9. 6.Б. Обработка прямых неравноточных измерений

Имеется величина Х. Выполнена серия измерений этой величины х1, х2, ..., хn, каждое из которых характеризуется стандартом S1.. Sn. Допустимо, что оценки стандартов неизвестны. Тогда необходимо знать их относительные оценки - обратные веса. Требуется (1) найти значение измеренной величины по этому ряду неравноточных измерений, и (2) оценить точность этого значения. Рассмотрим решение этих вопросов

Нахождение результата х неравноточных некоррелированных измерений. Функция правдоподобия для нормального распределения

С точки зрения математической статистики нужно отыскать такую оценку х величины Х по серии ее неравноточных некоррелированных измерений, которая обладает наибольшей плотностью вероятности. Для отыскания такой оценки нам нужно выдвинуть основополагающее предположение о законах распределения для каждого из n измерений х. Отличие данной задачи от задачи обработки выборки, т.е. серии наблюдений одной величины, в следующем: при обработке выборки мы выявляем, какому одному закону не противоречит данная выборка; строим гистограмму, подбираем распределение и оцениваем согласие гистограммы с выбранным распределением. По сути, мы выполняем аппроксимацию экспериментальных данных некоторой неубывающей положительной функцией, существующей на интервале [0,1].

Теперь в общем случае мы должны обработать композицию из n различных законов распределений с различными x_i и , с целью найти математическое ожидание среднего и его дисперсию, полагая, что корреляция практически незначима.

Применительно к измерениям, то есть целенаправленным наблюдениям, мы рассмотрим частный случай, а именно: все измерения хi следуют нормальным законам распределения , c одним и тем же математическим ожиданием . Известна характеристика точности каждого из измерений, абсолютная или относительная, т.е. даны дисперсии_i² или их отношения _i²/_j² i,j=1,n, или веса для каждого xi. Между измерениями xi и xj нет корреляции, т.е. .Оценку x_ср математического ожидания Х будем искать под условием, что она обеспечивает максимум функции правдоподобия , где- ФПВi-го аргумента.

Запишем эту функцию применительно к нормальным законам распределения в логарифмическом виде: , где(9.12)

В этом выражении величины хi и Si суть постоянные: они нам даны как исходные. Переменной является искомая оценка х_ср математического ожидания Х. Данная функция есть парабола вида . У нее один экстремум. Свойства этой функции, второе слагаемое которой называют квадратичной формой, мы рассмотрим позже. В точке экстремума функция правдоподобия будет иметь максимум. Для отыскания значения х_ср , при котором значение функции l максимально, берем первую производную по переменной х_ср и приравниваем ее нулю . ( 9.13) .

Вторую производную находить не нужно, так как парабола (9.12) не имеет точек перегиба.

Преобразуя (9.13) , получаем первое формальное выражение (9.14) для вычисления результата x_ср серии неравноточных измерений, при условии, что они подчиняются нормальным законам, а систематические ошибки отсутствуют.

Однако, во-первых, значения. могут оказаться очень большими или малыми, что для практических расчетов неудобно или же, во-вторых, эти абсолютные характеристики точности нам неизвестны.

Поэтому используем относительные характеристики точности - веса измерений - величины р_i, обратно пропорциональные дисперсиям измерений. Чем точнее выполнено измерение, тем меньше его дисперсия, а ценность, надежность или вес измерения больше. Размерность веса обратно пропорциональна размерности дисперсии. Если измерения выполнены в мм, то размерность веса будет мм^-2 (9.15), где множитель² коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент часто подбирают так, чтобы числа . были близки к единице или к ее долям. Численное значение . дисперсии ² содержит обычно одну - две верные цифры. Поэтому достаточно при расчетах ограничиваться двумя, а если первая цифра единица или девятка, то тремя значащими цифрами.

Учитывая (9.15) и воспользовавшись гауссовыми обозначениями сумм, перепишем (9. 12) в виде (9.16)

Это второе формальное выражение для отыскания результата неравно точных измерений. Его используют обычно тогда, когда известны относительные веса измерений, сами дисперсии неизвестны.

Если в x много значащих цифр (геодезические координаты), то удобнее перед нахождением среднего весового вычесть из всех x общую (наименьшую) часть x_min измерений. Обозначив , получаем , и результат . (9.17)

Например, можно положить, что при одной и той же точности каждого отдельного наблюдения вес измеренияопределяется числом приемов наблюдений, из которых получено данное измерение. Пусть дисперсия одного приема;-получено из трех приемов, - из четырех, а - из пяти приемов. Тогда. Возьмем теперьчисленно равным. Тогда веса будут:.

Иногда, исходя из практической целесообразности, каждый вес в (9.I8) делят на сумму весов [р]. Получают так называемый приведенный вес

. (9.18)

Основные его свойства: приведенный вес есть величина безразмерная, сумма приведенных весов для данной группы измерений равна единице: . Эти свойства используют для контроля правильности вычислений. Заменяя в (9.16) веса на приведенные веса, получаем (9.19)

Это третье, формальное выражение для отыскания результата неравноточных измерений, которое также широко применяют на практике.

Для нашего примера приведенные веса будут .

Сравнивая (9.19) с определением математического ожидания дискретной случайной величины (3.12) по методу моментов, где , отмечаем их полную аналогию, если приведенный вес отождествлять с вероятностью появления события . Такое отождествление обосновано, если вспомнить, что есть такое значениеплотность вероятности у которого, авероятность попадания в интервалестьР(x")=( sqrt(2)^-1 f(xi)dx= 0.683. (Для нормального распределения ).

Итак, условие (9.13 ) максимума функции плотности вероятности позволяет найти оценку математического ожидания случайной вели чины, когда известен вид закона распределения, которому она: не противоречит, и значение дисперсии этой случайной величины стр9.20

Полученная на основе этого условия формула (9.19) показывает, что, рассматривая значения как дискретные: случайные величины получим тот же результат, если известны их веса р'_i. Знать закон распределения не нужно. Таким образом, метод максимального правдоподобия и метод моментов дали один и тот же результат.

Контроль вычисления х . Обозначим разность среднего х и отдельного измерения х_i как v_i = х_ср.вес –х_i.

Величину v_i называют поправкой к измеренному значению xi. Подставляя v_i в (9.13) и заменяя 1/²_i согласно (9.14) на , получаем- . Так как , то (9.20)

Итак, мы можем проконтролировать правильность вычислений по (9. 16), (9. 19 ) или ( 9.20 ). Сумма поправок, нормированных весами, во всех случаях должна быть равна нулю стр 9.2I

Оценка точности результата неравноточных Некоррелированных измерений (Найти СКО x_{ср весового})

Согласно (9.I7) . Гдесумма весов.

Отсюда вектор -строка первых производных по всем аргументам . Подставим в (9.7а) эти значения производных . Сокращая p^-1 p, и вынося за скобку 1/[p]² , получаем ,т.е. обратный вес результата равен обратной сумме весов аргументов. Следовательно, вес результата равен сумме весов. (9.21)

Учитывая соотношение дисперсии и веса , из (9.24) получим определение дисперсии среднего по весам измерений. (9.22).

Если веса приведенные, то , то.

Коэффициент ² вычисляем по уклонениям с учетом их весов р_i' согласно (9.23)

или , гдеk-число наложенных условий.

Если известны значения дисперсий всех xi, то для нахождения дисперсии результата воспользуемся соотношением, которое получаем из (9.22), подставив и сократив все на ² :

(9.24)

Доверительный интервал получаем, подставляя Sлi и Sпрi