Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Математический анализ

Файл:

DKR_MatAn_2_semestr_2014

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x = −1, x = −2, y ≥ 0,

y = x2 .

2.Найти массу неоднородной пластины D : y = 0, y = 2x, x + y = 6, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0,

x2 + y2 − x = 0, y ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : 4y = x2 + z2 , y = 9.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси			Ox ,
занимающего область V : x2 = y2 + z2 ,			y2 + z2 = 4, x = 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 − x2 ,			y = 0, z = y.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
		2
∫	(x + y)2 dx +(x − y)2 dy, где L : y = x		,

L	y = x.

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности 7x2 − 4y2 + 4z2 = 7 в точке

M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz .

9.Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y(−xi + zk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса)

поток векторного поля F =(2x − z)i +(y − x) j +(x + 2z)k					через внешнюю
поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x − y + z = 2 и
координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)					циркуляцию
векторного поля F = (−x − y)i + (7x −5y) j + (y2 + 4z −3)k					по контуру
	2	+ y	2	+ 2z +3 = 0,
L : x
z = −2.

Вариант 20. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

−2

∫

;

2. ∫sin x sin 2x sin3xdx;

3. ∫e

sin xdx;

4. ∫

;

x x

x +

− x

−3

−1

5. ∞∫xe−x2 dx;

6. ∫7

x2dx

−7

49 − x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = arcsin x, y = −arcsin(x − 2), y = −π 2 .

2.Внутри четырёхлепестковой розы ρ = 2 sin2φ и одновременно внутри окружности ρ =1.

Вычислить длинудуги кривой:

3.	Вычислить длину дуги всей кривой y =					x	(x −1)2	, которая расположена в
3.	Вычислить длину дуги всей кривой y =				3		(x −1)2	, которая расположена в
вертикальной полосе, левее прямой			x =1.		3
вертикальной полосе, левее прямой			x =1.
			2	cost,
4.	Найти длину дуги кривой:	x = t		cost,	0 ≤ t ≤1.
4.	Найти длину дуги кривой:				0 ≤ t ≤1.
		y = t2 sint,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y ≤ 0, x2 = −y,

x = 2 − y2 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = 4,если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x2.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,

x2 + y2 + x = 0, y ≤ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.


4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 5 y2 + z2 , x = 20.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,

занимающего область V : 2z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4, z = 0.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 − z2 = 4, x2 + y2 ≤9.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫2(x + y)dx −(x − y)dy , где L −часть параболы y = x2 и хорда, проходящая

через точки A(−1;1), B(1;1).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x2 − y2 + z2 =1 в точке M (1,−2,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = x(2yzi + xzj + xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(2y − z)i +(x + y) j + xk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + 2z = 4 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (x + y)i + (3x − y) j + (z − 2x2 +1)k по контуру

x2 + y2 − z +3 = 0,

L : z = 4.

Вариант 21. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:
										π
	∫3									2. ∫4	dx	;	3. ∫1	x2 e3xdx;	4. ∫2	lnxxdx5 ;		∞∫arctgxdx2 2 ;
1.		x2		9 − x2 dx;							dx						5.
1.		x2		9 − x2 dx;							2 + cos x						5.
	0								0				0		1			(	+ x	)
	0								0				0		1			0 1	+ x
6.	3∫a				2x					dx.

			x2					2
	2a		x2				2
		3				− a
		3		4		− a
				4

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex −1, y = ex 4 , y = 14 .

2.Внутри окружности ρ = cosφ и одновременно вне кардиоиды ρ =1−cosφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 6	cos(x /3)	,	y ≤12 .
	cos(x /3)

4. Найти длину гиперболической спирали ρϕ =1, ϕ 34, 43 .

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y ≥ 0, y ≤1, y = x,

x = −4 − y2 .

2.	Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 , y = 2, если поверхностная
плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − y.
3.	Найти статический момент однородной пластины D :

x2 + y2 + 2y = 0, x + y ≤ 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные

координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : y = x2 + z2 , x2 + z2 =10, y = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,
занимающего область V : z = 2(x2 + y2 ), z = 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 = 4y, x = y, x + y = 2.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫	xy2dy − x2 ydx , где L − эллипс	x2		y2
			+			=1.
		2			2
		a		b
L
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности −x2 + y2 + 4z2 =1 в точке

M (−2,1,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

9Oz. Найт. и дивергенцию и ротор векторного поля F = x2 (−xi +3zk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса)
поток векторного поля F =(2z − x)i +(x − y) j +(3x + z)k					через внешнюю
поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + y + 2z = 2 и
координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)					циркуляцию
векторного поля F = (y −3x)i + (2x −3y) j + (x2 + 7z −1)k					по контуру
	2	+ y	2	− z − 2 = 0,
L : x
z = −1.
				34

Вариант 22. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

3 (x + 2)2

∫e

;

25∫

dx;

3. ∫3

xarctg

dx;

∫2 sin4 x cos2 xdx;

1 x 1−ln

−1 3 + 3 (x + 2)

∞

5. ∫1

; 6. ∫0

x2 + 4x

x(5 − x)

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y = 2ln x,

y = −ln x,

x = e.

2. Внутри окружности ρ = sinφ и одновременно вне трёхлепестковой розы

ρ = sin3φ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = 13

, которая

(x2 + 2)3

расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y =

и y = 9.

x = sin

0 ≤t ≤π

4. Найти длину дуги кривой:

= cos2 t,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

	D
D : x ≤ 0, y =1, y = 4, y = −x.
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1,если
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + y2.
3.	Найти статический момент однородной пластины

D : x2 + y2 − 2y = 0, y − x ≥ 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные

координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : y =3x2 + z2 , x2 + z2 =16, y = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x =1− y2 − z2 , x = 0.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 6, z ≥ x2 + y2.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x + y)dx +(x − y)dy , где L − контур прямоугольника 1≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2.

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + y2 − z =1 в точке M (−1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = x2 y(3yzi + 2xzj + xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + z)i +(x +3y) j + yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (3x + 4y)i + (y −5x) j + (xy −3z +9)k по контуру

x2 + y2 − 2z +1 = 0,

L : z =1.

Вариант 23. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

−π

cos3 dx

3/2

∫(1−ln x)

1. ∫

;

∫

; 3.

dx;

4. ∫

2x + x

dx;

1+ a

sin

sin x

1/2

−2

∞

−∫∞

;

3/4∫

x2 +8x + 25

2 +3x − 2x2

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.(y −3)2 = 4x, y = x .

2.Внутри окружности ρ =1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ). Вычислить длину дуги кривой:

3.5x3 = y2 , внутри x2 + y2 = 6.

	a		π			,	3π
4. Вычислить длину дуги кривой ρ = sin2 (ϕ		2 ), ϕ			2			2 .
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y =3 − x2 , y = −x .
D
2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 +1,				x + y =3,если
поверхностная плотность в каждой ее точке		µ(x, y)= 4x +5y + 2.
3. Найти статический момент однородной пластины

D : x2 + y2 + 2x = 0, y − x ≥ 0, y ≤ 0, относительно оси Oy , используя полярные

координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : 3x = y2 + z2 , x =9.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,
занимающего область V : y = 4 − x2 − z2 , y = 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: y = 0, z = 0, x + y + z = 4,
	2x + z = 4.	dx − dy ,
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): ∫
	L	x + y
где L −квадрат ABCD : A(1;1), B(3;1), C (3;3), D(1;3).
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x2 − y2 + z2 =16 в точке
M (−1,2,4),составляющую острый угол с положительным направлением оси
Oz .
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = z(xi − yj ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + z)i + zj +(2x − y)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + 2y + z = 4 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)							циркуляцию
векторного поля F = (−x −3y)i					+ (2x + y)	j + (z − y2 −6)k	по контуру
	2	+ y	2	− z + 4 = 0,
L : x		+ y		− z + 4 = 0,
z = 5.
					37

Вариант 24. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

x3dx

a2 − x2

∞

∫

;

∫

;

∫(arcsin x)

dx;

4. ∫

dx; 5.

∫

;

3 + cos x

xln

∫3

dx.

3 + x

3 − x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y2 = −4x, y2 =3 − x .

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне кардиоидыρ =1+sinφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 4ln(sin(x / 4)), π ≤ x ≤ 3π .

		4	t,
4. Найти длину дуги кривой:	x = cos		t,	0	≤t ≤π		.
4. Найти длину дуги кривой:				0	≤t ≤π	2	.
	y = sin4 t,					2

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x = 0, x = −2, y ≥ 0,

y = x2 + 4.

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 −1, x + y =1,если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x +5y +8. 3. Найти статический момент однородной пластины D :

x2 + y2 − 2y = 0, x + y ≥ 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.


4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : y = x2 + z2 , y = 4.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x = 3(y2 + z2 ), x =3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 , z = 0, x2 + y2 =1.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − контур прямоугольника 0 ≤ x ≤ 5 , 1≤ y ≤3.

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 − 2z =1 в точке M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y(yzi + 2xzj + xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(3x + y)i +(x + z) j + yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (4x − y)i + (5y − x) j + (x2 −8z +1)k по контуру

x2 + y2 − z + 2 = 0,

L : z = 3.

Вариант 25. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

1. ∫e (xln x)2 dx;

2. ∫2

cos xdx

;

3. ∫4

xdx

;

4. ∫3

;

2 + 4x

5 + 4x − x

0 6 −5sin x +sin

∞∫

xdx

6. ∫2

;

x −1

dx.

(x2 +5)

2 − x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y =π 4, y = arctg x и касательная к этой линии в начале координат.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно справа от прямойρ =3/(4cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3.	y = (x −12) x 6 , y ≤ 0 .
4.	Найти длину петли кривой:		a
		ρ =		.
			sin2 (ϕ3 )

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x = 0, y = 0, y =1,

(x −3)2 + y2 =1.

	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0,
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0,	y = 0, y = 4, x =		25 − y2 ,
если поверхностная плотность в каждой ее точке		µ(x, y)= x.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,
x + y ≤ 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : x = y2 + z2 , y2 + z2 =9, x = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси		Oz ,
занимающего область V : z = 9 − x2 − y2 , z = 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: y = x2 , z = y,				z = 2 − y.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): ∫				dx + dy	,
где L − контур прямоугольника 1≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4.			L		x − y
где L − контур прямоугольника 1≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4.
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 − z = 0 в точке

M (1,1,0),

составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz . 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y2 (yj −3zk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(y + z)i +(2x − z) j +(y +3z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y +3z = 6 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)		циркуляцию
векторного поля F = (y − x)i	+ (5y − 2x) j + (xy −3z − 4)k	по контуру

x2 + y2 − z −3 = 0, L : z = −2.

Вариант 26. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
03.05.20151.41 Mб165DKR_MatAn_2_semestr_2014.pdf
#
03.05.2015258.01 Кб64Integraly_MTUSI.pdf
#
03.05.20151.38 Mб83matan_diffures_ekz.pdf
#
03.05.20152.26 Mб28Matan_tema_8_nesobstvennye_integraly.pdf
#
03.05.20151.67 Mб279matan_test_otvety.pdf
#
03.05.201530.52 Кб16tablica_integralov.pdf