9.3. Вес функции измеренных величин

В подавляющем числе случаев практики мы заранее не знаем истинной оценки точности. Но нам нужно найти оценки точности промежуточных и конечных результатов, т.е. функций измеренных величин. Эти функции в свою очередь служат аргументами для оценки других функций. Примером служит фототриангуляция. Она образует цепь определений точности последующих функций от предыдущих. Для оценки используют меру относительной точности – вес измерения .

Не путать вес как меру относительной точности с относительной ошибкой. Вес указывает относительную ценность некоторого значения относительно других в данной группе. Относительная ошибка (отклонение) показывает долю погрешности, приходящуюся на единицу измеренной величины.

Вес – величина обратная дисперсии с соответствующей размерностью. Использование весов служит цели нормирования обрабатываемых величин: любые исходные линейные, угловые и другие величины, нормируя их весом, приводим к единым безразмерным величинам. Это позволяет их совместно обрабатывать. Даже если мы, как нам кажется, не вводим веса явно, то фактически веса все равно участвуют в обработке: все равные единице и с соответствующей размерностью.

Найдя веса результатов, мы можем, определив переходный коэффициент (), перейти от весов к СКО.

9.3.А. Аргументы (измеренные величины) некоррелированы. Из определения веса измеренной величины находим, что (а) Величину p_i^-1 называют обратным весом. Тогда матрица . Соответственно вес функциибудет. Отсюда(b)

Если коэффициент ² для аргументов и функции (в обеих формулах) один и тот же, то подставляя (a) и (b) в ( 95) (), получаем ,или в алгебраическом виде . Сократив левую и правую части на общий множитель ², получаем формулу для вычисления веса функции:: (9.7)

Здесь набор весов аргументов x образует матрицу весов P, а вектор частных производных – градиент (9.7а)

9.3.Б. Аргументы (измеренные величины) коррелированны. Для определения веса функции коррелированных величин проведем аналогичную замену в формуле (9.2). Ковариационная матрица аргументов есть произведение матриц стандартов и корреляционной . Учитывая, что , получаем.

Тогда обратный вес функции коррелированных величин будет ( 9.8)

Пример. . Тогда для некоррелированных аргументов , а для коррелированных. Следовательно, вес функции коррелированных аргументов может быть больше или меньше веса функции некоррелированных в зависимости от знаков r.

9.4 Определение доверительного интервала для математического ожидания, дисперсии и стандарта функции случайного вектора

Доверительный интервал математического ожидания функции

Доверительный интервал для значения функции у_ср , вычисленного по данным значениям х_i вектора аргументов, рассчитываем, найдя предварительно границы доверительных интервалов для каждого из значений аргументов. Чтобы доверительная вероятность МО функции была , все доверительные интервалы для всех аргументов определяют при этой доверительной вероятности . Если стандарт S аргумента Х известен априори или вычислялся по большому числу наблюдений, то (см. гл. 4) для этого аргумента используют нормальное распределение. Для аргумента, оцениваемого по малому числу наблюдений, используют t- распределение Стьюдента с учетом числа степеней свободы r= n-1. В одном векторе X интервалы могут определяться для аргументов с использованием того и другого распределения. Таким образом для каждого x_iср находим х_лi= х_iср-t S_i< х_i< x_iср+tS_i= x_пi или в векторной форме Хл=(X_ср-t) < Х < (Хср +t) =Xпр. Здесь - столбец оценок S_i стандартов. Подставляя Хл и Xпр в функцию, находим yл=f(Xл) и yпр= f(Xпр). В общем случае функция нелинейная, поэтому границы доверительного интервала не симметричны относительно у_ср. Более того, если интервал включает минимум или максимум функции, то предельное значение функции на интервале может оказаться менее у_л или более у_пр. Тогда это предельное значение принимаем за соответствующую границу интервала. Конечно, доверительная вероятность такой границы равна единице. Сказанное иллюстрирует рис.9.1. Необходим также анализ на разрыв функции в пределах этого доверительного интервала. Приближенную оценку интервала можно произвести, как для отдельной СВ.

9.I3