DKR_MatAn_2_semestr_2014

Вариант 4

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

4.1y′− y = 2x −3.

4.2(x + 2y)dx − xdy = 0 .

4.3y′ = y4cosx + ytgx .

4.4(2x3 − xy2 )dx +(2y3 − x2 y)dy .

y′	= x(x −1);	y(2)=1, y′(2)= −1.
4.5 y′′− x −1

4.6xy′′ = y′ln yx' .

4.7(yy′′′)2 = y2−1.

4.8y′′′+ 4y′ = 0; y(0)=3, y′(0)= −2, y′′(0)= −4.

4.9y′′+ 7 y′+10y = 2xe−2x .

4.10y(5) + 4y′′′ = x + 2 +5exsinx .

		′′		′		4
	4.11 y		−6y		+8y =1+ e−2x .

4.12y′′ =(y′)2 + xy; y(0)= 4, y′(0)= −2.

4.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 3) и

обладающей свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.

4.14 Снаряд массой m выброшен из ствола орудия со скоростью υ0 под углом

α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти траекторию снаряда, время полета.

71

Вариант 5

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

5.1(x + 2y)y′ =1; y(0)=1.

5.2 y′ =	x + 2y +1	;	y(1)= −1.
	2x + 4y +3

5.3xy2 y′ = x2 + y3 .

5.42xydx +(x2 − y2 )dy = 0.

5.5y′′ = 2x(y′)2 ; y(2)=3, y′(2)= −0,25 .

5.6y′′ = 1x .

5.72yy′′ = y′2 + y2 .

5.8y′′′−3y′′+3y′− y = 0; y(0)=1, y′(0)= 0, y′′(0)=3.

5.9y′′+ 6y′+9y =5e−3xsinx .

5.10y′′− 2y′−8y = ex −8cos2x .

5.11y′′−9y′+18y =1+9ee3−x3x

5.12y′ = x2 − y2 ; y(0)= 12.

5.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(4; 1) и

обладающей свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен квадрату абсциссы точки касания.

5.14 Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R . Найти силу

тока i в контуре, если при t = 0;i0 = 0; dtdi = UL0 .

72

Вариант 6

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения; в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы

Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора); в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем

составления дифференциального уравнения.

6.1 y′ = 4x + 2y −1 . 6.2 y2 + x2 y′ = xy y′.

6.3 (1+ x2 )y′− 2xy = (1+ x2 )2 .

6.4 2 + 2xy dx − 2x dy = 0 . y y2

6.5y′′ = y′(1+ y′).

6.6xy′′− y′ = x2ex .

6.7xy(5) − y(4) = 0 .

6.8y′′′+9y′ = 0; y(0)= 2, y′(0)=3, y′′(0)= 0 .

6.9y′′+ 2y′+ y = e−xcosx .

6.10y′′′− 4y′ = xe2x +sinx + x2 .

	′′		2		π2
6.11 y		+π		y = sinπx .

6.12xy′′+ ysinx = x; y(π )=1, y′(π )= 0.

6.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(4; 10), если

известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

6.14 Тело падает с высоты h при начальной скорости υ0 = 0. Найти

зависимость между скоростью и пройденным путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.

73

Вариант 7

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

7.1(1+ y2 )dx +(1+ x2 )dy = 0.

7.2(y2 − 2xy)dx + x2dy = 0.

7.3y′+ 2y = 4x .

7.4(1+ y2sin2x)dx − 2ycos2 xdy = 0.

7.5(1+ x2 )y′′+1+ y′2 = 0.

7.6y′′ = x +sinx .

7.7y′′ y(4) +(y′′′)2 = 0.

7.8y′′′−3y′+ 2y = 0; y(0)= 0, y′(0)=5, y′′(0)=1.

7.9y′′+5y′+ 6y = −5e−2xcosx .

7.10y(4) + y′′ = 3x −10sinx + 6cosx .

			′′		′		4e−2x
	7.11	y		+ 6y		+8y = 2 + e2x .
	7.12	y′ = x3 + y2 ; y(0)= 0,5.

7.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина

постоянная, равная b2 .

7.14 Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?

74

Вариант 8

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

8.1ey (1+ x2 )dy − 2x(1+ ey )dx = 0.

8.2x + y − 2 +(1− x)y′ = 0 .

8.3y′+ 2xy = y2ex2 .

8.4	xdx + ydy			=	ydx − xdy	.
		x2 + y2			x2

8.5y′′′ = cos2x .

8.6y′′+ y′2 = 2e−y .

8.7y′′(ex +1)+ y′ = 0.

8.8y′′′+ 7 y′′+11y′+5y = 0; y(0)= 2, y′(0)=1, y′′(0)= −4 .

8.9y′′′+ 4y′ = x2 .

8.10y′′−8y′+ 20y =5xe4xsin2x .

e−x

8.11y′′− y′ = 2 + e−x

8.12y′′ = xy′− y2; y(0)=1, y′(0)= 2.

8.13Найти кривую, обладающую следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то точка пересечения этой касательной с осью ОХ будет являться вершиной равнобедренного треугольника, у которого основанием является отрезок, соединяющий начало координат с точкой касания.

8.14Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h . Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R = 6377 км.

75

Вариант 9

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

9.12x1− y2 = y′(1+ x2 ).

9.2(3y −7x + 7)dx −(3x −7 y −3)dy = 0 .

9.3dydx + xy = −xy2 .

9.43x2y+2 y2 dx − 2x3y+3 5y dy = 0.

9.5y′′′ = 1− y′′2 .

9.6xy′′ = 1+ y′2 ; y(1)= 0; y' (1)= 0 .

9.72xy′y′′ = y′2 −1.

9.8y′′′+3y′′ = 0; y(0)= 6, y′(0)= −15, y′′(0)=36.

9.9y′′′− 2y′ = x2 − x .

9.10y′′+ y =sinx − 2e−x .

9.11y′′−3y′+ 2y = 3 +1e−x .

9.12y′ = x + y2 ; y(0)= −1.

9.13Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть величина постоянная, равная

3a2 .

9.14 В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2α налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в

воронке и временем истечения t, если площадь отверстия s см2 . Определить полное время истечения воды.

76

Вариант 10

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

10.1y′ = sinx − y .

10.22x −3y −5 +(3x + 2y −5)y′ = 0.

10.3y = x(y′− xcosx).

10.4(x + y)dx +(x + 2y)dy = 0 .

10.5y′′′ = 1x .

10.6y3 y′′ = −1; y(1)=1, y′(1)= 0.

10.7xy′′+ xy′2 − y′ = 0.

10.8y′′′+3y′ = 0; y(0)= 6, y′(0)= 0, y′′(0)= −3.

10.9y′′+9y =3cos3x .

10.10y(5) + 4y(3) = x + 2 +5exsinx .

10.11y′′+16y = sin164x .

10.12 4x2 y′′+ y = 0; y(1)=1, y′(1)= 0,5.

10.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала

координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2 .

10.14 В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью.

Сколько соли будет в сосуде через 4 мин?

77

Вариант 11

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

11.1exsin2 y +(1+ e2x )cosy y′ = 0.

11.2xy′ = yln xy .

11.3y′ = 3x2 y + x5 + x2; y(0)=1.

11.42x(1+ x2 − y )dx − x2 − ydy = 0 .

11.5y′′ = 2xlnx .

11.6y′′(ex +1)+ y′ = 0.

11.7y y′′ = y′2 − y′3 .

11.8y′′′+ 4y′′+ y′−6y = 0; y(0)=9, y′(0)= −13, y′′(0)= 47 .

11.9y′′+ 2y′+ y = ex (x +3).

11.10y′′+ 4y = 2sin2x −3cos2x +1.

11.11y′′+ 0,25y = 0,25ctg(x / 2).

11.12 y′ = x + x2 + y2 ; y(0)=1.

11.13Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.

11.14Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести

формулу для температуры T =T (t) установившегося режима как функции времени t .

78

Вариант 12

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

12.1y2sinxdx + cos2 x lnydy = 0.

12.2(x − 2y −1)dx +(3x −6y + 2)dy = 0 .

12.3x2 y′+ xy +1 = 0.

12.4(x +2y2 )dx − 2y dy = 0.

xx

12.5y′′− 2ctgx y′ =sin3x .

12.6xy′′ = y′+ x2 .

		y′		y′
	12.7 y′′ =					; y(1)= −2	e, y′(1)=		e.
			1 + ln
		x		x

12.8y′′′+ 2y′′ = 0; y(0)= 6, y′(0)= −7, y′′(0)= 20 .

12.9y′′−3y′+ 2y = e3x (3 − 4x).

12.10y′′− 4y′+8y = e2x +sin2x .

12.11y′′+3y′+ 2y = 2e+−xex .

12.12 (1− x)y′′+ y = 0; y(0)= y′(0)=1.

Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2 / 3 абсциссы точки касания.

12.14 Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью C , индуктивностьюL и активным сопротивлением R . При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки (и обратно) часть энергии контура затрачивается на активном сопротивлении, в результате чего величина напряжения на конденсаторе постепенно уменьшается. Найти закон изменения тока I в контуре.

79

Вариант 13

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

13.1y + xy′ = a(1+ xy); y 1 = −a .

a

13.28x + 4y +1+(4x + 2y +1)y′ = 0 .

13.3	x2			3
	xdx =		− y		dy.
		y

		2y				1
13.4			3	+ ycos xy dx + xcos xy −				dy = 0.
		x				x	2

13.5xy′′ = y′+ xsin yx′ .

13.6(1+ x2 )y′′− 2xy′ = 0; y(0)= 0, y′(0)= 3.

13.7y y′′− y′2 = y4 .

13.8y′′′+ 2y′ = 0; y(0)=8, y′(0)= 0, y′′(0)= −6 .

13.9y′′+ 2y′ = 4x2 +3.

13.10y′′+ 6y′+10y =3xe−3x − 2e3xcosx .

	′′		′			5e−x
13.11 y		+ 2y		+ y = 3			x +1 .

13.12 y′ = 2cos x − xy2 ; y(0)=1.

Записать уравнения кривых, обладающих свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равна 2l .

13.14 Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, подающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается 1 / 4 первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h ?

80