Занятие 20. Движения трехмерного евклидова пространства, их классификация

Задачи

1. Доказать, что движение трёхмерного пространства однозначно определяется парой соответствующих ортонормированных реперов.

2. Доказать, что всякое движение пространства является композицией не более 4-х отражений от плоскостей.

3. Определить число неподвижных точек и прямых при композиции двух отражений от пересекающихся плоскостей. Дать определение этого движения.

4. Определить число неподвижных точек и прямых при композиции двух отражений от параллельных плоскостей. Дать определение этого движения.

5. Определить число неподвижных точек и прямых при композиции отражений от двух пересекающихся плоскостей и плоскости, им перпендикулярной. Дать определение этого движения.

6. Определить число неподвижных точек и прямых при композиции отражений от двух параллельных плоскостей и плоскости, им перпендикулярной. Дать определение этого движения.

7. Определить число неподвижных точек и прямых при композиции отражений от двух пересекающихся плоскостей и двух перпендикулярных им плоскостей. Дать определение этого движения.

Занятие 21. Группы самосовмещений правильных многогранников

Задачи

1. Определить элементы симметрии и число элементов группы самосовмещений куба, тетраэдра.

2. Доказать, что плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра, перпендикулярно противоположному ребру, пересекаются в одной точке – точке Монжа.

3. Дан тетраэдр .– четыре тетраэдра, в каждом из которых одна вершина совпадает с вершиной данного тетраэдра, а три другие являются серединами ребер тетраэдра, сходящихся в этой вершине.– центры вписанных,– центры описанных сфер тетраэдров. Доказать, что тетраэдрыиравны.

4. На поверхности куба найти множество образов вершиныпри поворотах пространства, переводящихв.

Занятие 22-24. Решение задач элементарной геометрии методом геометрических преобразований

Задачи

1. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M. Доказать, что AC+CB<AM+MB.

2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем BAM=MAK. Доказать, что BM+KD=AK.

3. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O, причем . Найти BC, если AB=a, CD=b, AD=c, AD>BC.

4. В выпуклом четырехугольнике ABCD A=90°, B=120°, AB=BC=a, . НайтиCD.

5. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. На сторонах AB и CD вне параллелограмма построены правильные треугольники ABM и CDP; точки O₁ и O₂ – их центры. Точки O₃ и O₄ – центры окружностей, описанных около треугольников O₁CD и O₂AB. Докажем, что четырехугольник O₁O₃O₂O₄ – параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке O.

6. Даны квадрат ABCD и точка M. Через точки A, B, C, D проведены прямые a₁, a₂, a₃, a₄, перпендикулярные прямым MD, MA MB и MC соответственно. Докажем, что прямые a₁, a₂, a₃, a₄, пересекаются в одной точке.

7. На сторонах AC и BC треугольника ABC построены вне треугольника квадраты AMHC и BPKC. Точки O₁ и O₂ – центры этих квадратов, а точка O – середина AB. Докажем, что отрезки OO₁ и OO₂ равны и перпендикулярны.

8. На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC построены вне треугольника квадраты ABMN и BCPK. Точки B1 и С1 делят стороны AC и BA в отношении 2:1. Доказать, что отрезки MB1 и PC1 равны и пересекаются под углом 60°.

9. Доказать, что график функции имеет ось симметрии, параллельную осиOy.

10. Доказать, что кривая имеет ось симметрии, параллельную осиOx.

11. Доказать, что если противоположные стороны шестиугольника, описанного около окружности, параллельны, то они попарно равны.

12. Окружность пересекает две концентрические окружности: одну – в точках A и B, другую – в точках C и D, . Доказать, что хорды AB и CD параллельны и AC=BD, AD=BC.

13. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Доказать, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами квадрата.

14. На сторонах правильного треугольника построены квадраты вне треугольника. Доказать, что их центры являются вершинами правильного треугольника.