9.5. В. Обработка неравноточных коррелированных измерений

Постановка задачи. Имеется величина Х. Выполнена серия измерений этой величины: х₁, х₂,...,х_n, которая характеризуется ковариационной матрицей K с точностью до некоторого постоянного множителя ², то есть известна совместная характеристика относительной точности и коррелированности этих измерений. Требуется найти (1) значение х_cp измеренной величины и (2) оценить дисперсию S² ( стандарт S) этого значения.

Нахождение результата х_cp неравноточных коррелированных измерений. Основываясь на предположении, что каждое измерение хi подчиняется своему нормальному закону с дисперсией S²_i , а математическое ожидание М{xi} всех измерений одно и то же, т.е. нет систематических ошибок измерений, и все измерения коррелированны, мы запишем функцию правдоподобия (9.12) (в формулу добавить корреляцию) в векторном виде: , (9.25)

где Х^т = [х₁,, х₂... х_n] - вектор измеренных значений, X_cp =[ x_cp, x_cp, ... x_cp ] = x_cp I^т - вектор математических ожиданий, причем все они равны x_cp, К^-1 - матрица, обратная ковариационной - K .

Для отыскании значения x_cp при условии, что величина l (значение функции правдоподобия ) будет иметь максимум, возьмем первую производную по искомой переменной x_cp и приравняем ее нулю:

, где I – вектор-столбец, содержащий n единиц. Решая это равенство относительно неизвестного x_cp, получаем . (9.26)стр 9.23

Такая запись допустима, так как в числителе и знаменателе стоят матричные произведения (квадратичные формы), которые суть числа. Обозначив элементы матрицы К как и учитывая симметричность этой матрицы , перепишем предыдущее равенство в алгебраическом виде:(9.27) где- сумма элементовi-ой строки матрицы К^-1; . сумма всех элементов матрицы К^-1 , - приведенные к единице коэффициенты p.

Сравнивая формулы (9.27) с ранее полученными (9.15) и (9.19), мы можем рассматривать величины рi и рi' 'как новые веса. Таким образом, для нахождения результата неравноточных коррелированных измерений нужно

1) найти матрицу К и вычислить обратную ей К^-1 (или же Q)

2) найти сумму элементов каждой строки обратной матрицы рi

3) найти сумму всех элементов этой матрицы [р]

4) полагая суммы элементов строк pi в качестве весов, вычислить значение x_cp по (9.27).

Рассмотрим влияние корреляции на следующем примере. Получены два значения высоты точки, общей для двух смежных маршрутов фототриангуляции. Точность определения значений Z_l и Z₂ характеризуется соответственно дисперсиями и . Измерения коррелированны, так как измерялись снимки, полученные одним аэрофотоаппаратом на одном стереокомпараторе, при развитии сети использовались общие опорные точки. Тогда ковариационная матрица К будет

, а ей обратная .

Из ( 9. 26) получаем, сократив числитель и знаменатель на общий множитель ,.Сравнивая полученное выражение с (9.19), видим, что отношение гауссовых сумм дает значение x_cp без учета корреляции. Коррелированность приводит к появлению вторых слагаемых в числителе и знаменателе.

Пример. Рассмотрим диапазон изменений х_ср в зависимости от коэффициента корреляции r для конкретных значений S²₁=1 и S²₂=2 . Вычисленные значения коэффициентов при х₁, и при х₂ представлены в таблице 9.1.

Таблица 9.1

значение r	-1	-1/√2	0	0.5	1/√2	1
коэф.при x1	0.41	0.40	0.33	0.18	0	2.41
коэф.при x2	0.59	0.60	0.67	0.82	1	3.41

Представим xi = x0 + Δ и x^| = x₀ + Δ₀ и построим график зависимости значений х от r по данным таблицы 9.1 для двух пар х₁ и х₂ ,указанных на графике (Рис 9.2). На графике видно, что при отрицательной корреляции среднее из коррелированных измерений незначительно отличается от среднего из некоррелированных, т.е. отрицательную коррелированность можно не учитывать. При положительной корреляции среднее изменяется существенно.

Это следствие того, что в качестве оценки условились применять положительное значение S, а знак ковариации приписывать коэффициенту корреляции.

Оценка точности результата неравноточных коррелированных измерений

Результат измерений есть функция (9.27) вектора измерений Х^т= [х₁,x₂ ,...,x_n], характеризуемого ковариационной матрицей К. Для оценки дисперсии результата измерений находим градиент, дифференцируя эту функцию по всем пере- менным, которыми в данном случае служат измеренные величины (9.28) гдер' - приведенные веса коррелированных измерений согласно (9.33) согласно изложенному в п.9.2 . Далее в зависимости от сведений о ковариационной матрице поступаем так:

1 Ковариационная матрица К известна. Оценку дисперсии находим согласно (9.2) как .

2 Матрица К известна с точностью до постоянного множителя ² , т.е. , гдеQ матрица весовых коэффициентов. Вычисляем коэффициент ² (дисперсию единицы веса) по уклонениям v_i измерений хi от среднего из неравноточных измерений x_cp , ( 9.29)

где V^т=[v₁,v₂,...,v_n] - вектор уклонений измерений от x_cp .

Оценку дисперсии результата неравноточных измерений находим по формуле . (9.30)

где Q - данная матрица весовых коэффициентов; ² вычислена по (9.29); F - вычислен по (9.28).

Влияние коэффициента линейной корреляции весов на оценку среднего показано в табл.9.1. Значения уклонений Δ от среднего арифметическогоX_cp и их весов p записаны в последнем столбце. Как видно из этого примера, наличие корреляции может привести к смещению значения среднего весового на 100%Δ.

Таблица 9.1

Влияние коэффициента линейной корреляции r на оценку среднего из двух неравноточных измерений

r	-1.0←	-1/√2	-0.5	0	0.5	1/√2	→1.0	p1=1r
Kx1	√2-1	0.40	0.38	1/3	0.18	0	-√2-1	p2=2
Kx2	-√2+2	0.60	0.64	2/3	0.82	1	√2+2	p1 p2 =√2
Kx1Δ1	2.46	2.40		2.	1.08	0.0	-14.46	Δ1=6
Kx2Δ2	5.31	5.40		6.0	7.38	9.0	30.69	Δ2=9
Xcp=x0+Δ	7.77	7.80		8.00	8.46	9.0	→16.23
Kx1Δ1	3.69	3.60		3.0	1.62	0.0	-21,69	Δ1=9
Kx2Δ2	3.54	3.60		4.0	4.92	6.0	20.46	Δ2=6
Xcp=x0+Δ	7.23	7.20		7.0	6.54	6.0	→ -1.23

_ р₁=1; p₂=2, p₁p₂=√2

Рис.9.2 .График средних значений.

Дать рисунок 1 Сделать таблицу со стр24

12