5.4. Меры изменчивости

Меры центральной тенденции отражают уровень выраженности измеренного признака. Однако не менее важной характеристикой является выраженность индивидуальных различий испытуемых по измеренному признаку. Меры изменчивости применяются в психологии для численного выражения величины межиндивидуальной вариации признака.

Наиболее простой и очевидной мерой изменчивости является размах, указывающий на диапазон изменчивости значений. Размах − это просто разность максимального и минимального значений:

.

Ясно, что это очень неустойчивая мера изменчивости, на которую влияют любые возможные «выбросы». Более устойчивыми являются разновидности размаха: размах от 10 до 90-го процентиля (P₉₀ – P₁₀) или междуквартильный размах (Р₇₅ – Р₂₅). Последние две меры изменчивости находят свое применение для описания вариации в порядковых данных. А для метрических данных используется дисперсия − величина, название которой в науке является синонимом изменчивости.

Дисперсия − мера изменчивости для метрических данных, пропорциональная сумме квадратов отклонений измеренных значений от их арифметического среднего:

.

Чем больше изменчивость в данных, тем больше отклонения значений от среднего, тем больше величина дисперсии. Величина дисперсии получается при усреднении всех квадратов отклонений:

.

Следует отличать теоретическую (генеральную) дисперсию − меру изменчивости бесконечного числа измерений (в генеральной совокупности, популяции в целом) и эмпирическую, или выборочную, дисперсию – для реально измеренного множества значений признака. Выборочное значение в статистике используется для оценки дисперсии в генеральной совокупности. Выше указана формула для генеральной (теоретической) дисперсии (), которая, понятно, не вычисляется. Для вычислений используется формула выборочной (эмпирической) дисперсии(D_x), отличающаяся знаменателем:

.

Пример. Вычислим дисперсию признака Х для выборки N = 6:

№	xi	(xi – Mx)	(xi – Mx)^2
1	4	4 – 3	1
2	2	2 – 3	1
3	4	4 – 3	1
4	1	1 – 3	4
5	5	5 – 3	4
6	2	2 – 3	1
∑	18	0	12

М_х = 18 : 6 = 3; D_x= 12 : (6 – 1) = 2,4.

Стандартное отклонение илисреднеквадратическое отклонение σ (сигма) − положительное значение квадратного корня из дисперсии:

.

На практике чаще используется именно стандартное отклонение, а не дисперсия. Это связано с тем, что сигма выражает изменчивость в исходных единицах измерения признака, а дисперсия − в квадратах исходных единиц.

Свойства дисперсии.

1. Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) − дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в данных.

2. Прибавление одного и того же числа к каждому значению переменной не меняет дисперсию:

D_x+c = D_x, так как ∑[(x_i + c) – (M_x + c)]² = ∑(x_i – M_x)².

Прибавление константы к каждому значению переменной сдвигает график распределения этой переменной на эту константу (меняется среднее), но изменчивость (дисперсия) при этом остается неизменной.

3. Умножение каждого значения переменной на константу с изменяет дисперсию в с² раз:

D_x∙c = D_x∙c², так как ∑[(х_i∙с) − (M_x∙с)]² = c²∙∑(x_i – М_х)².

При объединении двух выборок с одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями дисперсия увеличивается.

Рис. 5.1. Графики распределения частот: с разной дисперсией

(D₁ < D₂), одинаковой дисперсией (D₂ = D₃) и разными средними арифметическими (M₂ < M₃)

Пример. Если одна группа содержит значения: 1, 1, 1, 1, 1, а другая группа − значения 3, 3, 3, 3, 3, то дисперсии этих групп одинаковы и равны 0. Если же объединить эти две группы, то дисперсия будет равна не 0, а 1.

Вообще говоря, справедливо утверждение: при объединении двух групп к внутригрупповой дисперсии каждой группы добавляется дисперсия, обусловленная различием между группами (их средними). И чем больше различие между средними значениями, тем больше увеличивается дисперсия объединенных групп.

Стандартизация или z-преобразование данных − это перевод измерений в стандартную Z-шкалу со средним М_z = 0 и D_z (или σ_z) = 1. Сначала для переменной, измеренной на выборке, вычисляют среднее М_х стандарт­ное отклонение σ_х. Затем все значения переменной х_i, пересчитываются по формуле:

. (5.1)

В результате преобразованные значения (z-значения) непосредственно выражаются в единицах стандартного отклонения от среднего. Если для одной выборки несколько признаков переведены в z-значения, появляется возможность сравнения уровня выраженности разных признаков у того или иного испытуемого. Для того чтобы избавиться от неизбежных отрицательных и дробных значений, можно перейти к любой другой известной шкале: IQ (среднее 100, сигма 15); Т-оценок (среднее 50, сигма 10); 10-балльной − стенов (среднее 5, 5, сигма 2) и др. Перевод в новую шкалу осуществляется путем умножения каждого z-значения на заданную сигму и прибавления среднего:

S_i = σ_s∙z_i + M_s.

Асимметрия − степень отклонения графика распределения частот от симметричного вида относительно среднего значения. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель асимметрии вычисляется по формуле:

.

Рис. 5.2. Асимметрия распределений:

а) левосторонняя, положительная;

б) правосторонняя, отрицательная

Для симметричного распределения асимметрия равна 0. Если чаще встречаются значения меньше среднего, то говорят о левосторонней, или положительной асимметрии (As > 0). Если же чаще встречаются значения больше среднего, то асимметрия − правосторонняя, или отрицательная (As < 0). Чем больше отклонение от нуля, тем больше асимметрия.

Эксцесс − мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель эксцесса определяется формулой:

.

Рис. 5.3. Эксцесс: а) положительный; б) отрицательный

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ех > 0), а плосковершинное − отрицательным (-3 < Ех < 0). «Средневершинное» (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех = 0).