DKR_MatAn_2_semestr_2014
.pdfВариант 14
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
14.1(a2 + y2 )dx + 2xax − x2 dy = 0; y(a)= 0 .
14.2(x + y)dx +(x + y −1)dy = 0 .
14.3y′+ ycosx = cosx; y(0)=1.
14.4(2 −9xy2 )xdx +(4y2 −6x3 )ydy = 0.
14.5xy′′+ y′ = 0.
14.6y′′′ = 24 .
(x + 2)5
14.71+ y′2 = 2yy′′.
14.8y′′′− y′′−16y′− 20y = 0; y(0)= 5, y′(0)= −3, y′′(0)=10.
14.9y′′′− y′′+ y′− y = 2xex .
14.10y′′−9y =3e3x −cosx .
14.11y′′+ 2y′+ y = 2e−x 3x .
|
y′ |
|
1 |
′ |
(1)= 0. |
|
14.12 y′′ = y − |
x ; |
|||||
y(1)=1, y |
14.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 4) и
обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания.
14.14 Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т.е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6 см, внешний – 10 см, температура внутренней поверхности
2000 C , а внешней −200 C . Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара.
81
Вариант 15
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
15.1y′+sin(x − y)=sin(x + y); y(π )= π2 .
15.2(x + y)dx +(x − y − 2)dy = 0.
15.3y′ = y x+1; y(1)= 0.
15.4(3x2 − y cos xy + y)dx +(x − xcos xy)dy = 0.
15.52xy′y′′ =(y′)2 +1.
15.6xy′′ = y′.
15.7y′′ = ae−y′.
15.8y′′′+ y′′+ y′+ y = 0; y(0)=3, y′(0)= −2, y′′(0)=1.
15.9y′′+ 6y′+9y =10sinx .
15.10y′′− 2y′+5y = excosx − x2
15.11y′′+ 2y′+ y = e−x x +1 .
15.12 y′ = ex − y2 ; y(0)= 0.
15.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(1; 5) и
обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.
15.14 Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна υ0 , прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m . Сила тяги локомотива F (t)= b −kυ (t), где υ (t)− скорость локомотива в
момент t , а b и k −постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t .
82
Вариант 16
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
16.1 |
|
3 |
|
|
|
|
−15 |
|
= å. |
|
yln |
y + y′ x +1 = 0, |
|||||||||
|
y |
16 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.2(y + xy )dx = xdy .
16.3xy′− 2y = 2x4 .
16.4xy dx +(y3 +lnx)dy = 0 .
16.5y′′ = yx′ + x.
16.6y′′′ = 2(y′′−1)ctgx .
16.7 y′′+ 2(y′)2 /(1− y)= 0, y(0)= 0, y′(0)=1
16.8y(IV) −5y′′+ 4y = 0, y(0)= −2, y′(0)=1, y′′(0)= 2, y′′′(0)= 0
16.9y′′−5y′+ 4y = 4x2e2x .
16.10y(V) + 4y′′′ = ex +3sin2x +1.
16.11y′′− y =1/(5e−x −1).
16.12 y |
|
= y cos y |
|
+ x; y(0)=1, |
y |
(0)= |
π |
3. |
|
′′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
16.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(1; 2) и обладаю - |
щей свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.
16.14 Последовательно включены катушка с индуктивностью L , сопротивление R и конденсатор емкости C , заряд которого при t = 0 равен q .
Цепь замыкается при t = 0. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.
83
Вариант 17
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
17.1 |
y |
= lny; y(2)=1. |
|
y′ |
|||
|
|
17.2xy′− y = xtg xy .
17.3x(y′− y)= (1+ x2 )еx .
17.4yxy−1dx + xylnxdy = 0 .
17.5y′′ = arctgx .
17.6(1− x2 )y′′+ xy′ = 2 .
17.7 y′′(1+ y)=5(y′)2 ; y(0)= 0, y′(0)=1.
17.8y(IV) −10y′′+9y = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)=8, y′′′(0)= 24.
17.9y′′′−4y′′+5y′−2y = 2x +3.
17.10y′′+9y = 2xsinx + xe3x .
17.11y′′+5y′+ 6y = e−2x /(e2x +1).
17.12 y′ = x + y + y2 ; y(0)=1.
17.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; −1), если из-
вестно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 6.
17.14 В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Установить зависимость количества вещества С от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ А и В были равны соответственно a и b. Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.
84
Вариант 18
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
18.1 |
( |
|
− |
|
)dx +( |
|
+ |
|
|
)dy = 0. |
||||
xy |
x |
xy |
y |
|||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
18.2 |
(xy |
− y)arctg x |
= x; |
y |
(1)= 0. |
|||||||||
|
18.3y′ = xy + 1y .
18.4еydx+(xеy − 2y)dy = 0 .
18.5y′′ = yx′ + xy2′; y(2)= 0, y′(2)= 4 .
18.6y′′xln x = y′.
18.7 y′′(2y +3)− 2(y′)2 = 0; y(0)= 0, y′(0)=3.
18.8y′′′− y′′+ y′− y = 0; y(0)= y′′(0)= 0, y′(0)=1.
18.9y′′′− y′′−6y′ = 6x + 2.
18.10y′′+ y = 4cosx +(x2 +1)ex .
18.11 |
|
′′ |
|
′ |
|
|
e2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
− 4y |
+ 4y = 3 |
x +8 . |
|||||||
|
|
18.12y′′ = esin x + xy; y(0)= 0. y′(0)=1.
18.13Записать уравнение кривой, обладающей свойством: отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
18.14Стальная шаровая оболочка с внутренним радиусом 6 см и внешним 10 см находится в стационарном тепловом состоянии. Температура на
внутренней ее поверхности равна 2000 C , а на внешней 200 C . Найти температуру на расстоянии r от центра и количество теплоты, которое в I с шар отдает наружу (теплопроводность стали k = 0,14 ).
85
Вариант 19
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
19.1y′+sin(x + y)=sin(x − y).
19.2xy′ = y + xcos2 xy .
19.3y′cosx − ysinx = 2x; y(0)= 0.
19.4(x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0.
19.5xy(IV) =1.
|
|
y′ |
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
19.6 |
2y′′ = |
|
+ |
|
; y(1)= |
|
|
|
|
, y′(1)= |
|
. |
||
x |
y′ |
5 |
|
|
2 |
|||||||||
19.7 |
4(y′′)2 =1+(y′)2 ; y(0) |
=1, y′(0)= 0 . |
19.8y′′′−3y′′+3y′− y = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)= 4.
19.9y′′′+ y′′= −x .
19.10y(IV) −16y = xex + 2sin2x −3cos2x.
19.11y′′+9y = cosec3x .
19.12 y′ = x2 + y2 ; y(0)=1.
19.13Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-либо точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
19.14Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по законуE = E0 sinωt , сопротивление R , катушка с индуктивностью
L и конденсатор с емкостью C . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте ω сила тока наибольшая?
86
Вариант 20
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
20.1 |
yy′= |
|
2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.2 |
y |
= е |
+ x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20.3 |
2 ydx +(y2 −6x)dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20.4 |
|
|
2 |
tgy − |
2 y |
3 |
|
3 |
sec |
2 |
y +2 y |
3 |
+ |
3y2 |
||||||||
3x |
|
x |
3 |
dx + x |
|
|
|
x |
2 |
dy = 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.5y''' = x + cos x.
20.6y''' = 1+(y'' )2 .
20.72(y' )2 = (y −1)y'', y (0)= y' (0)= 2.
20.8y'''− y''+4 y'−4 y = 0, y (0)= −1, y' (0)= 0, y'' (0)= −6.
20.94 y'''+ y' = 2 sin (x / 2).
20.10y(IV) +2 y'''+2 y''+2 y'+ y = xex +0,5cos x.
20.11y''+ y =1/ sin3 x.
20.12 y |
|
= e |
|
sin y ; |
y(π )=1, |
y |
(π )= |
π |
2. |
|
′′ |
|
y |
′ |
|
′ |
|
|
20.13 Записать уравнение кривой, для которой произведение абсциссы какойлибо ее точки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Oy ,
равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
20.14 Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением V и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после
включения.
87
Вариант 21
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
21.1x1− y2 dx + y1− x2 dy = 0; y(0)=1
21.2(4x −3y)dx +(2y −3x)dy = 0.
21.3y′+ y = cosx; y(0)= 0,5 .
21.4 |
(2xy2 +3y3 )dx − |
(7 −3xy2 )dy = 0 |
|
y2 |
y2 |
21.5xy′′ = (1+ 2x2 )y′.
21.6y′′+ y′+ 2 = 0; y(0)= 0, y′(0)= −2.
21.71+(y′)2 = yy′′; y(0)=1, y′(0)= 0.
21.8y(IV) − 2y′′′+ y′′ = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)=1, y′′′(0)= 2 .
21.9y′′′− 4y′ = x2 .
21.10y′′′+ y = 3xe−x + ex (5sinx + cosx).
21.11y′′+8y′+16y = e−4x 3x .
21.12 y′ = x2 y2 + ysin x; y(0)= 0,5.
21.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку P(1,2) и
обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиусвектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.
21.14 В электрическую цепь с сопротивлением R =1,5 Ом в течение 2 мин равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число генри в цепи равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта.
88
Вариант 22
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
22.1y′ = ex+y + ex−y ; y(0)= 0 .
22.2y′ = x22−xyy2 .
22.3y′− 2y = −x2; y(0)= 0,25.
22.4(3x2 y + y3 )dx +(x3 +3xy2 )dy = 0 .
22.5y′′′ = x .
22.6x2 y′′′ =(y′′)2 .
22.7yy′′+(y′)2 = 0; y(0)=1, y′(0)= 2 .
22.8y(IV) − y = 0; y(0)= y′(0)= y′′(0)= 0, y′′′(0)= −4.
22.9y′′−3y′+ 2y = xcosx.
22.10y′′′− y =5xex + e2x (6cosx −sinx).
22.11y′′+ y = 24sin4 x .
22.12 |
y′′ = y cos y′+ x; y(0)=1, y′(0)=π 3. |
22.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 0) и |
обладающей свойством: отрезок касательной между точкой касания и осью Oy имеет постоянную длину, равную 2.
22.14 На расстоянии a друг от друга в точках A и B сосредоточены два равных разноименных заряда +q и −q. Приняв точку A за начало координат
и направив ось X по линии AB , составить уравнение семейства эквипотенциальных линий электрического поля, создаваемого указанными зарядами.
89
Вариант 23
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
23.1 |
dx |
+ |
dy |
= 0; y(1)=1. |
|
x(y −1) |
y(x + 2) |
||||
|
|
|
23.2x2dy = (y2 − xy + x2 )dx .
23.3y′+ 2y = e−x.
23.4(x3 −3xy2 + 2)dx −(3x2 y − y2 )dy = 0.
23.5xy′′′− y′′ = 0.
23.6xy′′ = 2yy′− y′.
23.7yy′′−(y′)2 = 0; y(0)=1, y′(0)= 2.
23.8y(IV) −16y = 0; y(0)= y′(0)= y′′(0)= 0, y′′′(0)= −8.
23.9y′′+ 2y′ = 4x2 +3.
23.10y(IV) − y = xe2x +3sinx −5cosx.
23.11y′′− y′ = e2xcos(ex ).
23.12 y′ = 2y2 + yex ; y(0)= 13.
23.13Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую y =1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
23.14Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источников тока с э.д.с. (t)= E0 sin(ωt +ϕ), индуктивности L и емкости C ,E
причем ω = |
|
1 |
|
. Найти ток I в цепи как функцию времени t , если |
|
|
|
|
|||
LC |
|||||
|
|
|
|
I = I (t)= dIdt = 0 при t = 0.
90