DKR_MatAn_2_semestr_2014

Вариант 24

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

24.1y′sinx = ylny; y(π / 2)= e.

24.2(y − x)dx +(y + x)dy = 0.

24.3xydy =(y2 + x)dx.

24.42xdx + (y2 −3x2 )dy = 0; y(1)=1. y3 y4

24.5y′′ = (x −11)3 − (x +11)3 .

24.6(1− x2 )y′′− xy′ = 2.

24.7 yy′′−(y′)2 = y2lny; y(0)= y′(0)=1.

24.8y′′′+ y′′− 4y′− 4 = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)=12.

24.9y′′′− 4y′ = xe2x.

24.10y′′−3y′+ 2y =3x +5sin2x.

24.11y′′+ y′ = e2x 1+ e−2x .

24.12 y′′ = x2 + y2 ; y(−1)= 2, y′(−1)= 0,5.

24.13Записать уравнение кривой, обладающей свойством: если через любую ее точку провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой на две части, причем площадь одной из них вдвое больше площади другой.

24.14Сила тока I в цепи с сопротивлением R , индуктивностью L и напряжением U удовлетворяет дифференциальному уравнению

L dIdt + R I = kt ,

где k,L,R −постоянные. Найти I (t)при начальном условии I( 0 ) = 0. 91

Вариант 25

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

25.1(xy2 + x)dx +(x2 y − y)dy = 0; y(0)=1.

25.2(x + y − 2)dx −(x − y + 4)dy = 0.

25.3y′+ 2xy = xe−x2 .

25.4xdx + ydy = xdy − ydx .

x2 + y2

25.5y′′ = xex ; y(0)= 0, y′(0)= 0.

25.6yy′′ =(y′)3 .

25.7 y(1−lny)y′′+(1+ lny)(y′)2 = 0; y(0)= y′(0)=1.

25.8y′′′+ 2y′′+9y′+18y = 0; y(0)=1, y′(0)= −3, y′′(0)= −9.

25.9y′′+ 2y′+5y = e−xsin2x.

25.10y′′′+ 2y′′+5y′ = 4xe-x - 68cos2x + x.

25.11y′′− y′ = e2ex2+x 1.

25.12 y′ = 2xy2 + e3x ; y(0)=1.

25.13Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого нормалью в точке M (x; y) на оси Ox , равна y2 / x .

25.14Изолированному проводнику сообщен заряд q0 =1000 CGSE единиц.

Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t =10 мин, если за первую минуту потеряно 100 CGSE единиц?

92

Вариант 26

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

26.1 tgxsin2 ydx + cos2 xctgydy = 0.

26.2

xy′ = y − xe

y

x

.

26.3

y

′

+

1− 2x

y =1.

x2

3

26.4

3x2 (1−lny)dx =

x

− 2y

dy.

y

26.5

x

4

y

′′

+ x

3

y

′

=1;

y(1)

′

= 0, y (1) = 0 .

26.6

′′

′

+1.

y tgx = y

26.7

y

′′

(1+ y)

′

2

′

y(0)

′

(0)= 2.

=(y )

+ y

;

= y

26.8y(V) −6y(IV) +9y′′′ = 0; y(0)= y′(0)= y′′(0)= y′′′(0)= 0, y(IV) (0)= 27.

26.9y′′+ y′ = x2.

26.10y′′′− 4y′ = 24e2x − 4cos2x +8sin2x.

26.11y′′+ y = ctgx.

26.12y(4) = xy + y′x2; y(0)= y′(0)= y′′(0)= y′′′(0)=1.

26.13Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого нормалью в точке M (x; y) на оси Oy , равна x2 / y .

26.14Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает из него, пробив его, со скоростью 60 м/с. Брус задерживает движение пули, сила сопротивления которого пропорциональна квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус.

93

Вариант 27

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

27.1(1+ ex )yy′ = ex ; y(0)=1.

27.2xdy − ydx = ydy.

27.3xy′−2x2 y = 4y.

27.4(3x2 + 6xy2 )dx +(6x2 y + 4y3 )dy = 0.

27.5y′′′ = xsin x; y(0)= y′(0)= y′′(0)= 0 .

27.6x2 y '' =(y ')2

27.7 y	′′		y		′			′	(0)= 2.
		=				;
				y				y(0)=1, y

27.8y′′′+ 2y′′+ y′ = 0; y(0)= 0, y′(0)= 2, y′′(0)= −3.

27.9y′′+ 4y = xsin2x .

27.10y′′′+ 4y′ =3ex +sin2x −7cos2x.

27.11y′′+ y =secx.

27.12y′ = x + ey ; y(0)= 0.

27.13В точке с ординатой 2 кривая наклонена к оси Oy под углом 45°. Любая

ее касательная отсекает на оси абсцисс отрезок, равный по длине квадрату ординаты точки касания. Записать уравнение данной кривой.

27.14 Круглый цилиндрический бак с вертикальной осью, диаметром 2R и высотой H наполнен водой. Из бака вода вытекает через круглое отверстие диаметром 2a в дне бака. Определить время опорожнения бака.

94

Вариант 28

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

28.1 3extgydx + 1−ex dy = 0. cos2 y

28.22x3 y′ = y(2x2 − y2 ).

28.3x2 + xy′ = y; y(1)= 0.

28.4sin2x + x dx + y − sin2 x dy = 0.y y2

28.5x2 y′′+ xy′ =1.

28.6(x +1)y′′−(x + 2)y′+ x + 2 = 0.

28.7y′′ =1+(y′)2 ; y(0)= y′(0)= 0.

28.8y′′′− y′′− y′+ y = 0; y(0)= −1, y′(0)= 0, y′′(0)=1.

28.9y′′− 4y′+3y = xex.

28.10y′′′+ y′′ = x2 −3 + ex (6sinx +3cosx).

28.11y′′− y =1/(ex + 2).

28.12 y′′′ = y′′+(y′)2 + y3 + x; y(0)=1, y′′(0)= 0,5.

28.13Кривая y = y(x) проходит через начало координат. Середина отрезка ее нормали, заключенного между любой точкой кривой и осью абсцисс, лежит на параболе y2 = ax . Составить уравнение указанной кривой.

28.14Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v0 = 20 км/ч.

На полном ходу ее мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до v1 =8км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости

движения лодки. Определить скорость лодки через 2 мин после остановки мотора.

95

Вариант 29

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

29.1y′+ cos(x + 2y)= cos(x − 2y); y(0)=π / 4.

29.2xy′ = y + y2 − x2 .

29.3x(y′− y)= ex.

29.4		xdy						y
					=					−1 dx.
	x	2	+ y	2			2	+ y	2
					x

29.5y′′ = − yx′.

29.6x(y′′+1)+ y′ = 0.

29.7 yy	′′	′	′	2	;	′	(0)=1.
		− 2yy lny =(y )				y(0)= y

29.8y(IV) +5y′′+ 4y = 0; y(0)=1, y′(0)= 4, y′′(0)= −1, y′′′(0)= −16.

29.9y′′+ 2y′+ 2y = e−xcosx.

29.10y′′′+ y′ = 2ex + 2sinx −6cosx.

29.11y′′+ 4y =1/sin2x.

29.12 y′ = y cos x + 2cos y; y(0)= 0.

29.13 Кривая y = y(x) проходит через точку (0;1) и обладает тем свойством,

что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую y = y(x).

29.14 Определить время, необходимое для установления одинакового уровня жидкости в сообщающихся сосудах, если в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде находился на высоте h1 от отверстия, а во втором –

на высоте h2 (h1 > h2 ).Площадь горизонтального сечения первого сосуда равна S1 , второго - S2 , а площадь отверстия – s.

96

Вариант 30

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

30.1yyx ′ + ey = 0; y(1)= 0.

30.2y′ = y2 − 2. x2

30.3y′+ 2xy = cos2 2yx .

30.42(x2 2+ y)dx − 2 dy = 0. x x

30.5y′′ =1/(1+ x2 ); y(0)= y′(0)= 0

30.6y′′(1+ ln x)+ yx' = 2 + ln x; y(1)= 12 , y '(1)=1

30.7y′′ =1/ y; y(0)= y′(0)= 0.

30.8y(IV) +10y′′+9y = 0; y(0)=1, y′(0)= 3, y′′(0)= −9, y′′′(0)= −27.

30.9y′′+ y′ = cos2 x.

30.10y′′′− y′ =(2x −5)ex + 6cosx −5sinx.

30.11y′′− y′ = ex /(ex +1).

30.12y′′′ = yex − x(y′)2 ; y(0)=1, y′(0)= y′′(0)=1.

30.13Кривая проходит через начало координат и лежит в полуплоскости y ≥ 0 . Каждый прямоугольник, ограниченный осями координат и

перпендикулярами к ним, делится на две части, причем площадь части прямоугольника, находящейся под кривой, в 2 раза меньше площади части прямоугольника, находящейся над кривой. Найти уравнение кривой.

30.14 Цепь длиной L = 4 м соскальзывает с гладкого горизонтального стола. В начальный момент движения со стола свисал конец цепи длиной а = 0,5 м. Пренебрегая трением, найти время соскальзывания всей цепи по столу.

97

4. Решение типового варианта

1. y′ = 3x − 2y + 5

Уравнение сводится к уравнению с разделяющимся переменными путем замены

u = 3x − 2y +5 , где u = u(x) −новая неизвестная функция; 2y = 3x −u +5 ; y = 32 x − 12 u + 52 ; y′ = 32 − 12 u′. Тогда уравнение примет вид 32 − 12 u′=u ; 12 u′= 32 −u ; u′ = 3 − 2u .

Разделяем переменные: dudx = 3 − 2u ; 3 −du2u = dx.

Интегрируем обе части: ∫													du					= ∫dx + c;			−	1	∫	d(3 − 2u)			= x + c ;
												3 − 2u										2
−1 ln																								3 − 2u
		3 − 2u			= x + c ; ln						3 − 2u				= −2x + c , (где c = −2c −новая произвольная
2																				1		1
							3 − 2u		= e−2x+c1				= e−2x ec1							= e−2xc		;							(c
постоянная);																							3 − 2u = ±c e−2 x					= c e−2 x		= ec1	−
																					2					2		3	2
положительная постоянная, c3 = ±c2 −постоянная любого знака)
2u = 3 −c e−2 x ;
			3
u = 3 − 1 c e−2x y = 3 x − 1																3 −		1 c e−2x + 5				= 3 x +			1 c e−2x + 5 − 3 , или,
2 2			3			2						2				2		2	3		2		2		4	3		2 4

обозначая 14 c3 как новую произвольную постоянную c , y = ce−2x + 32 x + 74 –

общее решение исходного уравнения (легко проверить, что при c = 0 это тоже

решение этого уравнения).

2. xy′− y = (x + y)ln

x + y

; y(1) = e −1

x

y

y

y

Разделим обе части уравнения на x : y′−

= 1+

ln 1+

. Теперь видно,

x

что

x

x

y

уравнение является однородным и решается путем замены u =

, где

u = u(x) −

x

новая неизвестная функция. y = ux ; y′ = u′x + u и уравнение примет вид

u′x + u −u = (1+ u)ln(1+ u);

u′x = (1+ u)ln(1+ u) . Решаем полученное уравнение с

разделяющимися переменными: du x = (1+u)ln(1+u);

du

= dx ;

(1+u)ln(1+u)

dx

x

du

=

dx + c ;

d ln(1+u) = ln

x

+ ln

c

(записываем произвольную

∫(1+u)ln(1+u)

∫

x

1

∫ ln(1+u)

2

98

постоянную в таком виде); ln

ln(1+ u)

= ln

c2 x

;

ln(1+u)

=

c2 x

; ln(1+ u) = ±c2 x ,

или ln(1+u) = cx

( ±c = с −произвольная постоянная); 1+u = ecx ; u = ecx −1;

2

y = ux = x(ecx −1). Для решения исходной задачи Коши подставим в эту

формулу x =1: 1(ec −1) = e −1 ec = e ; c =1 y = x(ex −1) .

3. y = (2x + y3 ) y′

1

1

По теореме о производной обратной функции

y′ = y′x =

=

. Тогда

′

′

xy

x

y = (2x + y3 )

1

;

x′y = 2x + y3 ; x′ =

2

x + y2 . Последнее уравнение является

′

x

y

линейным по x , находим из него x как функцию от y : x = x( y), используя, например, метод Бернулли решения линейных уравнений. А именно, ищем

функцию x

в виде x = uv , где u = u( y) ,

v = v( y) . Тогда x = u v +uv

и

′

′

′

2

2

2

2

u′v +uv′ =

uv + y

; u v′−

v

+u′v = y

. Для нахождения функции v

y

y

потребуем,

чтобы v′−

2

v = 0. Из этого уравнения с разделяющимися переменными

dv

y

=

2

v ;

dy

y

dv

=

2

dy ;

∫dv = 2∫dy + c ; ln

v

= 2ln

y

+ ln

c

; ln

v

= ln

cy2

; v = cy2 . Так как

v

y

v

y

нам

достаточно знать хотя бы одну такую функцию v , то положим в последнем равенстве c =1: v = y2 . При такой функции v получаем для u = u( y) уравнение

u′v = y2 ;			u′y2 = y2 ; u′ =1 u( y) = ∫1dy = y + c и x = uv = ( y + c) y2 . Таким
образом,
общий интеграл исходного уравнения имеет вид y3 + cy2 − x = 0 .
	x			(x	2	+1)cos y dy = 0
4.			+ 2 dx +
sin y				cos2y −1

Проверим, что это уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

P = sinx y + 2 ∂∂Py = − xsincos2 yy ;

Q =

(x2 +1)cos y

∂Q

=

2xcos y

=

2xcos y

= −

xcos y

=

∂P

. Тогда исходное

cos2y −1

∂x

cos2y −1

−2sin2 y

sin2 y

∂y

уравнение можно записать в виде du = 0 , и общий интеграл этого уравнения имеет вид u(x, y) = c . Для нахождения функции u используем формулу

99

x

y

u(x, y) = ∫P(x, y)dy + ∫Q(x0 , y)dy .

x0

y0

В качестве точки (x0 , y0 )

можно взять любую точку, в которой функции P(x, y)

и

Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными. Возьмем,

например, x

= 0 , y

0

= π

. Тогда

0

2

x

u(x, y) = x

x

− 2

dx

+ y

cos y

dy

=

x2

− 2x

−

1 y d sin y =

π∫cos2y −1

2 π∫ sin

2

y

∫0 sin y

2sin y

0

2

2

=

x2

− 2x

+

1

y

=

x2

−

2x +

1

−

1 . Таким образом, общий

2sin y

2sin y

2sin y

2sin y

π

2

интеграл

2

исходного уравнения имеет вид

x2

− 2x +

1

−

1

= c , или

2sin y

2sin y

2

x2 − 4xsin y +1− (2c +1)sin y = 0, или, беря 2c +1 за новую постоянную, x2 +1−(4x + c)sin y = 0.

5.2xy′y′′ = y′2 − 4; y(−1) =8,8; y′(−1) = −3

Вуравнении отсутствует неизвестная функция y , поэтому порядок уравнения

можно понизить путем замены y′ = z , где z = z(x) −новая неизвестная функция. Тогда y′′ = z′ и уравнение примет вид 2xzz′ = z2 −1. Это уравнение с разделяющимися переменными и решается как все такие уравнения:

dz

2

2zdz

dx

2z

dx

; ∫

d(z2 − 4)

2xz dx

= z

− 4 ;

=

x ; ∫

dz = ∫

x + c

z2 − 4

= ln

x

+ ln

c

;

z2 − 4

z2 − 4

ln

z2 − 4

= ln

cx

;

z2 − 4

=

cx

;

z2 − 4 = c x ; z = ±

. Таким образом,

c x +

4

1

1

y′ = ±

. Подставляя сюда x = −1, имеем:

−3 = ±

. Значит, знак

c1x + 4

4 − c1

перед

корнем должен быть «–» и 9 = 4 − c1 ; c1 = −5 y′ = −4 −5x . Интегрируем по

x :

y = −∫4 −5xdx + c2 = 15 ∫4 −5xd(4 −5x) + c2 =

		3
1		2(4 −5x)2						2
				+ c		=				(4 −5x)3		+ c . Подставим в это равенство
5		3					15
			2										2			2				− 26 – общее
				2						c = 44			−18	= 26
x = −1: 8,8 =					27 + c										y =			(4 +5x)3
			15				2			2	5		5	5	15					5

решение исходного уравнения.

100