Вектор-функция случайного вектора

Пример: при вычислении координат точек в системе снимка мы должны учесть влияние ошибок наблюдений координатных меток, а не только ошибок наблюдений точек. Отсчеты на координатные метки используются при вычислении координат и параллаксов всех точек снимка, значит, все вычисленные координаты х , у снимка (а для стереопары еще р и q) суть функции отсчетов Vx и Vу на точку и отсчетов +1, +2 +3 +4 на координатные метки, поэтому они будут коррелированны:

Столбец слева от знака равенства есть вектор функций случайных величин. Для вектора функций согласно (9.2) мы можем записать вектор A, состоящий из градиентов Fi . Образуется матрица. Это матрица первых производных, которую называют матрицей Якоби (а ее определитель - якобиан). Зная матрицу Якоби и ковариационную матрицу Kx случайного вектора , размер которой будет 2(n+4) на 2(n+4), мы вычисляем по (9.2) ковариационную матрицу вектор-функции ( 9.4) .Для наглядности раскроем матрицы ( 9.4)

Запись для вектора функций в алгебраическом виде получается крайне сложной:

(f/x₁)² S₁² +(f/x₂)²S₂²+. . . +(f/x_n)²S_n² + . . . +2f/x₁ f/x₂ r₁₂S₁S₂+. . .+2f/x_n-1f/x_nr_{n-1 n}S_n-1S_n (это частица формулы)

Формулы (9.2) или (9.3) служат для вычисления дисперсии функций случайного вектора, элементы которого коррелированны. Они действительны при рассмотренных выше условиях: (1) значение функции вычисляется не в особой точке функции, и (2) на рассматриваемом интервале функция близка к линейной.

Если корреляция между элементами вектора Х равна нулю, т.е. все , то ковариационная матрица K_F вырождается в диагональную, содержащую только дисперсии или же, что то же самое, корреляционная - в единичную. Тогда выражение для вычисления дисперсии функции ( 9.2) упрощается . (9.5) , а ковариационная матрица вектора функций ( 9.4) –станет диагональной (9.6)

Вычисление значения оценки

Пользуясь конкретными численными значениями аргументов и параметров, входящих в формулы, вычисляют численные значения частных производных . Если стандартSi аргумента x_i соизмерим с используемым значением аргумента x_i, то следует подсчитать значение соответствующих производных при , если данная величина находится в числителе, и при , если в знаменателе, и сравнить с ранее вычисленными. При отклонениях, более 10% от значения производной, в формулу оценки дисперсии функции подставляют большее значение производной.

Числовой пример. (1) Оценка точности определения превышения по разности продольных параллаксов.

Высота фотографирования H= 2100м определена с СКО S_H= 200 м, продольный параллакс на снимке р = 70 мм измерен с СКО Sp= 1 мм, а разность продольных параллаксов р= I мм - с СКО S_p= 0.1 мм. Находим превышение h= 2I00 1/70 = 30м. Корреляция отсутствует. Вычисляем =

= 30² (I/I0.5²+I/70²+I/I0²) = 8.I6 +0.I8 +9 = I7.34. Отсюда СКО определения превышения в 30 м будет S_h=√ I7.34= 4.16 м.

Так как относительная ошибкапри этих данных постоянна, то меньшее превышение определится точнее и наоборот.

(2) Так, если при тех же условиях разность продольных параллаксов составит 10мм, что дает превышение в 300 м, а точность ее измерения о S_p остается та же самая, то превышение в 300 м определится с СКО = (8I6+18+9)^1/2 = 843^1/2=29м. Мы здесь не учли того, что высота фотографирования и продольный параллакс изменились: Н уменьшилась, а р увеличился. Предполагается пересчитать самостоятельно.

Сравнивая составляющие ошибки в примерах (1) и (2), видим, что во втором влияние ошибки определения высоты фотографирования является преобладающим.

Рассмотрим, каково будет ее влияние при H- S_H =2100-200 м. (нижний предел, ибо Н в производной стоит в знаменателе). Влияние составит 99% общей ошибки, которая возросла на 10%, т.е. общее СКО - 32 м. Эту оценку принимаем за оценку СКО функции. Отметим, что в примере (1) влияние ошибки измерения продольного параллакса, а в (2) - еще и ошибки разности продольных параллаксов пренебрегаемо малы.

Общий вывод: для сохранения одной и той же абсолютной точности определения превышений, при больших превышениях местности нужно точнее определять все аргументы, служащие для вычисления его значения.