в точности двое (событие В₂), либо попали все трое (произошло В₃). По определению суммы событий это означает, что С₁ = В₁ + В₂ + В₃ , т. е. С₁ и В₁ это не одно и то же событие. Поэтому В₁ ≠ А₁ + А₂ + А₃, как мы выше попытались предположить. Что же все-таки означает событие В₁? Оно означает, что попадает в точности один из охотников. Кто из них? Это может быть или первый охотник, или второй, или третий . Если попал первый охотник, то обязательно при этом второй и третий должны промахнуться (иначе попаданий будет не в точности одно, а больше, чем одно), т. е. одновременно должны произойти события А₁, Ā₂ и Ā₃, что, в свою очередь, означает наступление события А₁·Ā₂·Ā₃. Точно также, если попадает второй, то при этом промахиваются первый и третий, т. е. наступает событие Ā₁·А₂·Ā₃. А если попадает третий, то наступает событие Ā₁·Ā₂·А₃. Итак, мы выяснили, что событие В₁ наступает только тогда, когда наступает или событие А₁·Ā₂·Ā₃, или событие Ā₁·А₂·Ā₃, или событие Ā₁·Ā₂·А₃, т. е. хотя бы одно из этих событий. А это значит, что речь идет о сумме событий. Таким образом, В₁ = А₁·Ā₂·Ā₃ + Ā₁·А₂·Ā₃ + Ā₁·Ā₂·А₃. Сложно? Зато правильно. Теперь уже проще понять рассуждения относительно события В₂. Что значит событие В₂? Оно означает, что попадают в точности двое из охотников. Кто из них? Это может быть или первый и второй охотник, или первый и третий, или второй и третий. Если попали первый и второй охотник, то обязательно при этом третий должен промахнуться, т. е. одновременно должны произойти события А₁, А₂ и Ā₃, что означает наступление события А₁·А₂·Ā₃. Точно также, если попадает первый и третий, то наступает событие А₁·Ā₂·А₃, а если попадает второй и третий – событие Ā₁·А₂·А₃. Итак, событие В₁ наступает только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий А₁·А₂·Ā₃, А₁·Ā₂·А₃ или Ā₁·А₂·А₃. Таким образом, В₂ = А₁·А₂·Ā₃ + А₁·Ā₂·А₃ + Ā₁·А₂·А₃. Осталось выразить событие С₂ – попали хотя бы (т. е. не менее, чем) двое. Это означает, что попало либо в точности двое (т. е. произошло событие В₂), либо в точности трое (т. е. произошло событие В₃). Поэтому С₂ = В₂ + В₃. Выпишем все полученные нами представления событий – это пригодится нам в дальнейшем.

В₀ = Ā₁·Ā₂·Ā₃, (4.1)

В₁ = А₁·Ā₂·Ā₃ + Ā₁·А₂·Ā₃ + Ā₁·Ā₂·А₃, (4.2)

В₂ = А₁·А₂·Ā₃ + А₁·Ā₂·А₃ + Ā₁·А₂·А₃, (4.3)

В₃ = А₁·А₂·А₃, (4.4)

С₁ = А₁ + А₂ + А₃, (4.5)

С₁ = В₁ + В₂ + В₃, (4.6)

С₂ = В₂ + В₃. (4.7)

Подставляя выражения для В₁, В₂ и В₃ из (4.2) – (4.4) в (4.6) и (4.7), можно события С₁ и С₂ тоже выразить непосредственно через А₁, А₂ и А₃:

С₁ = А₁·Ā₂·Ā₃ + Ā₁·А₂·Ā₃ + Ā₁·Ā₂·А₃ + А₁·А₂·Ā₃ + А₁·Ā₂·А₃ +

+ Ā₁·А₂·А₃ + А₁·А₂·А₃, (4.8)

С₂ = А₁·А₂·Ā₃ + А₁·Ā₂·А₃ + Ā₁·А₂·А₃ + А₁·А₂·А₃. (4.9)

Как мы видим на примере формул (4.5) и (4.8) одно и то же событие может быть по-разному представлено в виде комбинации некоторого набора событий. Формула (4.5) выглядит, конечно, проще, чем (4.8), но последняя обладает тем преимуществом, что слагаемые в ней представляют собой попарно несовместные события. Почему это действительно важно – будет ясно дальше.