Занятие 18. Подобия плоскости. Гомотетия

Задачи

1. Отметьте точки O, A, B. Постройте образы этих точек при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k, равным .

2. Даны два параллельных отрезка иразличной длины. Сколько всего существует гомотетий, отображающих отрезокна отрезок?

3. Основания BC и AD трапеции ABCD относятся как 1:3. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, а продолжения боковых сторон – в точке S. Укажите образы: а) точек B и C при гомотетии ; б) точекA и D при гомотетии ; в) точекB и C при гомотетии ; г) точекA и D при гомотетии .

4. Построить образ произвольной точки плоскости при гомотетии, заданной двумя парами соответствующих точек.

5. Составить формулы гомотетии:

1. с центром в начале координат и коэффициентом, равным k;

2. с центром в точке S (x₀; y₀) и коэффициентом, равным k.

6. При гомотетии , гдеk=2, точка A(5; 2) переходит в точку B(–3; –4). Найти центр S и составить формулы гомотетии.

7. На прямой 3x–y–8=0 найти точку A, которая при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом, равным , переходит в точку, принадлежащую прямойx+y–2=0.

8. Гомотетия сохраняет:

1) сонаправленность лучей; 2) перпендикулярность прямых; 3) коллинеарность векторов; 4) направление на плоскости?

9. Гомотетия, отличная от тождественного преобразования, имеет инвариантных точек:

1) ни одной; 2) одну; 3) ответ зависит от коэффициента гомотетии; 4) бесконечно много?

10. Композиция гомотетий является:

1) гомотетией; 2) поворотом; 3) центральной симметрией; 4) тождественным преобразованием?

Занятие 19. Геометрические свойства аффинных преобразований

Задачи

1. Преобразование плоскости задано в аффинном репере формулами , гдеk≠0. Доказать, что данное преобразование является аффинным.

2. Аффинное преобразование f задано в ортонормированном репере формулами x′=x, y′=ky, где k≠0. Доказать, что если , то преобразованиеf не является подобием (и, следовательно, не является движением).

3. Даны треугольники ABC и A′B′C′. Аффинное преобразование f задано тремя парами соответствующих точек: ,,. Построить образ произвольной точкиM.

4. Перспективно-аффинное преобразование задано осью s и парой соответствующих точек A и A′, причем прямые AA′ и s пересекаются. Построить образ заданной точки.

5. Доказать, что не существует такого аффинного преобразования, при котором: ,,;

6. Косое сжатие задано осью и парой соответствующих точек M и M′. Построить образ данного треугольника ABC.

7. Сдвиг задан осью и парой соответствующих точек M и M′. Построить образ данного треугольника ABC.

8. Верны ли утверждения

• Чтобы доказать, что отрезок AB параллелен прямой b и делится прямой a в отношении m:n, достаточно установить, что точка A переходит в точку B при косом сжатии, заданном осью a, направлением b и коэффициентом, равным .

• Чтобы доказать, что точка пересечения прямых a и b принадлежит прямой c, достаточно установить, что при некотором косом сжатии или сдвиге с осью c прямая a отображается на прямую b?

9. Доказать, что в любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

10. На сторонах CA и CB треугольника ABC взяты, соответственно, точки M и N так, что ,. МедианаCD пересекает отрезок MN в точке P. Найти отношение MP:PN.