Доверительный интервал дисперсии (стандарта) функции

Доверительный интервал для оценки дисперсии функции можно рассчитать по той же формуле (9.2), что служит для нахождения самой оценки.

Для этого следует, задаваясь одним значением доверительной вероятности , по распределению ² определить значения ²_л и ²_пр соответственно числу степеней свободы r_i для оценок дисперсий S_i² каждого из аргументов x_i. Далее вычисляют граничные значения каждого из аргументов . Подставив значения левой границы доверительного интервалав (9.2), получим значениелевой границы доверительного интервала дисперсии функции, а, подставив правые -, - значениеправой ( верхней ) границы дисперсии функции с доверительной вероятностью: .

Здесь  - диагональная матрица стандартов рассеяния аргументов.

Извлекая квадратные корни из граничных значений, находим доверительные границы стандарта Sy. Приближенно оценить интервал можно, как для отдельной СВ, т.е. по ее дисперсии.

9.I3

9.5. Допуски для функций

Допуски для явных функций. Вычисленные граничные нижнее и верхнее значения функции при данном значении случайного вектора ограничивают область допустимых значений функции с заданной вероятностью .

Допуски для невязок. Имеем неявную функцию  (Х) = 0. Согласно ( 9.2) ее дисперсия S²₀=ФКФ^т, где Ф - градиент неявной функции Ф= [/x₁... /x_n]. Истинное значение функции всегда равно нулю. Вследствие ошибок измерений реальное значение функции отличается от нуля. Величина W =(X), где X^т =[ х₁, х₂ ,..., х_n] - вектор измеренных (наблюденных) значений называется невязкой функции. Доверительный интервал для невязок, т.е. область допустимых значений невязок можно найти по схеме, рассмотренной для явной функции Отличие в следующем

а) интервал всегда содержит нулевое значение, а длина его меняется в зависимости от значений аргументов, дисперсий аргументов и их степеней свободы и, конечно, от доверительной вероятности;

б) если ковариационная матрица аргументов K найдена по этим же данным, то при учете корреляции S²₀=ФКФ^т =0.

Пример невязки. Элементы взаимного ориентирования находим по условным уравнениям (равенство нулю разностей ординат), следовательно, остаточный поперечный параллакс есть невязка этой функции.

Рассмотрим пример. Вы делаете самостоятельно для q, так как он очень простой, в лаб.раб 1

9.6 Оценка результатов наблюдений

Получив формулы оценки функций, применим их для отыскания результатов измерений и их дисперсий.

При этом мы должны помнить, что эти оценки будут состоятельными и несмещенными тогда, когда функции на оцениваем отрезке линейны, а распределения наблюдений не противоречат нормальными.

Рассмотрим три случая в порядке их усложнения.

9.6. А. Обработка равноточных измерений

Нахождение значения результата. Согласно ГОСТу 8.207-76 результат равноточных измерений определяют как среднее арифметическое из серии наблюдений. Такое определение исходит из предположения, что все наблюдения равновероятны. Полная вероятность данной серии наблюдений есть единица, ибо эта серия существует, и n наблюдений образуют полную группу событий. Тогда вероятность появления каждого измеренного значения 1/n. Отсюда начальный момент первого порядка (вывод будет далее) принимают в качестве среднего.

Оценка точности найденного значения результата. Дисперсия и СКО (стандарт) среднего.

Из вышеприведенной формулы находим градиент функции, т.е. набор производных по всем аргументам . Положим, что из обработки измерений найдена ковариационная матрица K данного вектора измерений Х=[х₁, . . . х_n] ,гдеR - корреляционная матрица, Σ- диагональная матрица стандартов (СКО). Теперь на основе (9.2) получим выражение для вычисления оценки дисперсии среднего:

Все наблюдения выполнены с одной точностью, то есть их дисперсии равны: . Полагая, что условия наблюдений были постоянны, примем, что все коэффициенты корреляции также равны, т е.. Тогда , гдеС_n²=n(n-1)/2 число сочетаний из n по 2 .

Для коррелированных измерений после приведения подобных членов получаем т.е. (9.9)

Для некоррелированных измерений из ( 9.I2), приравнивая коэффициент корреляции нулю, получаем приводимую в руководствах и справочниках формулу вычисления дисперсии S_xcр²= S²/n (и СКО ( стандарта среднего)), (9.10)

Из формулы (9.9) получаем для зависимых измерений, т. е. при r =1, .

Это равенство показывает, что при зависимых измерениях точность среднего остается та же, что и одного измерения. На практике всегда измерения коррелированны, и оценка точности результата лежит между этими двумя граничными значениями.

Вывод: широко применяемая формула (9.10) дает, как правило, смещенную оценку СКО результата. Для объективной оценки необходимо учитывать корреляцию.

Покажем это на примере. Пусть выполнены измерения координат точек одного фотоснимка на одном приборе при одном и том же положении снимка одним наблюдателем. Выполнено несколько приемов измерений координат каждой точки. Безусловно, такие измерения сильно коррелированны: наблюдатель старается придерживаться одного контура при наведении марки, ошибки определения места нуля действуют на все приемы как постоянные систематические, равно как ошибки прибора и разворота фотоснимка. Положим, что измерения выполнены 16 приемами, а коэффициент корреляции r =0.8, Тогда оценка стандарта среднего без учета корреляции согласно (9.10) S_x = S/sqrt(16)=0.25 S. При учете корреляции точность среднего из приемов будет согласно (9.9) S_x=S/sqrt(13)= = 3.6S/4 = 0.9 S. Если вспомним, что сама S известна не точнее 0.1 S, то очевидно, что при высокой коррелированности наблюдений увеличение числа приемов не повышает точности результата. Поэтому при измерении снимков основная цель повторных приемов исключить грубые ошибки и промахи.

Пример высокой коррелированности. Снимки ориентированы по координатным меткам. Измеряют «продольные» и «поперечные» параллаксы. По координатным осям, а не по базисным линиям. Поэтому ошибка наведения марки по высоте (продольный параллакс) приводит к ошибке поперечного параллакса, и наоборот.

Повторим еще раз (см. главу 2), что на практике иногда пытаются, основываясь на зависимости (9.10), повысить точность результата измерений низкоточным средством за счет увеличения числа приемов. Например, измерив расстояние средством измерений, дающим точность 1мм, ста приемами, мы формально получим оценку S_x=S/sqrt(100)=0.1 Sмм, что явно не соответствует действительности. Если же положим, что r = 1, так как одно и то же средство измерений содержит одну и ту же ошибку, то согласно (9.10) получим Sx=S, т.е. более правдоподобную оценку точности.

Нахождение оценок других характеристик точности результата измерений Учитывая соотношение между средней квадратической Sx, средней θx и вероятной rx оценкой, получаем формулы, аналогичные (9.10)

rx=0.6745 S/sqrt(n) и θx=0.7979S/sqrt(n), (9.11)

где S находят по формуле Бесселя S= sqrt ([v²]/(n-1)) или формуле Петерса S= [|v|] / sqrt(n(n-1))

где - v_i= ( х_i – x_ср) - уклонение, а |v| модуль уклонения измерения от его среднего, n- количество измерений, а rx - вероятное, Sx- среднее квадратическое и θx среднее отклонение результата. 9.I6