5.3.1.2. Нахождение ско одного измерения по ряду измерений величины, истинное значение которой неизвестно

В данном наиболее распространенном случае вначале вычисляют (предполагая равновероятость (и равноточность) появления значений всех измерений) среднее арифметическое из ряда : x_ср = ( x _i)/n. Обоснование этого результата рассмотрим в следующей главе. Вычисляют уклонения от x_ср: . (5.5)

По уклонениям вычисляют СКО как стандарт генеральной совокупности:

. (5.6)

берется потому, что одно из измерений использовано для формирования x_ср. Так как мы не можем отдать предпочтение какому- либо из измерений, то это среднее сформировано из кусочков всех измерений (от каждого отрезали по , т.е. по доле, пропорциональной его размеру.

В геодезии (5.6) называют по имени его автора формулой Бесселя (Фридрих Вильгельм 1784-1846). Все сказанное о точности и смещенности оценки справедливо и в этом случае.

5.3.1.3. Нахождение сао одного измерения по ряду измерений величины, истинное значение коей известно

САО или средней ошибкой называют математическое ожидание абсолютного значения истинной ошибки  (5.1), ее абсолютный центральный момент, .(5.7)

Оценку САО вычисляют по истинным ошибкам (уклонениям) согласно

, где вероятность . (5.8)

Как рассмотрено ранее, САО более эффективная, нежели СКО, оценка ряда измерений, содержащего грубые ошибки. Ее легко определять, ее целесообразно использовать для отбраковки грубых измерений. Поэтому САО широко применяется в топографии и в фотограмметрии.

5.3.1.4 Связь сао и ско при нормальном распределении

Для связи САО и СКО найдем абсолютный начальный момент случайной величины. Если t нормальное, т.е. , то. Множитель 2 учитывает, что на оси  соответствуют две точки. Берем этот интеграл от 0 до : . Поэтому. Так как по определению, то или .(5.9)

Обратное соотношение: . (5.10)

5.3.1.5 Нахождение САО одного измерения по ряду измерений величины, истинное значение которой неизвестно. Когда измеряют для нахождения неизвестного значения величины, то для оценки САО мы располагаем отклонениями от среднего (5.5): . Чтобы найти САО по v _i, воспользуемся формулой Бесселя (5.6) и формулой связи САО и СКО (5.09 ). Подставляя в последнюю формулу (5.6), выражаем САО через . (5.11)

Перейдем теперь от v_i к модулям |v_i |. Для этого выразим через . Так как v_i случайная величина, то ее САО определится (5.8) . Эту же оценку можем найти и по (5.11). Обратите здесь внимание на отличие этого значения p от вычисляемого p в (5.11). Приравнивая левые части этих выражений и учитывая значения p, находим искомую связь и : . Заменим в (5.11)на согласно этому соотношению: . (5.12)

В геодезии (5.12) называют по имени ее автора формулой Петерса (Христиан-Август-Фридрих в1839-1890? астроном Пулковской обсерватории).

Примечание: формулы Бесселя и Петерса легко распространяются на все другие оценки.