- •Геометрия
- •I курс, 1 семестр Екатеринбург 2012
- •Содержание
- •1. Программа курса
- •1. Векторная алгебра
- •2. Аналитическая планиметрия
- •1. Лекции
- •2. Практические занятия
- •2. Материалы для практических занятий Занятие 1-2. Линейные операции над векторами
- •Занятие 3-4. Линейная зависимость системы векторов. Базисы. Координаты вектора в данном базисе
- •Занятие 5-6.Скалярное умножение векторов
- •Занятие 7. Векторное умножение векторов
- •Занятие 8. Смешанное умножение векторов
- •Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии
- •Занятие 12. Метод координат на плоскости
- •Занятие 13-14. Уравнение прямой на плоскости
- •Занятие 15. Расстояние от точки до прямой
- •Занятие 16. Угол между прямыми
- •Занятие 17. Эллипс, гипербола, парабола
- •Занятие 18-20. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду
- •Занятие 21-22. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. Главные направления. Главные диаметры
- •Занятие 23-25. Решение задач элементарной геометрии координатным методом
- •3. Вариант контрольной работы по векторной алгебре
- •4. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний
- •Литература
- •Геометрия
- •620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии
Задачи
- замкнутая пространственная ломаная, где .
Доказать, что
В пространстве даны два параллелограмма и. Доказать, что середины отрезковявляются вершинами нового параллелограмма.
Показать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
Доказать, что если в параллелепипеде все диагонали равны, то он прямоугольный.
Доказать, что в кубе плоскостьи диагональперпендикулярны.
Доказать, что если в некотором пространственном четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон.
Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если его медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен .
На стороне параллелограммавзята точкатак, что. Прямаяпересекает диагональв точке. Определить отношение:.
Основание равнобедренного треугольника равно , угол при вершине равен. Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.
Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом .
Угол при вершине трапецииравен. Боковая сторонавдвое больше меньшего основания. Найти.
Обсуждение самостоятельных решений задач ИДЗ. Работа № 6. Приложение векторов к решению задач. [5].
Занятие 12. Метод координат на плоскости
Цель занятия: Выработать навыки решения простейших задач на метод координат.
Задачи
В аффинной системе координат заданы вершиныпараллелограмма. Найти координаты вершины.
В аффинной системе координат ,,. Найти координаты центра тяжести треугольника.
В прямоугольной системе координат ,. Найти координаты оснований биссектрис углов треугольника.
В прямоугольной системе координат ,. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника.
В прямоугольной системе координат . Найти координаты остальных вершин квадрата.
Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника, с прямыми, содержащими третью сторону, лежат на одной прямой.
Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до заданных точек иравно 2.
Занятие 13-14. Уравнение прямой на плоскости
Цель занятия: Сформировать навыки составления уравнения прямой.
Задачи
В аффинной системе координат задана прямая . Найти: а) координаты направляющего вектора прямой; б) координаты точки, принадлежащей прямой; в) каноническое, параметрические уравнения и уравнение прямой в отрезках; г) уравнение прямой, параллельной прямой, и проходящей через точку.
В аффинной системе координат заданы точки – середины сторон треугольника. Найти уравнения прямых, содержащих стороны этого треугольника.
–параллелограмм, – его центр. В аффинной системе координат,. Найти уравнения прямыхи.
В прямоугольной системе координат . Найти проекцию точкина прямую.
В прямоугольной системе координат . На прямойнайти точкутакую, что.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку , и отсекающей на координатных осях равные отрезки.
В прямоугольной системе координат . Найти а) уравнения прямых, на которых лежат высоты, медианы треугольника; б) прямых, проходящих через вершины треугольникапараллельно противоположной стороне.
Найти координаты вершин ромба , если,.
В прямоугольной системе координат . Найти третью вершину треугольника, если она лежит на прямой, а площадь треугольника равна 8 кв. ед.
Даны вершина и прямые, содержащие медианы треугольника. Найти вершиныитреугольника.
Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7].