5.3.1. Абсолютная оценка точности отдельного измерения

Используются обычно такие оценки как СКО (стандарт), САО, вероятное или серединное отклонения. Существуют такие варианты исходных данных для нахождения оценки:

а) ряд измерений одной величины, причем истинное значение измеряемой величины известно; или же оно неизвестно;

б) пары измерений однотипных величин, выполненных в одних условиях, причем истинное значение измеряемой величины известно; или же оно неизвестно. Рассмотрим эти варианты.

5.3.1.1. Нахождение ско одного измерения по ряду измерений величины, истинное значение которой известно

В качестве истинного всегда можно принять значение величины, точность определения которого на порядок (в 10 раз) выше точности обрабатываемых измерений.

Пусть величина X, истинное значение которой есть x_ист , измерена в одинаковых условиях n раз. Получен ряд значений x₁,x₂,..., x_n. Тогда истинное отклонение каждого измерения .(5.1)

Согласно математическому ожиданию оценку S одного измерения находим по истинным отклонениям как , где вероятность появления одного измерения p= 1/n. (5.2)

Здесь предполагается, что вероятность p появления любого из значений х_i равна 1/n, т.е. все наблюденные значения равновероятны, ибо вначале ничего другого о распределении, кроме того, что появились эти значения, нам неизвестно. Фактически вероятность появления разных значений х_i различна. Эти n наблюдений мы можем разделить на группы близких между собою значений. Одни группы будут многочисленны, т.е. частота и вероятность появления этих значений высокая. В других будут единицы наблюдений, т.е. их вероятность маленькая. Следовательно (5.2) обеспечивает учет закона распределения наблюдаемой величины. Что это за распределение, мы при необходимости можем определить по этим же данным.

Мы предполагаем также, что чувствительность метода измерений неограниченно возрастает. Чувствительность оценивается порогом. Порог  есть такое изменение количества величины (такой диапазон изменения), которое приводит к изменению отсчета измерительного средства, к срабатыванию отсчетного устройства. Следовательно, высота порога  стремится к нулю.

Если, например, порог очень высокий (диапазон изменения, вызывающий изменение отсчета на единицу), то значение для всей группы измерений будет получаться одно и то же. Поэтому и среднее из них будет иметь то же значение. Никаких уклонений от среднего, т.е. уклонения будут равны нулю. Отсюда дисперсия будет равна нулю. Но это говорит не о точности измерений, а о грубости метода измерений. Дельта-распределение

При низком пороге будет большой разброс по всему полю значений: и большие уклонения и малые бут встречаться почти одинаково часто. Распределение стремится к равномерному.

Если порог  отличен от нуля, то значение S будет приближенным даже при неограниченном возрастании числа измерений. Связь уточненного значения S с порогом  (длиной интервала) выражается формулой Шепарда (5.3)

Возможно такое объяснение этой поправки: она уменьшает S² на величину ²/12. Мы полагаем, что на интервале  распределение равномерное, его дисперсия (см. равномерное распределение) - ²/12.

Пусть вычислено (), а уточненное () т.е. оно уменьшилось только на 0.5%. Из (5.3) находим порог чувствительности . Отсюда =3.747. Сравнивая его с , видим, что он (порог) составляет четверть СКО ( 0.245 S) измерения. Отсюда следует, что при измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях, даже если их количествоn , значение S будет содержать не более двух верных цифр, не принимая во внимание первые 1,9, 0, (как в числах 15.297 и 15.259),

К примеру, отсчет на приборе изменяется через =2 мкм, а СКО измерения снимка S 6 мкм, тогда оценка СКО теоретически определится не точнее десятых мкм: Для цифры шаг – это пиксел.

Сверх этого при более тщательной оценке СКО следует учесть тот факт, что при несмещенности оценки дисперсии S², оценка S стандарта, вычисленная по (5.2), будет смещена в меньшую сторону. Коэффициент смещения k вычисляют, исходя из объема измерений n:

, (5.4) где гамма-функция.

Коэффициент k уменьшается от 0.128 при трех измерениях до 0.005 при пятидесяти. Чтобы сохранить две верных цифры в оценке СКО по истинным уклонениям от истинного значения, должно увеличить вычисленное по (5.2) значение на 12.8% при трех измерениях и всего на 0.5% при пятидесяти измерениях.

Таблица6.0

Значения коэффициента k при числе измерений от 3 до 15:

Число измерений n	3	4	5	6	7	11	15
Коэф. увеличения k	.13	.10	.08	.06	.04	.03	.02

(проверить – не тот порядок чисел)

Число измерений n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	11
Коэф. Увелич. k*10	4.3	2.1	1.3	1.0	0.9	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1