16 . Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть имеется некоторый набор независимых в совокупности событий А₁, А₂, …, А_n, связанных с некоторым экспериментом. Допустим, что известны вероятности, с которыми каждое из этих событий может появиться: Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂ , …, Р(А_n) = р_n. Выясним, с какой вероятностью появиться хотя бы одно из этих событий. Обозначим интересующее нас событие: А – появилось хотя бы одно из группы событий А₁, А₂, …, А_n. Здесь как раз тот случай, когда гораздо проще вычислить вероятность не самого события А, а противоположного ему события Ā – ни одно из событий А₁, А₂, …, А_n не произошло. Но если не произошло событие, к примеру, А₁, то это означает, что произошло противоположное для него событие Ā₁. Поэтому событие Ā происходит только в том случае, когда одновременно происходят все события А₁, А₂, …, А_n, т. е. Ā = Ā₁·Ā₂· … ·Ā_n. Из совокупной независимости событий А₁, А₂, …, А_n следует совокупная независимость системы противоположных событий Ā₁, Ā₂, …, Ā_n (см. замечание после теоремы с формулой (15.3)). Поэтому из формулы (15.3) получаем Р(Ā) = Р(Ā₁·Ā₂· … ·Ā_n) = Р(Ā₁)·Р(Ā₂)· … ·Р(Ā_n). Обозначим для краткости вероятности противоположных событий: q₁ = Р(Ā₁), q₂ = Р(Ā₂), …, q_n = Р(Ā_n). Ясно, что q₁ = 1 – p₁ , …, q_n =1– p_n (так связаны вероятности противоположных событий). Таким образом, имеем формулу Р(Ā) = q₁ q₂ … q_n, тогда Р(А)=1 – Р(Ā)=1 – q₁ q₂ … q_n. Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события из системы независимых в совокупности событий А₁, А₂, …, А_n равна единице минус произведение вероятностей событий, противоположных данным:

Р(А) = 1 – q₁ q₂ … q_n, (16.1)

где q_i = 1 – p_i, p_i = P(A_i), i = 1, 2, …, n. Рассмотрим некоторые задачи на применение этой формулы.

Задача 1. В продаже имеется 3 противоугонных устройства, которые в случае попытки угона срабатывют с вероятностями р₁ = 0,75, р₂ = 0,8 и р₃ = 0,93 соответственно. Суммарная стоимость первых двух устройств равна стоимости третьего. Что выгоднее купить – два первых или одно третье?

Поскольку по стоимости обе покупки одинаковы, то предпочесть нужно ту, при использовании которой труднее угнать машину. Допустим, что на машину поставлены 2 два первых устройства. С какой вероятностью сработает хотя бы одно из них в случае попытки угона? Обозначим события: А₁ – сработало первое, А₂ – второе, А – сработало хотя бы одно из них. Поскольку устройства работают независимо одно от другого, то события А₁ и А₂ можно считать независимыми в совокупности (хотя легко видеть, что в случае двух событий независимость в совокупности равносильна обычной независимости двух событий). Поэтому по формуле (16.1) с параметрами р₁ = =0,75 и р₂ = 0,8 (а потому q₁ = 0,25 и q₂ = 0,2) Р(А) = 1 – 0,25 · 0,2 = 0,95. Если же на машину будет поставлено одно третье противоугонное устройство, то в случае попытки угона оно сработает с вероятностью р₃ = 0,93. Вывод сделайте сами. Вот еще одна типичная задача на заданную тему.

Задача 2. Есть три стрелка, которые попадают в мишень с вероятностями р₁ = 0,7, р₂ = 0,8 и р₃ = 0,9 соответственно. Какова вероятность поражения мишени при выстреле по ней всех стрелков залпом?

Обозначим события: А₁ – попал первый, А₂ – второй, А₃ – третий стрелок, А – мишень поражена (т. е. попал хотя бы один из них). Поскольку результаты стрельбы одного из них не влияют на результаты стрельбы другого, то события А₁, А₂ и А₃ можно считать независимыми в совокупности. Поэтому по формуле (16.1) с параметрами р₁ = 0,7, р₂ = 0,8 и р₃ = 0,9 (а потому q₁ = 0,3, q₂ = 0,2 и q₃ = 0,1) Р(А) = 1 – 0,3 · 0,2 · 0,1 = 0,994.

Посмотрим на эту задачу под другим углом зрения. У нас имелся один эксперимент (состоящий из трех выстрелов), и в рамках этого эксперимента мы рассматривали три независимых в совокупности события: А₁ – попал первый, А₂ – второй, А₃ – третий стрелок. Часто подобную ситуацию удобно рассматривать как проведение трех независимых экспериментов (выстрел первого стрелка, выстрел второго и выстрел третьего), в каждом из которых мы интересуемся появлением некоторого события (попадание в мишень), которое в каждом эксперименте может произойти со своей вероятностью ( в нашем случае с вероятностями р₁ = 0,7, р₂ = 0,8 и р₃ = 0,9). Нам нужно определить, с какой вероятностью интересующее нас событие (попадание в мишень) произойдет хотя бы один раз. Понятно, что это переформулировка одной и той же задачи, и решение будет использовать ту же формулу (16.1). Переформулируем аналогичным образом общую сформулированную теорему в виде следствия из нее (от одного испытания с n независимыми событиями перейдем к n независимым испытаниям, в которых будем интересоваться одним событием).

Следствие 1. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностями р₁, р₂ , …, р_n соответственно. Тогда вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться хотя бы один раз, равна

1 – q₁ q₂ … q_n , (16.2)

где q_i = 1 – p_i, p_i = P(A_i) , i = 1,2, … n.

Важным частным случаем является тот, при котором вероятность появления интересующего нас события одна и та же во всех независимых опытах , т. е. р₁ = р₂ = … = р_n (например, если бы в задаче 2 стрелял бы один и тот же стрелок, но 3 раза).

Следствие 2. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит хотя бы один раз, равна

1 – qⁿ , (16.3)

где q = 1 – p.

Изменим условие задачи 2, взяв вместо трех стрелков одного, но разрешив ему выстрелить 3 раза, причем вероятность попадания этого стрелка возьмем средней по стрелкам из задачи 2. Измениться ли вероятность поражения мишени?

Задача 3. Вероятность попадания стрелка в мишень в каждом выстреле р = 0,8. Какова вероятность поражения мишени при трех выстрелах?

Событие А – попадание в мишень после выстрела. Проводится 3 независимых испытания (производится 3 выстрела), в каждом из которых событие А (т. е. попадание в мишень) может произойти с одной и той же вероятностью р = 0,8. Нас интересует вероятность события В – событие А произошло хотя бы один раз (т. е. мишень поражена). Как мы видим, ситуация полностью совпадает с той, которая описана в следствии 2 при р = 0,8, q = 1 – 0,8 = 0,2. Поэтому по формуле (16.3) получаем Р(В) = 1 – 0,2³ = 0,992. Быть может кто-то ждал того же результата, что в задаче 2? Уже теперь (после полученного результата) можно задуматься и понять, что этот результат логичен (попробуйте!). А вот вполне практическая “военная” задача.

Задача 4. Один самолет после бомбометания поражает некую цель с вероятностью р = 0,6. Сколько самолетов необходимо послать на задание, чтобы цель была уничтожена с вероятностью большей, чем 0,9?

Пусть на задание послано n самолетов (это число n нам и надо найти). Событие А – попадание в цель самолетом после бомбометания. Имеется n независимых испытаний (т. к. бомбометания производят n самолетов). По следствию 2 (при р = 0,6, а потому q = 0,4) вероятность поражения цели после всех бомбометаний равна 1 – 0,4ⁿ. По условию задачи нужно найти такое n, чтобы выполнялось неравенство 1 – 0,4ⁿ > 0,9, т. е. 0,4 ⁿ < 0,1. Можно подбором убедиться, что n = 2 еще мало, а n = 3 уже достаточно (для более продвинутых в математике предлагаем получить формулу n > ln 0,1 / ln 0,4). Аналогичная схема может работать и для вполне мирных практических задач, таких, как, например, следующая.

Задача 5. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1 (т. е. выигрывает в среднем 1 билет из 10). Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью большей, чем 0,95 (т. е. почти наверняка)?

Пусть куплено n билетов (необходимое число n нам и предстоит определить). Проведем n “опытов” – проверим каждый билет по таблице выигрышей. В каждом из них интересующее нас событие (А – билет выиграл) может произойти с одной и той же вероятностью р = 0,1. Тогда по формуле (16.2) вероятность того, что это событие произойдет хотя бы раз (т. е. выиграет хотя бы один билет) равна 1 – 0,9ⁿ. Число n должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство 1 – 0,9ⁿ > 0,95, т. е. 0,9ⁿ < 0,05. Такое неравенство выполняется для всех n > ln 0,05 / ln 0,9 = 28,43 …, т. е. (учитывая, что число n может быть только целым) начиная с n = 29. Остается сравнить стоимость выигрыша со стоимостью такого количества билетов.

Следующая задача уходит глубоко в историю.

Задача 6 (задача Шевалье Де Мере). В средние века одним из основных развлечений феодалов были азартные игры (кстати, появление теории вероятности во многом обязано именно им). Некий француз Шевалье Де Мере не только был азартным игроком, но имел свойство замечать некоторые закономерности в играх, но не всегда мог их объяснить. По счастью одним из его хороших знакомых был знаменитый ученый Блез Паскаль (1623 – 1662, один из основателей теории вероятности), к которому Шевалье приходил за разъяснениями. Вот один из подобных эпизодов. Шевалье предлагал сопернику такую игру. Он (Шевалье) бросает пару кубиков 24 раза и выигрывает в случае, если хотя бы раз выпадает пара (6, 6). Противник бросает 4 раза один кубик (или, что то же самое, четыре кубика один раз) и выигрывает, если хотя бы раз выпало 6 очков. При этом Шевалье был уверен, что у него шансов на выигрыш при таких условиях больше, чем у соперника. Но почему-то Шевалье чаще проигрывал, чем выигрывал. Объяснить это он попросил Паскаля. Давайте вслед за Паскалем проанализируем эту ситуацию.

Посчитаем вероятности выигрыша Шевалье и его соперника и сравним их. Для Шевалье. Обозначим события: А – при бросании пары кубиков выпало две шестерки, В – при 24 подбрасываний пары кубиков событие А появилось хотя бы один раз (т. е. Шевалье выиграл). Посчитаем вероятность события А. В § 2 мы определили пространство элементарных исходов при однократном бросании пары кубиков  = _{11 ,} _{12 , … ,} _{16 ,} _{21 ,} _{22 , … ,} _{26 , … ,}_{61 ,} _{62 , … ,}₆₆ }, состоящее из 36 исходов, причем для события А благоприятен лишь один из них А = ₆₆, поэтому Р(А) = 1/36. Понятно, что 24 бросания пары кубиков это 24 независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р = 1/36. Поэтому вероятность того, что оно появиться хотя бы один раз (т. е. вероятность события В) можно посчитать по формуле (16.2) при р = =1/36 (а потому q = 35/36): Р(В) = 1 – (35/36)²⁴ ≈ 0,4914. Посчитаем вероятность выигрыша противника Шевалье. Обозначим события: А – при бросании одного кубика выпала шестерка, В – при 4 бросаниях кубика событие А появилось хотя бы один раз (т. е. соперник выиграл). Для читателя уже должно быть очевидно, что Р(А) = 1/6, а вероятность того, что это событие в 4 испытаниях появится хотя бы один раз Р(В) = 1 – (5/6)⁴ ≈ 0,5177. Теперь становится ясно, почему Шевалье выигрывал реже, чем его соперники.