5.3.1.8. Вероятное отклонение (ошибка)

В войсковой практике используют критерий точности, называемый вероятная ошибка. За вероятную ошибку принимают модуль такого значения r отклонения , которое ограничивает симметричную область под кривой нормальной функции плотности вероятности, равную0.5. По этому значению вероятности из находим значение нормированного отклонения t (). Оно составит. Отсюда , (5.15)

где S вычисляется согласно (5.?) или  согласно (5.12). Таким образом, при нормальном распределении вероятность уклонения в пределах r на ниже, а значениеr на меньше с.к.о.

На практике вероятное отклонение находят без вычислений путем ранжирования ряда модулей отклонений в порядке возрастания или убывания значений. Среднее в ряду отклонений от среднего будет близко к r. Найденную путем ранжирования оценку называют срединной ошибкой. Срединная ошибка не зависит от закона распределения, не реагирует на хвосты (асимметрию) и эксцесс, т.е. робастна.

Сделать сводную табл оценок

5.3.2. Относительные отклонения

До Относительное отклонение определяют по соответствующему абсолютному. Пусть x измеренное значение величины X. Тогда

S/x = 1/N₁ среднее квадратическое относительное отклонение,

/x= 1/N₂ среднее относительное отклонение,

r/x= 1/N₃ вероятное относительное отклонение,

/x= 1/N₄ истинное относительное отклонение.

Относительные отклонения используют для характеристик точности тогда, когда существует линейная зависимость значения абсолютной характеристики отклонения от размера измеряемой величины, например, для характеристики точности измерения длины отрезка. Измерения, характеризующиеся относительными отклонениями менее 0.001 (0.1%), называют точными. Примеры измерений: продольный параллакс точное p=68.350 0.025, относительное отклонение 25/68350=3/10000; поперечный параллакс неточное - q= 5.003 0.025, относительное отклонение 25/5003=5/1000, показывают, что относительное отклонение есть эффективная характеристика степени точности измерений.

5.4. Оценка точности определения значения ско (сао)

Надежной оценкой точности определения СКО при нормальном распределении наблюдений служит доверительный интервал вычисленного значения оценки СКО, найденный по распределению ², как показано в предыдущей главе (ссылка). На практике важно хотя бы приближенно оценить, насколько реальное значение СКО может быть больше вычисленного (в пределах правой граница доверительного интервала). Для приближенной оценки используют простой подход, а именно вычисляют СКО определения оценки СКО -"ошибку ошибки" по формулам, полученным Хелмертом [ ] для значения СКО S, вычисленного по данным n наблюдений,

; (5.17)

для значения САО , вычисленного по данным n наблюдений,

. (5.18)

Отсюда очевидно, что при малом числе наблюдений ошибка оценки СКО будет весьма большой.

Например, измерены две линии равной длины: первая девятью, а вторая шестнадцатью приемами. Получены СКО для первой линии S=2.83мм, а для второй S=3.01мм. С учетом «ошибки ошибки» получаем максимальные значения S для первой линии S=2.83мм+ 0.67мм = 3.50мм, а для второй S=3.01мм+0.53= 3.54мм. Вывод: эти оценки практически равнозначны.

Формулы Хелмерта получены для нормальных измерений. Но существует много видов измерений, следующих другим распределениям. Оценкой точности определения дисперсии, робустной к закону распределения, служит, например, величина (Смирнов и Дунин-Барковский с.320), вычисляемая по эксцессу выборки,

(5.19)

где -оценка четвертого центрального момента (эксцесса), S² оценка дисперсии, n -объем выборки. Отсюда приближенно при объеме выборки большем 20 точность оценки СКО ( Крамер, Мат методы статистики с.387)

проверить (5.20)

Подставляя сюда выражение для оценки эксцесса E (3. ), получаем

(5.21)

Так как для нормального распределения коэффициент эксцесса Е=0, то формула Хелмерта есть частный случай выражения (5.21). Из (5.21) получаем относительную СКО оценки S:

(5.22)

Это интересный результат, ибо (5.22) показывает, что относительная ошибка определения СКО зависит только от объема однородной выборки и эксцесса ее распределения. Точность измерений (дисперсия) влияет только через оценку Е.!