Задачи и упражнения

1. Некоторое свойство измеряется при помощи тестовой шкалы СЕЕВ (М = 500, σ = 100). Какая приблизительно доля генеральной совокупности имеет балл от 600 до 700?

2. В генеральной совокупности значения IQ в шкале Векслера распределены приблизительно нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. С помощью таблиц определите следующие вероятности:

а) вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ между 79 и 121;

б) вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ выше 127; ниже 73.

3. Определите при помощи квантильного графика, соответствует ли нормальному виду распределение переменной со следующими значениями процентилей:

процентили	Р10	Р30	Р50	Р70	Р90
хi	6	8	10	11	12

В области каких значений шкала, в которой измерен признак, обладает большей дифференцирующей способностью (чувствительностью), а в какой – меньшей?

7. Общие принципы проверки статистических гипотез

7.1. Проверка статистических гипотез

Полученные в экспериментах выборочные данные всегда ограничены и носят в значительной мере случайный характер. Именно поэтому для анализа таких данных и используется математическая статистика, позволяющая обобщать закономерности, полученные на выборке, и распространять их на всю генеральную совокупность.

Подчеркнем еще раз, что полученные в результате эксперимента на какой-либо выборке данные служат основанием для суждения о генеральной совокупности. Однако в силу действия случайных вероятностных причин оценка параметров генеральной совокупности, сделанная на основании экспериментальных (выборочных) данных, всегда будет сопровождаться погрешностью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончательные утверждения. Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез. Как указывает Г. В. Суходольский: «Под статистической гипотезой обычно понимают формальное предположение о том, что сходство (или различие) некоторых параметрических или функциональных характеристик случайно или, наоборот, неслучайно».

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин? Таким образом, статистическая гипотеза – это научная гипотеза, допускающая статистическую проверку, а математическая статистика – это научная дисциплина, задачей которой является научно обоснованная проверка статистических гипотез.

7.2. Нулевая и альтернативная гипотезы

При проверке статистических гипотез используются два понятия: так называемая нулевая (обозначение Н₀) и альтернативная гипотеза (обозначение Н₁).

Принято считать, что нулевая гипотеза Н₀ – это гипотеза о сходстве, а альтернативная Н₁ – гипотеза о различии. Таким образом, принятие нулевой гипотезы Н₀ свидетельствует об отсутствии различий, а гипотезы Н₁ о наличии различий.

Если, например, две выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, причем одна выборка имеет параметры М_х и σ_х, а другая параметры М_у и σ_у, то нулевая гипотеза исходит из предположения о том, что М_х = М_y и σ_х = σ_у, т. e. разность двух средних М_х – М_у = 0 и разность двух стандартных отклонений σ_х – σ_у = 0 (отсюда и название гипотезы – нулевая).

Принятие альтернативной гипотезы Н₁ свидетельствует о наличии различий и исходит из предположения, что М_х – М_у ≠ 0 и σ_х – σ_у ≠ 0.

Вообще говоря, при принятии или отвержении гипотез воз­можны различные варианты.

Например, психолог провел выборочное тестирование показателей интеллекта у группы подростков из полных и неполных семей. В результате обработки экспериментальных данных установлено, что у подростков из неполных семей показатели интеллекта в среднем ниже, чем у их ровесников из полных семей. Может ли психолог на основе полученных результатов сделать вывод о том, что неполная семья ведет к снижению интеллекта у подростков? Принимаемый в таких случаях вывод носит называние статистического решения. Подчеркнем, что такое решение всегда вероятностно.

При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе Н₀, тогда эта гипотеза отклоняется. В противном случае, т.е. если экспериментальные данные согласуются с гипотезой Н₀, она не отклоняется. Часто в таких случаях говорят, что гипотеза Н₀ принимается (хотя такая формулировка не совсем точна, однако она широко распространена и мы ею будем пользоваться в дальнейшем). Отсюда видно, что статистическая проверка гипотез, основанная на экспериментальных, выборочных данных, неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода произойдет, когда будет принято решение отклонить гипотезу Н₀, хотя в действительности она оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет, когда будет принято решение не отклонять гипотезу Н₀, хотя в действительности она будет неверна. Очевидно, что и правильные выводы могут быть приняты также в двух случаях. Вышесказанное лучше представить в виде таблицы 7.1.

Таблица 7.1

Результат проверки гипотезы Н0	Возможные состояния проверяемой гипотезы
	Верна гипотеза Н0	Верна гипотеза Н1
Гипотеза Н0 отклоняется	Ошибка первого рода	Правильное решение
Гипотеза Н0 не отклоняется	Правильное решение	Ошибка второго рода

Не исключено, что психолог может ошибиться в своем статистическом решении; как видим из таблицы 7.1 эти ошибки могут быть только двух родов. Поскольку исключить ошибки при принятии статистических гипотез невозможно, то необходимо минимизировать возможные последствия, т. е. принятие неверной статистической гипотезы. В большинстве случаев единственный путь минимизации ошибок заключается в увеличении объема выборки.