УЧЕБНИКИ 1 Экономика / Демография / ДЕМОГРАФИЯ. Учебник. (МГУ, 2003)

m2 = (τmx2,β,τVx2,β) (τmx2,β,τVx1,β) . m1 (τmx2,β,τVx1,β) (τm1x,β,τVx1,β)

Теперь первый сомножитель измеряет вклад в изменение общего коэффициента смертности от изменения возрастной структуры, а второй — от изменения возрастной смертности. К сожалению, при этом меняется не только порядок, но и величина полученных индексов.

Компонентный метод основан на следующем разложении разности общих коэффициентов:

m2 − m1 =(τmx2,β,τVx2,β ) −(τm1x,β,τVx1,β) =

=(τm1x,β +(τmx2,β −τm1x,β ),τVx1,β +(τVx2,β −τVx1,β) −(τm1x,β,τVx1,β ) =

= ((τmx2,β −τm1x,β),τVx1,β ) +(τm1x,β,(τVx2,β −τVx1,β ) +((τmx2,β −τm1x,β),(τVx2,β −τVx1,β).

Первое слагаемое ((τmx2,β −τm1x,β ),τVx1,β ) можно интерпретировать как

вклад	изменения	возрастной	смертности,	второе	слагаемое
(τm1x,β,(τVx2,β −τVx1,β)		измеряет вклад	изменения возрастной		структуры, а

третье слагаемое ((τmx2,β −τm1x,β),(τVx2,β −τVx1,β) — совокупное влияние обоих факторов.

8.2.3.Вероятность смерти

Вреальном поколении, изменяющемся только под влиянием смертности, можно непосредственно определить не только коэффициент, но и так назы-

ваемую вероятность смерти τqx для человека, дожившего до точного

возраста x , в интервале возрастов от x до x + τ . Этот показатель определяется как отношение:

τ qx = τ Mγ xγ ,

Px

где Pxγ численность доживших до точного возраста x из данного поколения, а τM xγ — численность тех из них, кто умер в интервале возрастов

от x до x + τ . Отметим, с точки зрения математики, этот показатель вовсе не вероятность, а относительная частота, или эмпирическая вероятность. Термин «вероятность смерти» — лишь дань традиции.

В реальном поколении, изменяющимся только под влиянием смертности, вероятность смерти следующим образом соотносится с коэффициентом смертности:

153

	τqx =			τ τmx	,
		1		+ (τ−τax ) τmx

где x+τax — средний возраст смерти в интервале возрастов от x до x + τ .

Эта формула предложена Чангом в 1968 г.

Если численность поколения меняется не только под влиянием смертности, то прямой расчет вероятности смерти невозможен, но она может быть определена приближенно на основе коэффициента смертности. Также приближенно вероятность смерти в данном интервале возрастов может быть определена на основе возрастного коэффициента смертности календарного периода.

Метод расчета зависит от избранной гипотезы о характере распределения смертей в интервале возрастов ( x , x + τ ). Часто предполагается, что смерти равномерно распределены внутри возрастного интервала. В этом случае величина τax равна половине длины возрастного интервала ( x , x + τ ),

т.е. τax = τ2 и если τ =1, то:

	qx =			mx		.
		1		+ 1	2 mx

Данный классический вариант формулы Чанга применяется с XIX в. Эта формула применима для всех возрастов, кроме возраста 0 лет, когда гипотеза о равномерном распределении абсолютно не приемлема. Существуют разные алгоритмы уточнения величины τax , использующие данные

об уровне смертности в соседних возрастных группах.

Альтернативная гипотеза предполагает, что в течение интервала возрастов ( x , x + τ ) сохраняется неизменная интенсивность смертности. Можно доказать, что тогда:

τ qx =1−e -τ τmx .

Данную формулу предложил В.В. Паевский в конце 1920-х гг. Количественно обе гипотезы приводят к весьма близким результатам. Однако и эта формула неприменима для возраста 0 лет, когда в зависимости от имеющихся данных используются разные приближенные формулы расчета вероятности смерти новорожденного в течение первого года жизни, которую также называют коэффициентом младенческой смертности.

Существует очень много формул для расчета коэффициента младенческой смертности. Все их можно разделить на две группы. Первые основаны только на коэффициенте смертности в возрасте 0 лет, вторые — используют более детальную информацию о смертности на первом году жизни. Формулы первой группы представляют собой вариант формулы Чанга, до-

154

полненной некоторой гипотезой о величине a0 . В первых вариантах фор-

мул предполагалось, что средний возраст смерти на первом году жизни равен 1/3 года, позднее — 1/4 года. Чем ниже уровень смертности, тем меньше средний возраст смерти. Основываясь на данных по ряду стран, Кейфитц предложил следующую эмпирическую формулу для определения среднего возраста смерти на первом году жизни:

a0 = 0,07 +1,7 m0

В России при расчете коэффициента младенческой смертности используется формула:

		M 0				M -1
m		=		0	+		0		,
				0			-1
	0		N			N
				0			0

где M 00 — число умерших в возрасте до 1 года из родившихся в том году,

для которого проводятся вычисления; M 0-1 — число умерших в возрасте до 1 года из родившихся в предыдущем году; N 00 — число родившихся в том году, для которого проводятся вычисления; N 0-1 — число родивших-

ся в предыдущем году.

Вставка 8.3. Помимо общего коэффициента младенческой смертность рассчитываются частные коэффициенты: коэффициент мертворождаемости — отношение числа мертворожденных в данном году к числу родившихся живыми и мертвыми в этом году; коэффициент ранней неонатальной смертности — отношение числу умер-

ших на первой неделе жизни (в возрасте 0–7 дней) в данном году к числу родившихся живыми и мертвыми в том же году; коэффициент перинатальной смертности—

сумма коэффициентов мертворождаемости и ранней неонатальной смертности. Коэффициент младенческой смертности рассчитывается также поклассам при-

чин смерти как доля умерших от определенной величины, умноженная на общий коэффициент младенческой смертности.

В том случае, если смерти детей моложе одного года распределены только по году смерти и возрасту смерти, можно воспользоваться двумя показателями. Наиболее грубый показатель состоит в соотнесении чисел умерших в данном году с числами родившихся в данном году:

m0 = MN0 ,

где M 0 — общее число умерших до 1 года.

155

Этот показатель не учитывает возможных колебаний чисел родившихся из года в год.

Более точный показатель был предложен немецким демографом Й. Ратсом в начале XX века и носит его имя. Формула Ратса выглядит следующим образом:

	m0	=	M 0		,
			α N 0	+β N −1

где α и β — веса, которые определяются закономерностями распределе-

ния смертей по месяцам на первом году жизни. Ратс принимал эти весы равными, соответственно, 2/3 и 1/3. По мере снижения уровня младенческой смертности, сопровождающегося сдвигом большой части смертей к первому месяцу жизни за счет увеличения доли смертей, обусловленной эндогенными факторами, соотношение весов меняется (см. табл. 8.2).

Табл. 8.2. Соотношение весоввформулеРатсаиуровнямладенческойсмертности

уровень младенческой смертности,		веса, %
m0, ‰	α		β
200	60		40
150	67		33
100	75		25
50	80		20
25	85		15
15	95		5

Источник: Termot M., Wunsch G. Introduction to Demographic Analysis. P. 84

Число живущих в возрасте от x до x + τ лет, точнее говоря число че- ловеко-лет жизни прожитых в этом интервале возрастов τ Lx , определяется из соотношения τ Lx = τdx τmx . Число человеко-лет жизни в возрасте x лет и старше Tx равно:

Tx = ∑τ Ly . y≥x

Итак,	lx доживших до возраста x лет проживут Tx человеко-лет, а
каждый из них Tx		lx лет. Это и есть самый известный показатель таблицы
смертности — ожидаемая продолжительность жизни в возрасте			x лет.
Возрасту	0 лет	соответствует ожидаемая продолжительность	жизни
при рождении.

Продолжительность жизни человека — возраст его смерти, а ожидаемая продолжительность жизни новорожденного — средний возраст смерти для

156

поколения. Средний возраст смерти в интервале возрастов ( x , x + τ ) равен x+τax . Отсюда:

		∑(x+τax ) τ d x
	e0 =	x	.
		l0

Величина τax однозначно определяется парой τmx , τqx . Рассчитанная для календарного периода, на основе ряда τmx ожидае-

мая продолжительность жизни новорожденного e0 не более, чем инте-

гральная характеристика смертности соответствующего календарного периода, выраженная в годах.

8.2.4. Таблицы смертности по причинам смерти

Таблица смертности — это таблица уменьшения численности совокупности, модель выбытия, при одной причине выбытия. Риск не дифференцирован. Таблицы смертности по причинам смерти — это таблица множественного выбытия с конкурирующими рисками смерти.

В полной аналогии с коэффициентом смертности от всех причин может быть рассчитан коэффициент смертности от конкретной причины

смерти, обозначим его τmix , где i =1, 2, ..., z , порядковый номер причины.

В классической модели предполагается, что причины смерти не пересекаются (нельзя умереть от двух причин одновременно), и список причин полный (каждый умерший может быть отнесен к одной из причин смерти). Если в реальности последнее условие нарушается, то модель дополняется еще одной причиной смерти, например, «все остальные и не ус-

тановленные причины»). Тогда τ mx = ∑τ mix . С вероятностями смерти

i

дело обстоит много сложнее. Допустим, z = 2 , и мы определили вероятности смерти от двух причин смерти τ qix . Пусть τ qx — общая (от всех причин) вероятность смерти. По правилам теории вероятности, τ qx =1− (1−τq1x ) (1−τqx2 ) и τq1x +τqx2 ≥τqx . Поэтому определение τ qix даже в случае двух причин достаточно сложная задача. Проще определяются числа умирающих в возрасте от x до x + τ лет от некоторой причины смертиτdxi :

τdxi =τmix τLx .

Ясно, что τdx = ∑τdxi .

i

157

Табл. 8.2. Таблица смертности населения Российской Федерации, 1997 г., мужчины

	число дожи-	число умираю-	вероятность	вероятность	число жи-	число челове-	Ожидаемая про-
возраст	вающих	щих в возрасте	умереть	дожить	вущих в воз-	ко-лет жизни	должительность
x, лет	до возраста	от x до x +τ лет	в возрасте от x	от возраста x	расте от x	в возрастах	жизни в возрасте
	x лет		до x+τ лет	до x +τ лет	до x +τ лет	x лет и старше	x лет
x	lx	τdx	τqx	τ px	τLx	Tx	ex
0	100000	1952	0,01952	0,98048	98684	6075321	60,75
1	98048	186	0,00190	0,99810	97955	5976637	60,96
2	97862	101	0,00103	0,99897	97813	5878682	60,07
3	97761	78	0,00080	0,99920	97724	5780869	59,13
4	97683	71	0,00073	0,99927	97657	5683145	58,18
5	97612	280	0,00287	0,99713	487367	5585488	57,22
10	97332	313	0,00322	0,99678	485991	5098121	52,38
15	97019	957	0,00986	0,99014	483194	4612130	47,54
20	96062	1839	0,01914	0,98086	476197	4128936	42,98
25	94223	2175	0,02308	0,97692	464704	3652739	38,77
30	92048	2699	0,02932	0,97068	453634	3188034	34,63
35	89349	3429	0,03838	0,96162	439419	2734401	30,60
40	85920	4529	0,05271	0,94729	419267	2294982	26,71
				158

Табл. 8.2. Окончание

		число дожи-	число умираю-	вероятность	вероятность	число жи-	число челове-	Ожидаемая про-
	возраст	вающих	щих в возрасте	умереть	дожить	вущих в воз-	ко-лет жизни	должительность
	x, лет	до возраста	от x до x +τ лет	в возрасте от x	от возраста x	расте от x	в возрастах	жизни в возрасте
		x лет		до x+τ лет	до x +τ лет	до x +τ лет	x лет и старше	x лет
	x	lx	τdx	τqx	τ px	τLx	Tx	ex
	45	81391	6001	0,07373	0,92627	392277	1875715	23,05
	50	75390	7752	0,10283	0,89717	357909	1483437	19,68
	55	67638	9617	0,14218	0,85782	314824	1125528	16,64
	60	58021	10895	0,18778	0,81222	263375	810704	13,97
	65	47126	11543	0,24494	0,75506	207228	547329	11,61
	70	35583	11189	0,31445	0,68555	149266	340101	9,56
	75	24394	9656	0,39584	0,60416	97039	190835	7,82
	80	14738	7171	0,48657	0,51343	54593	93796	6,36
	85 и	7567	7567	1,00000	0,00000	39203	39203	5,18
	более

159

Реально в анализе используются три типа показателей таблиц смертности по причинам смерти. Первый — ожидаемая вероятность

для новорожденного (когда-либо в будущем) Qi умереть от некоторой причины смерти, равная доли тех в модельном поколении таблиц, кто уми-

рает от данной причины смерти Qi = ∑d xi	, ясно что ∑Qi = l0 .
x	i

Второй показатель — это средний ожидаемый возраст смерти от не-

которой причины смерти X i , рассчитывается аналогично ожидаемой продолжительности жизни для новорожденного.

	X i =	∑(x+τaix ) τ d xi
		x	,
		Qi

где τaix — число лет прожитых умершим от причины i в соответствующем интервале возрастов. Обычно в расчетах допускают, что для каждой из причин τaix =τax .

Наконец, третий показатель — это ожидаемая продолжительность жизни при устранении некоторой причины смерти. Эта характеристика смертности от данной причины определяется путем расчета таблицы смертности от суммы всех причин, кроме данной причины i, т.е. в качестве исходного ряда для расчета таблицы смертности берется ряд

τmx¬i =τmx −τmix . Данный расчет носит весьма условный характер. Очевид-

но, что устранение одной причины смерти может привести к росту смертности от других в более старших возрастах, что не учитывается. Кроме того, в развитых странах более половины поколения умирает от болезней системы кровообращения, причем с этой причиной связано большинство смертей в старческих возрастах. Поэтому достаточно трудно вообразить, какой бы была смертность, если бы устранить данную причину. Но для многих причин смерти, например для несчастных случаев, отравлений и травм, этот прием позволяет оценить негативное влияние данной причины смерти на продолжительность жизни.

8.2.5. Компонентный анализ продолжительности жизни

Ожидаемая продолжительность жизни для новорожденного — наиболее часто употребляемая характеристика уровня смертности. Поэтому чрезвычайно полезно научиться соизмерять различия в смертности в двух населениях в некотором интервале возрастов в терминах ожидаемой продолжительность жизни или, другими словами, научиться оценивать влияние

160

различий в смертности в некотором возрасте на этот показатель. Первым такую попытку предпринял Ю.А. Корчак–Чепурковский в статье, опублико-

ванной в 1968 г.1. В более	современной записи формула	Корча-
ка-Чепурковского для оценки	вклада смертности в интервале	возрастов

(x, x+τ) в различие ожидаемой продолжительности жизни между таблицами смертности (8.1) и (8.2), обозначим ее через τ∆1x,2 , выглядит следующим образом:

	(1),(2)		(lx(1)	+lx(2) )	(2)	(1)		(lx(1+)τ +lx(2+)τ)	(2)	(1)
	τ∆x	=			(ex	−ex	) −		(ex+τ − ex+τ) .
			2	l0				2 l0

В формуле использованы те же обозначения, что в разделе 8.2.3. Показатели, относящиеся к первой таблице смертности, отмечены (1), ко второй — (2). С точки зрения расчета, безразлично, относятся ли таблицы (1) и

(2) к одному населению в разные периоды времени или к разным населениям. Можно показать, что τ ∆(x1),(2) = −τ∆(x2),(1) . Величины τ∆(x1),(2) можно

складывать, чтобы получить показатель по более крупной возрастной группе. Главный недостаток формулы Корчака-Чепурковского и всех аналогичных, который не удается устранить, в том, что в общем случае:

τ∆(x1),(3) ≠τ∆(x1),(2) +τ∆(x2),(3) .

В1982 г. Е.М. Андреев предложил вариант формулы Корчака-Чепур-

ковского, позволяющий оценить влияние смертности в данном возрасте от некоторой причины i жизни на ожидаемую продолжительность жизни:

	(1),(2)	(1),(2)		(τmix,(2)	−τmix,(1) )
	τ∆x,i	=τ∆x				.
				(τmx(2)	−τmx(1) )

В отличие от исходной формулы, формула для оценки вклада причин смерти — приближенная, ее лучше использовать для минимально возможных интервалов возраста, а для получения оценок для более крупных интервалов складывать результаты расчета.

8.2.6. Продольный и поперечный анализ смертности

Большинство таблиц смертности рассчитываются для календарных периодов, и смертность реальных поколений достаточно редко становится объектом демографического анализа. Такое положение определяется рядом при-

1 К сожалению, при наборе формул в первом издании было допущено несколько ошибок, поэтому целесообразно пользоваться переизданием 1987 г.

161

чин. Укажем две важнейшие. Первая — значительные сложности, возникающие при попытке реконструировать данные о смертности реальных поколений на основе существующих в большинстве стран данных статистики смертности. Вторая — стремление большинства исследователей анализировать последние, самые современные данные о смертности, для чего в большинстве случаев не требуется когортный подход. Более того, многие исследователи забывают, что рассчитанная для календарного периода, на основе ряда коэффициентов смертности таблица не более чем модель, характеризующая смертности соответствующего календарного периода, и из соотношения показателей таблиц пытаются формулировать гипотезы о закономерностях смертности поколений, не заботясь о том, что в разных возрастах мы фиксируем смертность представителей различных поколений.

	1
	0,9
										Женщины
	0,8
доживших	0,7
	0,6										Мужчины
Доля
	0,5
	0,4
	0,3
	1920	1922	1924	1926	1928	1930	1932	1934	1936	1938	1940	1942	1944	1946	1948	1950	1952	1954	1956	1958
											Годы
	Рис. 8.2. Доля доживших до данного возраста из числа 20-летних
					в поколении 1900 г. рождения, СССР

Согласно	справочникам,		ожидаемая	продолжительность		жизни
в России у мужчин около 60, а у женщин —					более 70 лет, но можно
с уверенностью	сказать,	что ни в одном		из	поколений, родившихся
до Второй Мировой		войны,	продолжительность жизни			мужчин

не превзойдет 50, а женщин — 60 лет. Эта оценка вытекает из истории российской смертности. На рис. 8.2 представлена динамика смертности поколения родившихся в 1900 г. на территории бывшего СССР в возрастах 20-60 лет (Андреев, Дарский, Харькова, 1993). На рисунке видны потери в результате смертности в период Отечественной войны и голода 1933 г.

162