- •Геометрия Материалы для практических занятий
- •I курс, 2 семестр
- •Екатеринбург 2012
- •1. Программа курса
- •1. Аналитическая стереометрия
- •2. Геометрические преобразования плоскости и пространства
- •1. Лекции
- •2. Практические занятия
- •2. Материалы для практических занятий Занятие 1. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости
- •Занятие 2. Расстояние от точки до плоскости
- •Занятие 3. Прямая в пространстве
- •Занятие 4-5. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямых и плоскостей
- •Занятие 6. Расстояние между прямыми
- •Занятие 7-8. Решение задач элементарной геометрии координатным методом
- •Занятие 9-10. Исследование поверхности методом сечений
- •Занятие 11-13. Построение тел, ограниченных поверхностями
- •Занятие 14. Отображения, их виды. Преобразования множества. Композиция преобразований
- •Занятие 15. Параллельный перенос и поворот плоскости
- •Занятие 16. Осевая и скользящая симметрия
- •Занятие 17. Геометрические свойства движений. Аналитическое задание движения
- •Занятие 18. Подобия плоскости. Гомотетия
- •Занятие 19. Геометрические свойства аффинных преобразований
- •Занятие 20. Движения трехмерного евклидова пространства, их классификация
- •Занятие 21. Группы самосовмещений правильных многогранников
- •Занятие 22-24. Решение задач элементарной геометрии методом геометрических преобразований
- •3. Вариант контрольной работы по теме«Метод координат в пространстве»
- •4. Вариант контрольной работы по теме «Геометрические преобразования плоскости»
- •5. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний
- •Литература
- •Геометрия
- •620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
Занятие 2. Расстояние от точки до плоскости
Цель занятия: Научиться применять формулу вычисления расстояния от точки до плоскости к решению задач.
Задачи
Вычислить расстояние между плоскостями и.
На оси найти точку, равноудаленную от плоскостейи.
К сфере провести касательную плоскость, параллельную плоскости.
Найти множество всех точек пространства, отстоящих на расстоянии 3 от плоскости .
Найти уравнение биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями и, в котором находится точка.
Даны вершины куба.
Найти: а) длину перпендикуляра, проведенного из вершины к плоскости;
б) уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями и; в) уравнения плоскостей, параллельных плоскостии отстоящих от нее на расстоянии 2.
7. Установить расположение плоскости относительно сферы.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №3. Расстояние от точки до плоскости. [6].
Занятие 3. Прямая в пространстве
Цель занятия: Научиться составлять уравнение прямой в пространстве.
Задачи
Для прямой найти: а) точку ей принадлежащую; б) направляющий вектор; в) каноническое и параметрические уравнения.
Провести плоскость через точку и прямую.
Найти проекцию прямой на плоскость.
Найти проекцию точки на плоскость, проходящую через прямыеи.
Найти точку, симметричную точке относительно прямой, проходящей через точкии.
Домашнее задание [3] №1144, 1150, 1155, 1158.
Занятие 4-5. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Цель занятия: Научиться определять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Задачи
Даны вершины куба.
Найти: а) общие и каноническое уравнения прямой пересечения плоскостей и; б) параметрические уравнения прямыхи; в) канонические уравнения прямыхи.
Определить взаимное расположение прямых:
а) и;
б) и;
в) и.
Написать уравнение прямой, лежащей в плоскости и пересекающей прямыеи.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей прямыеи.
Написать уравнения прямой, относительно которой симметричны прямые и.
Через точку провести прямую, перпендикулярную прямойи пересекающую ее.
Домашнее задание ИДЗ. Работа № 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. [6]
Занятие 6. Расстояние между прямыми
Цель занятия: Научиться вычислять расстояние между прямыми в пространстве.
Задачи
Даны вершины параллелепипеда.
Найти: а) параметрические уравнения прямой пересечения плоскостей и; б) канонические уравнения прямыхии расстояние между этими прямыми; в) параметрические уравнения прямыхии расстояние между этими прямыми.
Найти расстояние от точки до прямой.
Вычислить расстояние между прямыми и.
Вычислить расстояние между прямыми и.
Домашнее задание ИДЗ. Работа № 1. Прямые и плоскости в пространстве. [9]
Занятие 7-8. Решение задач элементарной геометрии координатным методом
Цель занятия: Сформировать навыки применения метода координат к решению задач.
Задачи
Даны точка и плоскости,и. Не пополняя данных, сформулировать и решить не менее семи задач на метод координат.
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с катетами . Боковое реброперпендикулярно плоскости основания и равно. Точка— середина ребра. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной прямойи проходящей через середину ребра.
Найти множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки и данной плоскости.
Ребра куба равны,— середина ребра. Найти площадь сечения куба плоскостью, перпендикулярной прямойи проходящей через точку.
Найти множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки вдвое меньше расстояния до данной плоскости.
В пирамиде реброявляется её высотой,,,,. Найти медианугрании расстояние от точкидо центра тяжести грани.
В пирамиде является её высотой. Четырехугольник– трапеция,,,. Найти медианугрании расстояние от точкидо центра тяжести грани.
В основании прямой призмы лежит треугольник с прямым углом. Точкии– середины реберисоответственно,– точка пересечения диагоналей грани. Точкаделит отрезокв отношении, считая от вершины. Доказать, что прямыеискрещиваются.
Решить уравнения
;
В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом 1. Одна боковая грань – квадрат.– середины. Найти точку, равноудаленную от а); б); в).
Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, основаниекоторой равно боковой сторонеи боковому ребру призмы, а основаниеравно. На сторонахивзяты серединыи. Считая, найти расстояние отдо а); б); в).
– пирамида.– прямоугольник..– середина,,,. Найти расстояние отдо а); б); в), где– точка пересечения диагоналей основания пирамиды.
– правильная пирамида, все плоские углы при вершинепрямые. Точкиделят отрезокна четыре равных отрезка, а точкиделят на четыре равные части отрезок. Считая боковое ребро равным, найти площади треугольников.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №2 Составление задач на метод координат. Работа №3 Координатный метод решения задач. [9].