DKR_MatAn_2_semestr_2014

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V	: 8x = y2 + z2 , x = 1	2	.
				Ox ,
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси
занимающего область V : x = y2 + z2 , y2 + z2 =1, x = 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: (x −1)2 + y2 =1, z = 0,
	x + y + z = 4 .
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L −контур треугольника ABC :				A(1;1), B(2;2),

L

C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y − 4z2 =1 в точке M (2,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .	(2yzi +3xzj + xyk ).
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = xy2

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = xi +(y − 2z) j +(2x − y + 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (z − x)i + (2x + y) j + (5 − 2z − xy)k по контуру

x2 + y2 + 2z −5 = 0,

L : z = 2.

Вариант 13. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

(x2 +3)dx

π

dx

2. ∫4

29∫

3 (x

− 2)2 dx

1. ∫2

;

;

3. ∫3

xdx

;

4.

; 5.

5 + cos x

x + 2

2

x

2

0

3

π

cos

3

3 + 3 (x − 2)

6

∞

arctgx

−1

dx

∫

dx;

6.

∫

.

(

2

)

3/2

2

0

+ x

−2 x 3x + 2x −1

1

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

21

1.y =1− x, y =1− x 3 .

2.Внутри лемнискаты ρ2 = cos2φ и одновременно внутри окружности

ρ = 2sinφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. x2 + 2x − y = 0 , y ≤ 0 .

4.Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ), находящейся вне окружности ρ =1.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y ≥ 0, x + 2y −12= 0,

	D
y = lg x.
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 , y = 4, если поверхностная
плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x +5y +10.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0,

x2 + y2 + y = 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : 2x = y2 + z2 , y2 + z2 = 4, x = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,

занимающего область V : z2 = x2 + y2 , z = 3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z =1− x2 , z =1− y2 , z = 0 .

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(xy + x + y)dx +(xy + x − y)dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 5x − y2 −3z2 =1 в точке M (1,−1,−1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = zj .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + 2z)i +(y −3z) j + zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x + 2y + 2z = 6 и координатными плоскостями.

22

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (y − x)i + (z − 2y) j + (z − y2 − 2)k по контуру

x2 + y2 + 2z −7 = 0,

L : z = 3.

Вариант 14. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

π∫

dx;

∫2

3. ∫3

dx

4. ∫a x2

dx;

1.

1+ cos2x

2.

xcos xdx;

;

a − x

2

2

− 2x +8

0

0

2 x

0

a + x

5.

−∫7

dx

;

6.

∞∫e−ax sinbxdx.

2

−10

x

+8x + 7

0

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex −1, y = e2x −3, x = 0 .

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно слева от прямойρ = 3(4cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 2ln(sin(x2)), 2π3 ≤ x ≤ 4π3.

4.x =3(2cost −cos2t),0 ≤t ≤ 2π.y =3(2sint −sin 2t),

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x ≤ 0, y ≥1, y ≤ 3, y = −x.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x2 + y2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0,

x2 + y2 − x = 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : 4y = x2 + z2 , x2 + z2 =16, y = 0.

23

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z = x2 + y2 , z = 3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 25, 3 ≤ z ≤ 4.

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x + y)dx −(x − y)dy , где L − контур треугольника ABC : A(1;1), B(2;2),

L

C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − 2y2 + 2z2 =1 в точке M (−1,1,−1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

F = x(i + j + k )+ y(i + k )+ z(i + j ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = 4xi +(x − y − z) j +(3y + 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y + z = 4 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (y −3x)i + (x + 2y) j + (2y2 − z +1)k по контуру

x2 + y2 − 2z −5 = 0, L : z = −2.

Вариант 15. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

1. ∫2

dx

;

2. ∫1 xln(1+ x2 )dx; 3. e∫−1ln(x +1)dx; 4. ∫1

e2xdx

; 5. ∞∫

dx

;

2x

x

2

− 2

1

x 1+ x

0

0

0 1+ e

2

+ x

1

x3 + 3

− 2

x

6. ∫

dx.

5

x

3

0

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y =3 − x2 , y = 2x .

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ иодновременно вне кардиоиды ρ =1−cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

24

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = 3x2 −1, которая расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y =3 и y =8. . 4. ρ = 2a(sinϕ + cosϕ).

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : y = 0, y ≥ x, y = −2 − x2 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y2 =1− x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − x − y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0,

x2 + y2 + y = 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : 8x = y2 + z2 , x = 2.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,

занимающего область V : y2 = x2 + z2 , x2 + z2 = 4, y = 0.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4xy, z = 0, y ≥ 2, x + y = 4.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):∫(1− x2 )ydx + x(1+ y2 )dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 − 2z =10 в точке M (2,1,−2), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = yi − xj .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(2z − x)i +(x + 2y) j +3zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 4y + 2z =8 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (x − z)i + (5x + 4y) j + (z + x2 + 4)k по контуру

x2 + y2 − 2z −3 = 0, L : z = −1.

25

Вариант 16. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

1.

∫3 ctg3xdx;

2. ∫8

xdx

;

3.

1/2∫arcsin 2xdx;

4. ∫2

dx

; 5.

∞∫

dx

;

(x −1)

2

π

3

1+ x

0

1

x x

+ 4x − 4

2

4

6.

∫3

dx

.

2

1

4x − x

−3

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии.

2.Внутри окружностиρ= 3иодновременновне кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = ∫x t2 −1dt, которая

1

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми

x=1 и x = 3.

4.x =5(t −sint), 0 ≤t ≤π.y =5(1−cost),

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

	D
D : y ≥ 0, x =
		y	, y = 6 − x2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y =						, y = x, если поверхностная
						x
плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − x − y.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y = 0,

x2 + y2 − y = 0, x ≥ 0,относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z =9x2 + y2 , z =36.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : 2y = x2 + z2 , y = 2.

26

6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z =8 − y2 , z = 0,
x2 + y2 = 4.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫	2			2
	(xy + x + y)dx +(xy + x − y)dy , где L −эллипс	x	+	y	=1.
		2		2
L		a		b
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности			2x2 − 2y +3z2 =1 в точке

M (1,2,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

9Oz. Найти. дивергенцию и ротор векторного поля F = x2 z(3yzi + xzj + 2xyk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = 4zi +(x − y − z) j +(3y + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x − 2y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)						циркуляцию
векторного поля F = (y −3x)i					+ (4x − 2y) j + (xy +3z − 2)k	по контуру
	2	+ y	2	− 2z +1 = 0,
L : x
z =1.

Вариант 17. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.Вычислить интегралы:

ππ

5

xdx

3

xdx

3

4

4

1

dx

1.

∫

;

2. ∫

;

3. ∫tg

x sec

xdx;

4. ∫

;

sin

2

2x

2

1+3x

0

π

π

−1 x

− 2xcosα +1

4

4

∞ arctgx

5

dx

5.

∫1 1+ x2

dx;6.

∫3

.

8x − x2 −15

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y2 = x + 2, y2 = 4(3 − x) .

2.Внутри лемнискаты ρ2 = 2cos2φ и одновременно вне окружностиρ =1. Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 2 ln(2 − x2 ) , −1≤ x ≤1.

4. Найти длину дуги спирали Архимеда r = 2ϕ, находящейся внутри

27

	окружности r = 2π.
	Часть 2.
	Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y = −x, y2 = x + 2.
	D
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 −1, y =1, если поверхностная
плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 3x2 + 2y2 +1.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y = 0,

x2 + y2 − y = 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : z =3(x2 + y2 ), x2 + y2 = 9, z = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x2 = y2 + z2 , x = 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 = y, z2 = 4 − y, x = 0,
	x + y = 4.
	xdy − ydx
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): ∫L x2 + y2	,
где L −контур прямоугольника 0 ≤ x ≤ 2, 1≤ y ≤5.
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности 3x − 2y2 + z2 = 2 в точке
M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси
Oz .
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = zj − yk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y)i +(y + z) j + 2(x + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x − 2y + 2z = 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (x + y)i + (3y − 4x) j + (3xy −6z − 2)k по контуру

x2 + y2 − 2z +3 = 0,

L : z = 2.

28

Вариант 18. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

1

1

x5dx

π

1

xdx

∞

dx

xdx

2

1.

∫

;

2. ∫

;

3.

∫x

cos xdx;

4. ∫

;

5. ∫

;

2

− x

x 1

+ x

4

+ x

8

0

x +1

−1 x + 2

0

−1 x

+1

1

6.

∫2

dx

.

0

1− x2

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.x = 0, y = ex −e и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осьюOx.

2.Внутри окружности ρ = 3sinφ и одновременно вне кардиоиды ρ =1−cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.	y = (3 − x) x 3, y ≥ 0 .
		3	t,
4.	x = 2cos			0 ≤ t ≤π	4.
		3 t,
	y = 2sin

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : y = 4 − x2 , x ≥ 0, x =1, y = 0 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x =1, y = 0, y = x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2 +10.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,

x2 + y2 + x = 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : x = 2 y2 + z2 , y2 + z2 = 4, x = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,

занимающего область V : 2z = x2 + y2 , z = 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 9 − x2 − y2 , z = 0,

x2 + y2 ≥ 4.

29

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − контур треугольника ABC : A(2;1),

L

B(4;1), C (4;2).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 − 2z = 2 в точке M (1,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = xi + yj + zk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y + z)i + 2zj +(y −7z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x +3y + z = 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (2x +3y)i + (4y − x) j −(8z − 2y2 +1)k по контуру

x2 + y2 − 2z +5 = 0,

L : z = 3.

Вариант 19. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

1

6

1/2 arcsin xdx

2

∞

dx

x2 −9

2x −1

xdx

5. ∫

1.

∫

;

2. ∫

dx;

3. ∫

; 4. ∫

dx;

;

+ x

x

4

x

3

+ x

(5 + x)

1+ x

x

0 1

3

0

1

3

6.

2/5∫

dx

.

x 25x

2

1/5

−1

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex −1, y = 2e−x , x = ln 4.

2.Внутри правой ветви лемнискаты ρ2 =9cos2φ и одновременно вне окружности

ρ = 6cosφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 6/sin(x /3), π / 2 ≤ x ≤ 2π .

4. Вычислить длину дуги кривой ρ =1+ cosa ϕ , ϕ −π 2,π 2 . 30