- •Геометрия
- •I курс, 1 семестр Екатеринбург 2012
- •Содержание
- •1. Программа курса
- •1. Векторная алгебра
- •2. Аналитическая планиметрия
- •1. Лекции
- •2. Практические занятия
- •2. Материалы для практических занятий Занятие 1-2. Линейные операции над векторами
- •Занятие 3-4. Линейная зависимость системы векторов. Базисы. Координаты вектора в данном базисе
- •Занятие 5-6.Скалярное умножение векторов
- •Занятие 7. Векторное умножение векторов
- •Занятие 8. Смешанное умножение векторов
- •Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии
- •Занятие 12. Метод координат на плоскости
- •Занятие 13-14. Уравнение прямой на плоскости
- •Занятие 15. Расстояние от точки до прямой
- •Занятие 16. Угол между прямыми
- •Занятие 17. Эллипс, гипербола, парабола
- •Занятие 18-20. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду
- •Занятие 21-22. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. Главные направления. Главные диаметры
- •Занятие 23-25. Решение задач элементарной геометрии координатным методом
- •3. Вариант контрольной работы по векторной алгебре
- •4. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний
- •Литература
- •Геометрия
- •620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
Занятие 3-4. Линейная зависимость системы векторов. Базисы. Координаты вектора в данном базисе
Цель занятия: Усвоить понятия линейно зависимой и линейно независимой системы векторов, понятия базиса векторного пространства и координат вектора.
Задачи
1. Система векторов является линейно независимой. Можно ли векторы,,
принять в качестве базиса в пространстве?
2. Векторы инеколлинеарны. Доказать, что система векторов,,является линейно зависимой. Найти координаты векторав базисе.
3. Точка – центр правильного шестиугольника. Найти координаты векторовв базисе.
4. В параллелепипеде точки– середины ребер. Найти координаты векторовв базисе,,.
5. Даны векторы . Определить координаты векторов:
а) ; б); в).
6. Можно ли выбрать в качестве базиса векторы:
а) ;
б) ?
Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Вектор и его координаты. [5].
Занятие 5-6.Скалярное умножение векторов
Цель занятия: Сформировать навыки применения скалярного умножения в решении геометрических задач.
Задачи
Даны векторы ,и. Верны ли равенства: 1).;
2). ; 3).; 4).; 5).; 6).?
2. Найти длину вектора , если,.
3. Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах , где.
3. При каком значении векторыиортогональны, если,и?
4. Найти угол между векторами и, если векторыиортогональны.
5. В ортонормированном базисе ,. Доказать, что треугольникравнобедренный, вычислить его внутренние углы.
6. В ортонормированном базисе ,. Найти длину высотытреугольника.
7. Даны векторы ,и. Найти скалярную проекцию векторана направление вектора.
8. Вектор , длина которого равна, образует с базисными векторамиисоответственно углыи. Какой угол он образует с вектором?
9. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные из вершин основания, перпендикулярны между собой.
10.В кубе найти величину угла: а) между его диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями смежных граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №2. Скалярное умножение векторов. [1].
Занятие 7. Векторное умножение векторов
Цель занятия: Сформировать навыки применения векторного умножения к решению задач.
Задачи
Вычислить , если.
Векторы иортогональны и. Вычислить 1).; 2)..
3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ,, где,,.
4. В ортонормированном базисе . Вычислить.
5. Найти площадь треугольника , если в ортонормированном базисе.
6. В ортонормированном базисе ,. Найти высотутреугольника.
Домашнее задание
Найти площадь треугольника , если.
Найти синус угла между векторами и, если.
Занятие 8. Смешанное умножение векторов
Цель занятия: Сформировать навыки применения смешанного умножения к решению геометрических задач.
Задачи
В ортонормированном базисе ,. Определить ориентацию этой тройки векторов.
В некотором базисе . Выяснить, компланарны ли эти векторы.
В ортонормированном базисе ,. Найти высотутетраэдра.
Объем параллелепипеда равен 5. В ортонормированном базисе. Найти координаты вектора, если он ортогонален векторами.
Точки – центры тяжести гранейтетраэдра. Найти отношение объемов тетраэдрови.
Домашнее задание ИДЗ. Работа № 3. Векторное и смешанное умножение векторов. [5].