DKR_MatAn_2_semestr_2014

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности −2x2 + 2y2 + z2 =1 в точке M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz .

9.Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = x(yj − zk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(y + 2z)i +(x + 2z) j +(x − 2y)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)								циркуляцию
векторного поля					F = (7x +5y)i + (8x − y) j + (3xy − 2z − 4)k			по контуру
	2		2			2
L : x		+ y		= (z +1)			,
z = −3.

Вариант 6. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:
		(												π								π
	3			7x +1 dx										4	9							2	dx
																			xdx
1.	∫						)			;	2.			∫x2 cos2xdx; 3.	∫						;	4. ∫		;
		6x				2	+ x																1+sin x + cos x
	2							−1						0	4		x −1					0
5.	∫1						x4dx						;	6. ∞∫x2e−x3 dx.
		(			2		)
			x					1− x			2
	−1													0
							+1

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = arcsin x , касательная к этой линии в начале координат и прямая x =1.

2.Внутри окружности ρ =1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1−cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. y2 = 2(x −1)3 3, внутри y2 = x .

4.x = 2(cost +t sint), 0 ≤t ≤π.y = 2(sint −t cost),

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

11

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y = 2 − x2 , y = x2.

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − x − y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y ≥ 0,

x2 + y2 + 2x ≤ 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 6y2 + z2 , y2 + z2 =9, x = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y = x2 + z2 , y = 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 , z = 2x.

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x2 − y2 )dx + 2xydy , где L − контур треугольника ABC : A(1;1), B(3;1),

L

C (3;2).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 4y2 − z2 =1 в точке M (1,1,2),составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz . 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ex+y (zi + zj + k ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + z)i + 2yj +(x + y − z)k через внешнюю

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + z = 2

и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)

циркуляцию

векторного поля

F = (2x −3y)i + (5z − 4y) j + (6z − 2y2 −6)k

по контуру

2

2

2

L :

x

+ y

= (z −1)

,

z = −1.

Вариант 7.

Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

1.

∫3

dx

; 2. ∫2

dx

; 3.

∫3

xarctgxdx;

4.

π∫ex cos2 xdx;

2

2

2

2

2

2 x

x

− x +3

0 a

sin

x +b

cos

x

1

0

12

5.

∞∫

dx

; 6. ∫4

x2dx

.

(x −1)

2

2

x

− 2

−4 16 − x

2

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = x + 4, y = 2 − x, y = 0.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне окружности ρ = −cosφ.

Вычислить длинудуги кривой:

	3.	y =1/ cos2x ,				0 ≤ x ≤π 8.
	4.	ρ =	1	,	π	≤ϕ ≤	3π .
			sinϕ		4
							4

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y = x2 − 2, y = x.

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 = 4y, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y ≤ 0,

x2 + y2 − 2x ≥ 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : z =8(x2 + y2 ), z = 32.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x2 = y2 + z2 , x =3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 = 4y, y + z = 4,
y + 2z = 4.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫−x2 ydx + xy2dy , где L −окружность x2 + y2 = R2 .
L
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности −x2 + y2 +3z =12 в точке

M (2,2,4), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = (zey )i +(yex )k .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

13

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(3x − y)i +(2y + z) j +(2z − x)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x −3y + z = 6 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)								циркуляцию
векторного поля					F = (6x +5z)i + (3x − y) j + (2y2 − z + 4)k			по контуру
	2		2			2
L : x		+ y		= (z − 4)			,
z = 6.

Вариант 8. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

1

2

dx

3

x

3

x2 −1

2

1.

∫

2x − x

dx;

2. ∫

;

3. ∫xarcsin

dx; 4. ∫

dx;

2

+sin x + cos x

x

4

0

0

0

3

1

+1

∞

dx

1

dx

5.

−∞∫

;

6. ∫0

.

x2 +5x +11

x(1− x)

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = arctg x , y = arctg(2x − 4) , y = 0.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутри окружности ρ =3cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

3. y = x28 −ln x , 1≤ x ≤ 2.

		t	sint,		π
4.	x = e			0 ≤t ≤		.
		t	cost,		2
	y = e

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x ≥ 0, y ≥1, y ≤ 3, y = x .

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x, y = −x, y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 1− y.

14

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x ≤ 0,

x2 + y2 + 2y ≥ 0, y ≤ 0,относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : y =3x2 + z2 , y = 9.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x = y2 + z2 , x =3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4,

x+ y + z = 4, z = 0 .

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + y2 = 4z +9 в точке M (2,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = xz2 (2yzi + xzj +3xyk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(2y + z)i +(x − y) j − 2zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x − y + z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля

F = (y − 2x)i + (4x +3y) j + (3z2 − 2y2 +9)k по контуру

2

2

2

L

: x

+ y

= (z +3)

,

z = −5.

Вариант 9.

Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

π

π

π

3

dx

2

dx

3 xdx

4 x2 +3

1.

3

π∫

;

2. ∫0

;

3.

π∫

;

4. ∫3

dx;

2sin2 x +3cos2 x

sin2 x

x − 2

x2 + 2x +3

4

4

5.

∫e

dx

; 6.

∞∫

dx

.

x

2

+ 4x +9

2

1 x 3 (ln x)

−2

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

15

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = −4 , y = ln x и касательная к этой линии в точке пересеченияее с осьюOx.

2.Внутри окружности ρ = 3sinφ и одновременно внутри кардиоиды ρ =1−cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги всей кривой			y = 2(ex/4 + e−x/4 ), которая
расположена ниже прямой y = 2		1
	e +	e	.

4. Вычислить длину дуги кардиоиды ρ =1−cosφ, находящейся внутри окружности ρ = cosφ.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

	D
D : y2 = 2x, x2 = 2y, x ≤1.
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 2x, x + y = 2, если
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − x − y.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x ≥ 0,

x2 + y2 + 2y ≤ 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : 9y = x2 + z2 , x2 + z2 = 4, y = 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси			Oy ,
занимающего область V : y = 2 x2 + z2 , y = 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 ,			y = x2 , y =1,
z = 0 .
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x2 − y)dx +(x2 + y)dy, где L − контур треугольника ABC : A(1;−1), B(3;1),

L

C(1;3).

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности 3x2 − 4y2 + 2z2 =1 в точке M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = −xj .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

16

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y)i +3yj +(y − z)k через внешнюю

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x − y − 2z = −2

и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)

циркуляцию

векторного поля

F = (5x + 4y)i + (7x − 2y) j + (2xy + z − 4)k

по контуру

2

2

2

L

: x

+ y

= (z − 4)

,

z = 2.

Вариант 10.

Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

1. ∫1 arcsin xdx;

2. ∫1

xarcsin xdx; 3.

ln∫8

dx

;

4. ∫1

dx

;

2

x

0

x +1

ln 3

e +1

0 4x

+ 4x +5

2

2

π

5. ∫1

x3

arcsin

x

dx;

6.

∫2 ln(sin x)dx.

2

0

1− x

0

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ln(−x), y = ln(x + 4), y = ln 6 .

2.Внутри кардиоиды ρ =1−cosφ и одновременно вне окружности ρ = 3sinφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.y2 = 4x3 , внутри окружности x2 + y2 = 3x / 2 .

4.	x =(t2 − 2)sint + 2t cost,
		0 ≤t ≤π.
	y =(2	−t2 )cost + 2t sint,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x ≥ 0, y ≥ x, y = 9 − x2 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x =1, x = y2 , x + y = 2, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x − y.

17

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x ≤ 0,

x2 + y2 + 2y ≥ 0, y ≤ 0,относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : 3z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4, z = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y = x2 + z2 , y = 3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 =9, z ≥1.

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

	2		2		2				R	2	− x	2	,
∫(x + y)		dx −(x		+ y		)dy, где	y =
							L :	0.
L							y =

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x2 + y2 − 2z =1 в точке M (−1,−1,2), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

			x2 z				x2 y
	F	= (xyz − y)i	+		− x j		+		+1 k .
				2				2

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y − z)i − 2yj +(x + 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного F = (4x + y)i + (5z −8y) j + (xy + 2z)k по контуру

x2 + y2 + 2z +1 = 0, L : z = −1.

Вариант 11. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

1.

π∫xsin xdx;

2. ∫1

xdx

; 3.

∫4

dx

;

4. ∫3 arctg

xdx;

2

0

−1 x

+ x

+1

0 1+ 2x +1

1

∞ xdx

1

dx

5. ∫2

;

6. −∫1

.

x3 −1

(20 − x2 )

1− x2

18

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y2 = x 4, y2 = x −3.

2.Внутри кардиоиды ρ =1−cosφ и одновременно внутри окружности ρ = cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = arcsin e−x , которая расположена

левее прямой x =1. 4. ρ = acos5 ϕ5 , a > 0.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y2 = 2 − x, y = x.

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = 0, x2 =1− y, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 3 − x − y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y ≤ 0,

x2 + y2 + 2x ≥ 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : 6y = x2 + z2 , y =8.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x2 = y2 + z2 , y2 + z2 =1, x = 0.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x, z = 4 − y2 , x = 0.

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫		2	+	y2		2	dy, где L −контур треугольника ABC :	A(1;1),
	3 x			2	dx +(x − y)
L
B(2;2), C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − 2y2 + 2z2 =1 в точке M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F =(−z)i + xk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(y − z)i +(2x + y) j + zk через внешнюю

19

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y + z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) по циркуляцию векторного поля F = (y − 2x)i + (3z + y) j + (2y2 − z +1)k контуру

x2 + y2 + 2z −3 = 0,

L : z =1.

Вариант 12. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

(

π

−1

x +1 dx

2

dx

1/2

ln 2

1.

∫

) 2

;

2.

∫

;

3. ∫arcsin xdx;

4. ∫

ex −1dx; 5.

3

2 −sin x

−2

x

− x

0

0

0

∞ (x2 +12)2dx

;

6.

1

dx

.

∫(2 − x) 1− x

∫

(

x

2

)

+1

0

0

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ln(x +1), y = 2ln(x −1), y = 0 .

2.Междудвумя лемнискатами ρ2 = 4cos2φ и ρ2 = cos2φ. Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги всей кривой: y = ∫x								−	π	≤ x ≤	π .
						costdt,
				−	π				2		2
	x = 2cost −cos2t,				2
4.		0 ≤t ≤	π	.
			2
	y = 2sint −sin 2t,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x = 2 − y2 , x ≥ y2 , y ≥ 0.

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 , x = y2 , если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)=3x + 2y + 6.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y ≥ 0,

x2 + y2 − 2x ≤ 0, y ≥ 0,относительно оси Oy , используя полярные координаты.

20