Занятие 16. Осевая и скользящая симметрия
Задачи
Отрезки
и
являются диагоналями квадрата
.
Отображение
плоскости переводит точку
в точку
и точку
в точку
.
Отображение
может быть
1) поворотом; 2) осевой симметрией; 3) композицией двух осевых симметрий; 4) параллельным переносом?
Точка M лежит внутри прямого угла AOB. При осевой симметрии SOA точка M переходит в точку P, а при осевой симметрии SOB точка P переходит в точку K. Доказать, что при центральной симметрии ZO точка M переходит в точку K.
Дан ромб ABCD. Найти образ полуплоскости, определяемой прямой AB и не содержащей точку C, при осевой симметрии с осью AC.
Прямая a содержит высоту AO, проведенную к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. На стороне AB взяты точки M и P так, что AM=MP=PB, а на стороне AC – точки N и K так, что AN=NK=KC. Найти образы отрезка BN и луча MK при осевой симметрии Sa.
При осевой симметрии, осью которой является прямая 2x–y=0, точка A оси Ox переходит в точку B, принадлежащую прямой 3x+y+1=0. Найти точки A и B.
При каком взаимном расположении прямых
и
справедливо равенство
?Составить формулы осевой симметрии, при которой точка M(2; 5) переходит в точку М′(0; 1).
Доказать, что если при скользящей симметрии
точкаM
переходит в точку М′,
то середина отрезка MМ′
принадлежит оси a.Составить формулы скользящей симметрии
,
если
,
а осьa
задана уравнением x+2y–1=0.Найти ось скользящей симметрии
,
при которой точкаM(1;5)
переходит в точку М′(5;
3), а 
.Найти ось a и вектор
скользящей симметрии
,
при которой точкаA(1;
2) переходит в точку B(–1;
0), а точка B
переходит в точку C(1;
–2).
Составить формулы этой скользящей
симметрии.Доказать, что если
||a,
то 
.
Занятие 17. Геометрические свойства движений. Аналитическое задание движения
Задачи
Отображение f плоскости в себя задано в ортонормированном репере формулами x′= а1x+ b1y+ c1, y′= а2x+ b2y+ c2, причем матрица
является ортогональной. Доказать, что:
а) f – преобразование плоскости; б) f –
движение.Длина отрезка
равна длине отрезка
.
Отображение
плоскости переводит точку
в точку
и точку
в точку
.
Является ли
движением?Сколько всего различных движений отображают равносторонний треугольник на себя?
Доказать, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм, прямоугольник – в прямоугольник, ромб – в ромб, квадрат – в квадрат.
Доказать, что если при движении лучи a и b с общим началом переходят соответственно в лучи a' и b', то биссектриса угла (a, b) переходит в биссектрису угла (a', b').
При каком значении
отображение, заданное формулами
является движением?При каком значении
отображение, заданное формулами
является движением?Движение плоскости имеет не более одной инвариантной точки. Это движение может быть
параллельным переносом; 2) движением первого рода; 3) осевой симметрией; 4) скользящей симметрией?
Какие из следующих совокупностей движений являются группами:
1) совокупность всех параллельных переносов в заданном направлении;
2) совокупность всех поворотов с центром в данной точке;
3) совокупность всех движений, отображающих данный равнобедренный треугольник на себя;
4) совокупность всех движений первого рода?