- •Геометрия
- •I курс, 1 семестр Екатеринбург 2012
- •Содержание
- •1. Программа курса
- •1. Векторная алгебра
- •2. Аналитическая планиметрия
- •1. Лекции
- •2. Практические занятия
- •2. Материалы для практических занятий Занятие 1-2. Линейные операции над векторами
- •Занятие 3-4. Линейная зависимость системы векторов. Базисы. Координаты вектора в данном базисе
- •Занятие 5-6.Скалярное умножение векторов
- •Занятие 7. Векторное умножение векторов
- •Занятие 8. Смешанное умножение векторов
- •Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии
- •Занятие 12. Метод координат на плоскости
- •Занятие 13-14. Уравнение прямой на плоскости
- •Занятие 15. Расстояние от точки до прямой
- •Занятие 16. Угол между прямыми
- •Занятие 17. Эллипс, гипербола, парабола
- •Занятие 18-20. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду
- •Занятие 21-22. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. Главные направления. Главные диаметры
- •Занятие 23-25. Решение задач элементарной геометрии координатным методом
- •3. Вариант контрольной работы по векторной алгебре
- •4. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний
- •Литература
- •Геометрия
- •620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
Занятие 15. Расстояние от точки до прямой
Цель занятия: Выработать навыки вычисления расстояния от точки до прямой.
Задачи
1. – квадрат. В прямоугольной системе координат. Найти уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.
2. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису угла между прямыми и, в котором лежит точка.
3. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника , если.
4. Через точку провести прямую, равноудаленную от точеки.
5. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису большего из внутренних углов треугольника, стороны которого лежат на прямых ,,.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7].
Занятие 16. Угол между прямыми
Цель занятия: Показать применение формулы вычисления направленного угла между прямыми к решению геометрических задач.
Задачи
Определить угол между прямыми и.
Составить уравнения прямых, проходящих под углом к прямой.
В равнобедренном треугольнике расстояние от вершиныдо боковой стороны равно. Найти уравнение прямой ,содержащей сторону, если.
Написать уравнения прямых, содержащих стороны квадрата, описанного около окружности с центром и радиусом 5, если одна из его диагоналей параллельна прямой.
Домашнее задание ИДЗ. Работа № 2. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7].
Занятие 17. Эллипс, гипербола, парабола
Цель занятия: Сформировать умения составлять канонические уравнения линий второго порядка.
Задачи
Найти уравнение окружности с центром , отсекающей на прямойхорду длины 6.
Найти уравнение окружности, касающейся прямых и, если– точка касания с прямой.
Написать уравнение эллипса, если: а) его большая ось равна 10, а эксцентриситет равен ; б) расстояние между директрисами равно 5, а расстояние между фокусами равно 4; в) расстояние между директрисами равно 32, а эксцентриситет равен.
Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.
Найти уравнение гиперболы, если: а) его асимптоты задаются уравнениями , а расстояние между вершинами равно 48; б) расстояние между директрисами равно, а эксцентриситет равен; в) асимптоты задаются уравнениями, а расстояние между директрисами равно.
Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой.
Найти уравнение параболы, если: а) она расположена в полуплоскости, определяемой неравенством , симметрична относительно осии ее фокальный параметр равен; б) она расположена в полуплоскости, определяемой неравенством, симметрична относительно осии ее фокальный параметр равен.
Найти уравнение параболы с вершиной , осьюи проходящей через точку.
Найти уравнение параболы с вершиной , осью симметриии фокусом.
Найти множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.
Найти множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки и данной окружности.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №4. Канонические уравнения конических сечений. [7]
Занятие 18-20. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду
Цель занятия: Сформировать умение приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Задачи
Привести к каноническому виду уравнения:
1). ; 2).;
3). ; 4)..
2. Найти угол, на который следует повернуть оси координат, чтобы в уравнении группа старших членов не содержала члена с произведением текущих координат
1). ; 2).;
3). ; 4).;
5). .
3. Привести к каноническому виду уравнение кривой
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). .
Домашнее задание ИДЗ. Работа № 5. Приведение общего уравнения квадрики к каноническому виду. [7]