I. ПРЕДЕЛЫ

Теоретические вопросы

1. Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4. Теорема о пределе промежуточной функции.

5. Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x .

6. Первый замечательный предел lim sin x =1.

x→0 x

7.Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

8.Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9.Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел отличный от нуля.

11.Теорема о пределе суммы.

12.Теорема о пределе произведения.

13.Теорема о пределе частного.

14.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

15.Непрерывность суммы, произведения и частного.

16.Непрерывность сложной функции.

17.Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.

18.Сравнение бесконечно малых функций.

19.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.

20.Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

Теоретические упражнения

1.

Доказать, что если lim a

= a, то lim

a

=

a

. Вытекает ли из существования

n

→ ∞ n

n → ∞

n

lim

a

существование lim a ?

n → ∞

n

n → ∞

n

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

1

b

−

a

≤

b − a

.

2.

Доказать, что последовательность {n2} расходиться.

3.

Сформулировать на языке «ε −δ » утверждение: «Число A не является пределом

в точке x0 функции

f (x), определенной в окрестности точки x0 ».

4.

Доказать, что если f (x) непрерывная функция, F (x) =

f (x)

есь также

непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?

5.

Сформулировать на языке «ε −δ » утверждение: «Функция

f (x), определенная в

окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке».

6.

Пусть lim

f (x) ¹ 0, а lim ϕ (x) не существует. Доказать, что lim

f (x)ϕ (x)

x → x0

x → x0

x → x0

не существует.

У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

7. Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ (x) не имеет предела

Будут ли существовать пределы:

1) lim	é f (x)	+ϕ (x)ù ;
x → x0	ë	û
Рассмотреть пример:		lim xsin	1	.
		x → 0	x

2)lim f (x)ϕ (x)?

x→ x0

8. Пусть	lim f (x) ¹ 0, а функция ϕ (x)	бесконечно	большая	при x → x0
	x → x0
Доказать, что	произведение f (x)ϕ (x) является	бесконечно	большой	функцией при

x→ x0 .

9.Является ли бесконечно большой при x → 0 функция 1x cos 1x ?

10.Пусть α′(x) α (x)

	lim	α′(x)	не существует, то
		β¢(x)
	x → x0

	и	β′(x)		β (x)	при x → x . Доказать, что если
					0
	lim	α (x)		тоже не существует.
		β (x)
	x → x0

2

Расчетные задания

Задача 1. Доказать, что lima

= a (указать N

(ε ) ).

3n − 2

3

n→∞

n

4n −1

1.1. an

=

,

a =

.

1.2. an

=

,

a = 2.

2n −1

2

2n +1

1.3. an

=

7n + 4

,

a =

7

.

1.4. an

=

2n − 5

,

a =

2

.

2n +1

2

3

3n +1

1.5. a

=

7n −1

,

a = 7.

1.6. an

=

4n2 +1

,

a = 4.

n

n +1

2

+2

3

3n

1.7. an

=

9−n3

,

a = −

1

.

1.8. a

=

4n − 3

,

a = 2.

n

3

2

2n +1

1+2n

1.9. an

=

1−n2

,

a = −

1

.

1.10. a

= −

5n

,

a = −5.

2+4n2

n

n +1

2

1.11. a

n

=

n +1

, a = −

1

.

1.12. a

n

=

2n +1

,

a =

2

.

1− 2n

3n − 5

2

3

a =

1−n2

, a = −

1

.

a =

3n2

, a = −3.

1.13.

n

2+4n2

2

1.14.

n

2−n2

1.15. an		=			n		,						a =	1			.
					3n −1
													3
1.17. an		=			4 + 2n					,			a = −										2				.
																							3
					1− 3n
1.19.	a	=			3−n2		,					a = −				1					.
	n	1+2n2														2
1.21. an		=			3n −1		,						a =		3			.
					5n +1
													5
1.23.	a =				1−2n2							,	a = −												1			.
					2+ 4n2
	n																						2
1.25. an		=			2 − 2n				,				a = −										1			.
					3 + 4n																		2
1.27. an		=	1+ 3n				,						a = −3.
					6 − n
1.29.	a =				3n2 + 2							,	a =						3					.
	n				4n2 −1											4
1.31.	a =				2n3				,				a = 2.
					n3 −2
	n

1.16. a =

3n3

,

a = −3.

n3 −1

n

1.18. an

=

5n +15

,

a = −5.

6 − n

1.20. an

=

2n −1

,

a = −

2

.

2 − 3n

3

1.22. an

=

4n − 3

,

a = 2.

2n +1

1.24. a

n

=

5n +1

,

a =

1

.

10n − 3

2

1.26. an

=

23 − 4n

,

a = 4.

2 − n

1.28. an

=

2n + 3

,

a = 2.

n + 5

1.30. a =

2−3n2

,

a = −

3

.

4+5n2

n

5

3

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

2.1.

lim

(3 − n)2 + (3 + n)2

.

2.2.

lim

(3 − n)4 − (2 − n)4

.

n → ∞ (3 − n)2 − (3 + n)2

n → ∞ (1− n)4 − (1+ n)4

2.3.

lim

(3 − n)4 − (2 − n)4

.

2.4.

lim

(1− n)4 − (1+ n)4

.

n → ∞ (1− n)3 − (1+ n)3

n → ∞ (1+ n)3 − (1− n)3

2.5.

lim

(6 − n)2 − (6 + n)2

.

2.6.

lim

(n +1)3 − (n +1)2

.

n → ∞ (6 + n)2 − (1− n)2

n → ∞ (n −1)3 − (n +1)3

2.7.

lim

(1+ 2n)3

− 8n3

.

2.8.

lim

(3 − 4n)2

.

+ 4n2

n → ∞ (1+ 2n)2

n → ∞ (n − 3)3 − (n + 3)3

2.9. lim

(3 − n)3

.

2.10. lim

(n +1)2

+ (n −1)2 − (n + 2)3

.

(4 − n)3

n → ∞ (n +1)2 − (n +1)3

n → ∞

2.11. lim

2(n +1)3 − (n − 2)3

.

2.12. lim

(n +1)3

+ (n + 2)3

.

n2 + 2n − 3

(n + 4)3

+ (n + 5)3

n → ∞

n → ∞

2.13. lim

(n + 3)3

+ (n + 4)3

.

2.14. lim

(n +1)4

− (n −1)4

.

(n + 3)4

− (n +

4)4

+ (n −1)3

n → ∞

n → ∞ (n +1)3

2.15. lim

8n3

− 2n

.

2.16. lim

(n + 6)3 − (n +1)3

.

(n +1)4

− (n −1)4

(2n + 3)2 + (n + 4)2

n → ∞

n → ∞

2.17. lim

(2n − 3)3 − (n + 5)3

.

2.18. lim

(n +10)2 + (3n +1)2

.

(3n −1)3 + (2n + 3)3

(n + 6)3 − (n +1)3

n → ∞

n → ∞

2.19. lim

(2n +1)3 + (3n + 2)3

.

2.20. lim

(n + 7)3 − (n + 2)3

.

(2n + 3)3 − (n − 7)3

1)2

n → ∞

n → ∞ (3n + 2)2 + (4n +

2.21. lim

(2n +1)3 − (2n + 3)3

.

2.22. lim

n3 − (n −1)3

.

(2n +1)2 + (2n + 3)2

(n +1)4

+ n4

n → ∞

n → ∞

2.23. lim

(n + 2)4

− (n − 2)4

.

2.24. lim

(n +1)4

− (n −1)4

.

(n + 5)2

+ (n −

5)2

+ (n −1)3

n → ∞

n → ∞ (n +1)3

2.25. lim

(n +1)3

− (n −1)3

.

2.26. lim

(n +1)3

− (n −1)3

.

(n +1)2

− (n −1)2

+ (n −1)2

n → ∞

n → ∞ (n +1)2

2.27. lim

(n + 2)3

+ (n − 2)3

.

2.28. lim

(n +1)3

+ (n −1)3

.

n4 +

2n2 −1

n3

− 3n

n → ∞

n → ∞

4

	2.29. lim	(n +1)3 + (n −1)3	.	2.30. lim	(n + 2)2	− (n − 2)2	.
					(n	+ 3)3
		n3 +1
	n → ∞			n → ∞
	2.31. lim	(2n +1)2 − (n +1)2		.
		n2 + n +1
	n → ∞

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3.1. lim	n 3		5n2 + 4 9n8 +1					.
n → ∞ (n		+		n	)	7 − n + n2

3.3. lim n3 +1 − n −1 . n → ∞ 3n3 +1 + n −1

3.5.

lim

3n −1

− 3

125n3 + n

.

− n

n → ∞

5 n

−

n2 + 2

3.7.

lim

n + 2

.

+1 −

3 n4 −

1

n → ∞ 4 4n4

3.9. lim 6n3 − n5 +1.

n → ∞ 4n6 + 3 − n

3.11. lim	n	4	3n +1		+ 81n4 − n2 +1				.
		(n + 3				)
							5 − n + n2
n → ∞				n

3.13. lim n5 + 3 − n − 3 . n → ∞ 5n5 + 3 + n − 3

3.15. lim 4n +1 − 327n3 + 4 .

n → ∞ 4n − 3n5 + n

3

n3 − 7 + 3

n2 + 4

3.17. lim

.

+ 5 +

n → ∞

4

n

5

n

3.19. lim

4n2 − 4

n3

.

n → ∞ 3 n6 + n3 +1

− 5n

3.2.

lim

n −1

−

n2 +1

.

n → ∞

3 3n3 + 3 + 4 n5 +1

3

n2 −1

+ 7n3

3.4.

lim

.

n → ∞

4 n12 + n +1 − n

n

5

− 3

27n6 + n2

3.6.

lim

n

.

(n + 4

)

9 + n2

n → ∞

n

3.8. lim n4 + 2 + n − 2 . n → ∞ 4n4 + 2 + n − 2

3.10. lim

5n + 2

−

3 8n3 + 5

.

n → ∞

4 n + 7 − n

−

n2 − 3

3.12. lim

n + 3

.

n → ∞ 3 n5

− 4 − 4 n4 +1

3

− 9n2

n

3.14. lim

.

n → ∞ 3n − 4 9n8

+1

− 4

n 3

81n8 −1

3.16. lim

7n

.

(n + 4

)

n2 − 5

n → ∞

n

3.18. lim n6 + 4 + n − 4 . n → ∞ 5n6 + 6 − n − 6

3.20. lim n + 3 − 38n3 + 3 .

n → ∞ 4n + 4 − 5n5 + 5

5

3.21. lim	n 4	11n	+			25n4 - 81			.
n → ∞ (n - 7				n	)		n2 - n +1

3.23. lim n7 + 5 - n - 5 . n → ∞ 7n7 + 5 + n - 5

3.25. lim n + 2 - 3n3 + 2 .

n → ∞ 7n + 2 - 5n5 + 2

3.27. lim n + 6 - n2 - 5 .

n → ∞ 3n3 + 3 + 4n3 +1

3.29. lim

n2 - n3

+1

.

- n

n → ∞ 3 n6 + 2

3

n 6

+

n10 +1

.

3.31. lim

n

n → ∞ (n + 4

n

)

3 n3 -1

3.22. lim	3	n2				-					n2 + 5						.
n → ∞	5			n	7	-							n +1
	3
3.24. lim			n2 + 2 - 5n2															.
n → ∞ n		-						n4 - n +1
	n									-				3 64n6 + 9
3.26. lim					71n																.
	(n												)
n → ∞					- 3				n						11+ n2

3.28. lim n8 + 6 - n - 6 . n → ∞ 8n8 + 6 + n - 6

3.30. lim n +1 - 3n3 +1 .

n → ∞ 4n +1 - 5n5 +1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

4.1. nlim→ ∞ n(n2 +1 - n2 -1). 4.3. nlim→ ∞ (n - 3n3 - 5)nn.

			- n
					n(n2 + 5)
4.5. lim		n5 - 8					.
n → ∞				n

4.7. nlim→ ∞ (n + 34 - n3 ).

4.2. nlim→ ∞ n(n(n - 2) - n2 - 3).

4.4. lim é				ù
	(n2 +1)(n2 - 4)
		-	n4 - 9
ê				ú
n → ∞ ë				û

4.6. nlim→ ∞ (n2 - 3n + 2 - n).

4.8. lim é				ù.
	n(n + 2)	-	n2 - 2n + 3
n → ∞ ë				û

4.9. lim é

-

ù.

(n

+ 2)(n +1)

(n -1)(n + 3)

ê

ú

n → ∞ ë

û

4.10. lim n2 (

).

n(n4 -1)

-

n5 - 8

n → ∞

4.11. lim n(3

- 2n).

(3

- 3

).

5 + 8n3

4.12. lim n2

5 + n3

3 + n3

n → ∞

n → ∞

6

é3

- 3

ù.

(n +1)3

-

n(n -1)(n - 3)

.

4.13. lim

(n + 2)2

(n - 3)2

4.14. lim

ë

û

n → ∞

n

n → ∞ ê

ú

n → ∞ (

)

n → ∞

(

)

n2 + 3n - 2 - n2 -

-

4.15. lim

3

.

4.16. lim

n

n

+ 2

n - 3

.

-

4.17. lim

n(n5 + 9)

(n4 -1)(n2 + 5)

.

n

n → ∞

(

- n).

(

-

).

4.18. lim

n (n + 5)

4.19. lim

n3 + 8

n3 + 2

n3 -1

n → ∞

n → ∞

-

4.20. lim

(n3 +1)(n2 + 3)

n(n4 + 2)

.

n → ∞

2

n

é

-

ù.

4.21. lim

(n2 +1)(n2 + 2)

(n2 +1)(n2 - 2)

ê

ú

n → ∞ ë

û

				- n
4.22. lim		(n5 +1)(n2 -1)				n(n4 +1)				.
		n
n → ∞
		(n4 +1)(n2 -1)
4.23. lim				- n6 -1				.
		n
n → ∞

4.25. lim n3 (3 n2 (n6 + 4) - 3 (n8 -1)).

n → ∞

4.27. lim 3 n (3 n2 - 3 n(n -1)).

n → ∞

4.29. nlim→ ∞ n(n4 + 3 - n4 - 2 ).

én -

ù.

4.24. lim

n

(n -1)

n → ∞ ë

û

én

ù.

4.26. lim

n

-

n (n +1)(n + 2)

n → ∞ ë

û

(

-

).

4.28. lim

n

+ 2

n + 3

n - 4

n → ∞

(

-

).

n3 - 3

n3 - 2

4.30. lim

n(n +1)(n + 2)

n → ∞

(n2 + 5)(n4 + 2)

- n6 - 3n2 + 5

4.31. lim

.

n

n → ∞

7

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

æ

1

+

2

+

3

+ ...

+

n -1

ö

5.1.

lim

ç

÷.

2

n

2

n

2

n

2

n → ∞

è n

ø

5.3.

lim

é1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n -1)

-

ê

n +1

n → ∞

ë

5.4.

lim

2n+1 + 3n+1

.

n → ∞

2n + 3n

5.6.

lim

1+ 3 + 5 + ... + (2n -1)

.

n → ∞

1+ 2 + 3 +.. + n

	5.2. lim	(2n +1)!+ (2n + 2)!.
	n → ∞	(2n + 3)!
2n +1	ù
	ú.
2
	û

5.5. lim	1+ 2		+ 3 + ...			+ n	.
n → ∞			9n	4	+1

	é1+ 3 + 5			+ 7 + ... + (2n -1)		ù
5.7. lim	ê					- nú.
					n + 3
n → ∞	ë					û
5.9. lim	(n + 4)!-			(n + 2)!.
n → ∞			(n +	3)!
5.11. lim		2n	- 5n		.
		2n+1	+ 5n+1
n → ∞

5.8. lim	1+ 4 +				7 + ... + (3n - 2)									.
n → ∞					5n			4	+ n +1
5.10. lim (3n -1)!+ (3n +1)!.
n → ∞			(3n)!(n -1)
1+			1	+			1		+ ... +		1
			3				2				n
5.12. lim							3			3			.
			1				1
n → ∞ 1+				+					+ ... +	1
			5				52				5n

5.13. lim

1

- 3 + 5 - 7 +

9 -11+... + (4n - 3) - (4n -1)

.

n → ∞

n

2

+1 +

n

2

+ n +1

5.14. lim

1

- 2 + 3 - 4 + ... + (2n -1) - 2n

.

n → ∞

9n

4

+1

3n - 2n

5.15. lim

3 n3 + 5 -

3n4 + 2

.

5.16. lim

.

1

+ 3 + 5 + ... + (

2n -1)

n → ∞

n → ∞ 3n−1 + 2n

é

n + 2

-

2ù

æ

5

+

13

+ ... +

3n + 2n ö

5.17. lim

ê

ú.

5.18. lim

ç

÷.

...n

6

36

6

n

n → ∞

ë1+ 2 + 3 +

3û

n → ∞ è

ø

5.19. lim

2 - 5 + 4 - 7 + ... + 2n - (2n + 3)

. 5.20. lim

(2n +1)!+ (2n + 2)!

.

n → ∞

n + 3

n → ∞ (2n + 3)!- (2n + 2)!

8

5.21. lim

1+ 2 + ... + n

.

5.22.

n → ∞

n - n2 + 3

æ

3

+

5

+

9

+ ... +

1+ 2

n ö

5.23. lim

ç

÷.

5.24.

4

16

64

n

n → ∞

è

4

ø

é1+ 5 + 9 +13 + ... + (4n - 3)

4n

+

ù

5.25. lim

ê

-

1

ú.

n +1

2

n → ∞

ë

û

5.26. lim

1− 2 + 3 − 4 + ... − 2n

.

5.27.

n → ∞

3

n

3

+ 2n + 2

5.28. lim

n!+ (n + 2)!

.

5.29.

n → ∞ (n -1)!+ (n + 2)!

æ

7

+

29

+ ... +

2n

+ 5n ö

5.30. lim

ç

÷.

5.31.

10

100

10

n

n → ∞

è

ø

lim		n2 +	n	-1		.
		+ 7 +12 +.. + (5n - 3)
n → ∞ 5
lim		2 + 4 + 6 + ... + 2n			.
		+ 3 + 5 + .. + (2n -1)
n → ∞ 1

	lim		2n + 7n		.
			2n - 7n−1
	n → ∞
	lim		3 + 6 + 9 + ... + 3n				.
	n → ∞			n2 + 4
		æ		2 + 4 + ... + 2n		ö
	lim	ç				- n÷.
				n + 3
	n → ∞	è				ø

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

6.1. lim æ

ç

n → ∞ è

æ

6.3. lim ç

n → ∞ è

æ

6.5. lim ç

n → ∞ è

æ

6.7. lim ç

n → ∞ è

6.9. lim æ

ç

n → ∞ è

n+1ön .

-÷

n 1ø

	2					ö	n4
	n		-		1
						÷ .
	n		2
						ø
	2n	2		+ 2				ö	n2
								÷ .
	2n		2		+1
								ø

2	- 3n + 6			ö	n /2
n				÷
2	+ 5n +1
n				ø
6n - 7		ö3n+2
6n + 4		÷ .
		ø

æ n2 + n +1ö−n2

6.11. lim ç ÷

n → ∞ è n2 + n -1ø

.

.

6.2.	æ	2n + 3		ön+1
	lim ç	2n +	1	÷ .
	n → ∞ è			ø
	æ n -1		ön+2
6.4.	lim ç		÷ .
	n → ∞ è n + 3		ø

æ

3n2 - 6n + 7

ö−n+1

6.6.

lim ç

÷ .

3n

2

+ 20n -1

n → ∞ è

ø

6.8.

æ n -10

ö3n+1

lim ç

n +1

÷ .

n → ∞ è

ø

æ

3n2 + 4n -1

ö2n+5

6.10. lim

ç

÷ .

3n

2

+ 2n + 7

n → ∞

è

ø

æ

2n

2

+ 5n + 7

ö

n

6.12. lim

÷ .

ç

2n

2

+ 5n + 3

n → ∞

è

ø

9

æ n -1

ön2

6.13. lim ç

÷ .

n → ∞ è n +1

ø

æ

3n +1

ö2n+3

6.15. lim ç

÷ .

3n -1

n → ∞ è

ø

æ n + 3

ön+4

6.17. lim ç

÷ .

n → ∞ è n + 5

ø

æ

2n

2

+ 21n - 7

ö

2n+1

6.19. lim ç

÷ .

2n

2

+18n + 9

n → ∞ è

ø

æ

3n2 - 5n

ön+1

6.21. lim ç

÷ .

3n

2

- 2n + 7

n → ∞ è

ø

æ

2

- 6n +

5

ö3n+2

6.23. lim ç

n

÷ .

2

- 5n + 5

n → ∞ è n

ø

æ

7n

2

+18n -15

ö

n+2

6.25. lim ç

÷ .

7n

2

+11n +15

n → ∞ è

ø

æ n3 + n +1

ö2n2

6.27. lim ç

÷ .

n

3

+ 2

n → ∞ è

ø

æ

2n

2

+ 2n + 3

ö

3n2 −7

6.29. lim ç

.

÷

2n

2

+ 2n +1

n → ∞ è

ø

æ

4n2 + 4n -1

ö1−2n

6.31. lim ç

÷ .

4n

2

+ 2n + 3

n → ∞ è

ø

Задача 7. Доказать (найти δ (ε )), что:

7.1.	lim	2x2	+ 5x - 3		= -7.
			x +	3
	x → -3
7.3.	lim	3x2	+ 5x - 2			= -7.
			x +	2
	x → -2

æ

5n2 + 3n -1

ön2

6.14. lim ç

÷ .

5n

2

+ 3n + 3

n → ∞ è

ø

æ

2n

2

+ 7n -1

ö

−n2

6.16. lim ç

÷ .

2

+ 3n -1

n → ∞ è

2n

ø

æ

3

+1

ö2n−n3

6.18. lim ç

n

÷

.

3

-1

n → ∞ è n

ø

æ

10n - 3

ö5n

6.20. lim ç

10n -

1

÷ .

n → ∞ è

ø

æ n + 3

ö−n2

6.22. lim ç

÷ .

n → ∞ è n +1

ø

æ n + 4

ön

6.24. lim ç

÷ .

n → ∞ è n + 2

ø

æ

2n -1

ön+1

6.26. lim ç

2n +1

÷ .

n → ∞ è

ø

æ

13n + 3

ön−3

6.28. lim ç

÷ .

13n -10

n → ∞ è

ø

æ n + 5

ön/6+1

6.30. lim ç

÷ .

n → ∞ è n - 7

ø

7.2. lim	5x2	- 4x -1		= 6.
		x -1
x → 1
7.4. lim	4x2	-14x + 6			=10.
		x - 3
x → 3

10

7.5.

lim

6x2 + x −1

= −5.

x +1 2

x → -1 2

7.7.

lim

9x2 −1

= −6.

x

+1 3

x → -1 3

7.9.

lim

3x2 − 2x −1

= −4.

x +1 3

x → -1 3

7.11. lim

x2

− 4x + 3

= 2.

x − 3

x → 3

7.13.

lim

6x2 − 5x +1

= −1.

x −1 3

x → 1 3

7.15.

lim

2x2 +13x + 21

= −

1

.

2x + 7

2

x → -7 2

7.17.

lim

6x2 + x −1

= 5.

x −1 3

x → 1 3

7.19.

lim

2x2 − 21x −11

= 23.

x −11

x → 11

7.21. lim

2x2 +15x + 7

= −13.

x +

7

x → -7

7.23.

lim

6x2 − x −1

= −

5

.

3x +

1

3

x → -1 3

7.25. lim

3x2 − 40x +128

= 8.

x − 8

x → 8

7.27.

lim

2x2 − 5x + 2

= −3.

x −1 2

x → 1 2

7.29.

lim

3x2 +17x − 6

=19.

x −1 3

x → 1 3

7.31.

lim

15x2 − 2x −1

= 8.

x −1 3

x → 1 3

7.6.

lim

6x2

− x −1

= 5.

2 x −1 2

x → 1

7.8. lim

3x2 − 5x − 2

= 7.

x

− 2

x → 2

7.10. lim

7x2

+ 8x +1

= −6.

x +1

x →

-1

7.12.

lim

2x2 + 3x − 2

= 5.

x −1 2

x →

1 2

7.14.

lim

10x2 + 9x − 7

= −19.

x + 7 5

x →

-7 5

7.16.

lim

2x

2 − 9x +10

=

1

.

2x −

5

2

x →

5 2

7.18.

lim

6x2 − 75x − 39

= −81.

x +1 2

x →

-1 2

7.20. lim

5x2

− 24x − 5

= 26.

x −

5

x →

5

7.22. lim

2x2

+ 6x − 8

= −10.

x +

4

x →

-4

7.24. lim

x2 + 2x −15

= −8.

x +

5

x →

-5

7.26.

lim

5x2 − 51x +10

= 49.

x −10

x →

10

7.28. lim

3x2

+17x − 6

= −19.

x + 6

x →

-6

7.30.

lim

15x2 − 2x −1

= −8.

x +1 5

x →

-1 5

11

Задача 8. Доказать, что функция f (x)

непрерывна в точке x0

(найти δ (ε )).

8.1.

f (x) = 5x2 −1,

x

= 6.

8.2.

f (x) = 4x2 − 2,

x

= 5.

0

0

8.3.

f (x) = 3x2 − 3,

x

= 4.

8.4.

f (x) = 2x2 − 4,

x

= 3.

0

0

8.5

f (x) = −2x2 − 5,

x

= 2.

8.6

f (x) = −3x2 − 6,

x

=1.

0

0

8.7

f (x) = −4x2 − 7,

x

=1.

8.8

f (x) = −5x2 − 8,

x

= 2.

0

0

8.9

f (x) = −5x2 − 9,

x

= 3.

8.10

f (x) = −4x2 + 9,

x

= 4.

0

0

8.11

f (x) = −3x2 + 8,

x

= 5.

8.12

f (x) = −2x2 + 7,

x

= 6.

0

0

8.13

f (x) = 2x2 + 6,

x

= 7.

8.14

f (x) = 3x2 + 5,

x

= 8.

0

0

8.15

f (x) = 4x2 + 4,

x

= 9.

8.16

f (x) = 5x2 + 3,

x

= 8.

0

0

8.17

f (x) = 5x2 +1,

x

= 7.

8.18

f (x) = 4x2 −1,

x

= 6.

0

0

8.19

f (x) = 3x2 − 2,

x

= 5.

8.20

f (x) = 2x2 − 3,

x

= 4.

0

0

8.21

f (x) = −2x2 − 4,

x

= 3.

8.22

f (x) = −3x2 − 5,

x

= 2.

0

0

8.23

f (x) = −4x2 − 6,

x

=1.

8.24

f (x) = −5x2 − 7,

x

=1.

0

0

8.25

f (x) = −4x2 − 8,

x

= 2.

8.26

f (x) = −3x2 − 9,

x

= 3.

0

0

8.27

f (x) = −2x2 + 9,

x

= 4.

8.28

f (x) = 2x2 + 8,

x

= 5.

0

0

8.29

f (x) = 3x2 + 7,

x

= 6.

8.30

f (x) = 4x2 + 6,

x

= 7.

0

0

8.31

f (x) = 5x2 + 5,

x

= 8.

0

Задача 9. Вычислить пределы функций.

9.1.

lim

(x3 − 2x −1)(x +1) .

9.2.

lim

x3 − 3x − 2

.

x → −1

x4 + 4x2 − 5

x → −1

x + x2

9.3.

lim

(x2 + 3x + 2)2

.

9.4. lim

(2x2 − x −1)2

.

2

− 2

x → −1 x3 + 2x2 − x −

x → 1 x3 + 2x2 − x

12

9.5.

lim

(x2 + 2x − 3)

2

.

x3

+ 4x2 + 3x

x → −3

9.7. lim

(1+ x)3 − (1+ 3x)

.

x + x5

x → 0

9.9.

lim

x3

− 3x − 2

.

x2

− x − 2

x → −1

9.11. lim

x3 − 3x + 2

.

− x2 − x +

1

x →

1 x3

9.13. lim

x3

+ 4x2 + 5x + 2

.

x3 − 3x − 2

x →

1

9.15. lim

x3

+ 5x2 + 8x + 4

.

x3 + 3x2 −

4

x →-2

9.17. lim

x3

− 6x2 +12x − 8

.

x3 − 3x2 + 4

x →2

9.19.

lim

x3 − 3x − 2

.

(x2 − x − 2)2

x →−

1

9.21.

lim

x3 − 3x − 2

.

x2 + 2x +

1

x →−

1

9.23. lim

x4 −1

.

2x4 − x2 −

1

x →

1

9.25. lim

2x2 − x −1

.

+ 2x2 − x − 2

x →

1 x3

9.27.

lim

x3 − 2x −1

.

4 + 2x +

1

x →−

1 x

9.29. lim

x2 −1

.

2x2 − x −1

x →

1

9.31. lim

x3

− 4x2 − 3x +18

.

x3 − 5x2 + 3x +

9

x →

3

9.6.

lim

(x3

− 2x −1)2

.

x4

+ 2x +

1

x → −1

9.8.

lim

x2 − 2x +1

.

2x2

− x −1

x → −1

9.10. lim

x3

+ 5x2 + 7x + 3

.

+ 4x2 + 5x +

2

x → −1 x3

9.12. lim

x3 + x2 − 5x + 3

.

x3

− x2 − x +

1

x →

1

9.14. lim

x4 −1

.

2x4 − x2 −

1

x →

1

9.16. lim

x3 − 5x2 + 8x − 4

.

x3 − 3x2 + 4

x →2

9.18. lim

x3 + 5x2 + 8x + 4

.

+ 7x2 +16x +12

x →

-2 x3

9.20. lim

x3 − 3x − 2

.

x3 + 7x2 +16x +12

x →2

9.22. lim

x2 − 2x +1

.

x →

1 x3 − x2 − x +1

9.24. lim

x2 + 3x + 2

.

+ 2x2 − x − 2

x →−

1 x3

9.26. lim

x2 + 2x − 3

.

x3 + 4x2 +

3x

x →-3

9.28. lim

(1+ x)3 − (1+ 3x)

.

x2 + x5

x →

0

9.30. lim

x3

+ 7x2 +15x + 9

.

x3 + 8x2 +

21x +

18

x →-3

13

Задача 10. Вычислить пределы функций.

10.1

lim

1+ 2x

− 3

.

x → 4

x − 2

.

10.3 lim

x −1

x → 1 3

x2 −1

3

+ 2

10.5

lim

x − 6

.

x3 + 8

x → −2

− 5

.

10.7

lim

9 + 2x

x → 8

3 x − 2

− 2

10.9

lim

3

8 + 3x + x

2

.

x + x2

x → 0

3

−1

10.11

lim

x

.

1+ x −

x →

1

2x

3

− 2

10.13

lim

4x

.

2 + x −

x →

2

2x

3

− 3

10.15

lim

9x

.

x →

3

3 + x −

2x

3

− 4

10.17

lim

16x

.

x →

4

4 + x −

2x

3

−1 2

10.19

lim

x 4

.

x →

1 2 1 2 + x −

2x

3

−1 4

10.21

lim

x 16

.

x →

1 4 1 4 + x −

2x

3

−

3

10.23

lim

27 + x

27 − x

.

3 x2 + 5

x →

0

x

10.25

lim

1− 2x + 3x2

− (1+ x)

.

x →

0

3 x

10.2.

lim

1− x

−

3

.

x → −8

2 + 3 x

− 2

.

10.4

lim

x +13

x +1

x2 − 9

x → 3

4

− 2

10.6

lim

x

.

x → 16

x − 4

− (1+ x)

10.8

lim

1− 2x + x2

.

x

x → 0

3

−

3

10.10

lim

27 + x

27 − x

.

x + 2

3

x →

0

x

4

10.12lim 1+ x − 1− x .

x→ 0 31+ x − 31− x

10.14lim x −1.

x→ 1 x2 −1

3		x − 6	+ 2
10.16 lim				.
		x + 2
x → -2

10.18lim 9 + 2x − 5.

x→ 8 3 x2 − 4

10.20	lim				3				x 9							−1 3											.
	x → 1 3				1 3 + x −																	2x
	3										−
					1+ x													1− x
10.22	lim																							.
	x → 0							7					x
	3				8 + 3x − x														2		− 2
10.24	lim																									.
	x → 0				3				x			2		+ x					3
														− 5						.
10.26	lim				9 + 2x
	x → 8					3 x − 2

14

10.27

lim

4

x

− 2

.

10.28

lim

3

x − 6

+ 2

.

x → 16 3 (

− 4)2

x → -2 3 x3 + 8

x

− 2

.

10 − x − 6

.

10.29

lim

x

10.30

lim

1− x

x → 4 3 x2 −16

x → −8

2 + 3 x

− 2

.

10.31

lim

x +13

x +1

x → 3

3

x

2

− 9

Задача 11. Вычислить пределы функций.

11.1. lim

ln(1+ sin x)

.

x → 0

sin 4x

11.3

lim

3x2 − 5x

.

sin3x

x → 0

11.5

lim

4x

.

tg(π (2 + x))

x → 0

11.7

lim

1− cos3 x

.

4x2

x → 0

11.9

lim

2x −1

.

x → 0 ln(1+ 2x)

11.11

lim

ln(1− 7x)

.

x →

0 sin(π (x + 7))

11.13

lim

9ln(1− 2x) .

x →

0

4arctg3x

11.15

lim

sin 7x

.

x →

0

x2 +π x

11.17

lim

2sin[π (x +1)].

x →

0

ln(1+ 2x)

−1

.

11.19

lim

1+ x

x →

0 sin[π (x + 2)]

11.2. lim 1− cos10x .

x → 0

ex2 −1

11.4

lim

1− cos2x

.

x → 0 cos7x − cos3x

11.6

lim

2x

.

x → 0 tg[2π (x +1 2)]

11.8

lim

arcsin

3x

.

x → 0

2 + x −

2

11.10

lim

arctg2x

.

(x +10))

x → 0 sin(2π

11.12

lim

cos(x + 5π 2)tgx

.

x → 0

arcsin 2x2

1−

11.14

lim

3x +1

.

x → 0 cos[π (x +1) 2]

− 2

.

11.16

lim

4 + x

x → 0

3arctgx

11.18

lim

cos2x − cos x

.

x → 0

1− cos x

11.20

lim

sin[5(x +π )]

.

x → 0

e3x −1

15

11.21	lim	1−	cos x		.
	x → 0	xsin x
11.23	lim	e4x −1					.
	x → 0 sin(π (x 2 +1))
11.25	lim	sin2 x − tg2 x				.
			x4
	x → 0
11.27	lim	tgx − sin x				.
		x(1− cos2x)
	x → 0
11.29	lim	tg(π (1+ x 2)) .
	x → 0	ln(x +1)

11.31lim 2xsin x .

x→ 0 1− cos x

arcsin 2x 11.22 lim − ln 2.

x → 0 2 3x −1

11.24lim 1− cos x .

x→ 0 (e3x −1)2

11.26	lim	arcsin 2x							.
	x → 0 ln(e − x) −1
11.28	lim	ln(x		2 +1)			.
	x → 0 1−			x2 +1
11.30	lim	2(	eπ x −1)							.
	x → 0	3(3 1		+ x −1)

Задача 12. Вычислить пределы функций.

12.1.lim x2 −1.

x→ 1 ln x

12.3	lim		1+ cos3x	.
	x → π		sin2 7x
12.5	lim	1+ cosπ x .
	x → 1		tg2π x
12.7	lim		sin x2 − tg		2 x	.
			(x −π )4
	x → π
12.9	lim		cos5x − cos3x				.
	x → π		sin2 x

12.11lim sin 7π x .

x→ 2 sin8π x

12.13 lim	x2	− 3x + 3 −1		.
		sinπ x
x → 1

12.2. lim		x2 − x +1 −1			.
		ln x
x → 1
12.4 lim		1− sin 2x	.
x →π 4		(π − 4x)2

12.6lim tg3x .

x→ π2 tgx

12.8 lim

x2 − x +1 −1

.

tgπ x

x → 1

12.10

lim

sin7x − sin3x .

x → 2π

ex2 − e4π 2

12.12

lim

ln(5 − 2

x)

.

x → 2

10 − 3x −

2

12.14

lim

x2 −π

2

.

sin x

x → π

16

5x−3

2x2

12.15

lim

3

- 3

.

x → 1

tgπ x

12.17

lim

ln 2x − lnπ

.

x → π 2 sin(5x 2)cos x

12.19

lim

eπ - ex

.

x → π sin5x - sin3x

12.21

lim

1- 24−x2

.

x → 2 2(

2x

- 3x2 -

5x + 2)

12.23

lim

tgπ x

.

x → -2

x + 2

12.25

lim

1− 2cos x

.

x → π 3

π - 3x

12.27lim 1- x2 .

x→ 1 sinπ x

12.29	lim	3 -	10 - x		.
	x → 1	sin3π x
12.31	lim	cos3x − cos x .
	x → π	tg2 2x

12.16lim 2x -16.

x→ 4 sinπ x

12.18	lim		ln tgx	.
	x → π 4 cos2x
12.20	lim	ln(9 - 2x2 )			.
			sin 2π x
	x → 2

12.22lim x -1.

x→ 1 4 x -13

12.24	lim		1− sin(x 2)	.
	x → π		π - x
12.26	lim	arctg(x2 - 2x)			.
			sin3π x
	x → 2

12.28lim cos(π x2).

x→ 1 1- x

12.30lim sin5x .

x→ π tg3x

Задача 13. Вычислить пределы функций.

13.1.

lim

2cos2 x -1

.

lnsin x

x → π

2

ln(x - 3

)

13.3

lim

2x - 3

.

- sin é(x -1)π ù

x → 2 sin(π x 2)

ë

û

13.5.

lim

etg x - e−sin 2x

.

sin x -

1

x → π

2

sin(

-

)

2x2 - 3x - 5

13.7. lim

1+ x

.

ln(x -1)

- ln(x +1) + ln 2

x → 3

13.2.	lim				(2x -1)2				.
	x → 1 2 esinπ x - e−sin3π x
13.4. lim					tg x − tg 2		.
	x → 2 sin ln(x -1)
13.6.	lim				lnsin3x	.
	x → π 6				(6x -π )2
13.8.	lim				(x - 2π )2			.
	x → 2π tg(cos x -1)

17

13.9.

lim

ln(4x −1)

.

x → 1 2

1− cosπ x −

1

13.11

lim

2sinπ x −1

.

6x − 8)

x → 3 ln(x3 −

13.13

lim tgln(3x − 5) .

x → 2 ex+3 − ex2 +1

−1

13.15

lim

1+ ln2 x

.

1+ cosπ x

x → 1

13.17

lim

ln(2x − 5)

.

x → 3

esinπ x −1

13.19

lim

esin 2x − etg 2x

.

ln(2x π )

x →π

2

−

13.21

lim

2x + 7

2x+1 + 5

.

x3 −1

x → 1

13.23

lim

(x3 −π

3 )sin5x

.

sin2 x

−1

x → π

e

13.25lim lncos2x .

x→ π lncos4x

13.27lim ax2 −a2 −1 .

x→ a tg ln(xa)

13.29	lim			ln(cos(x 2) + 2)				.
	x → aπ aa2π 2 x2 −aπ x − aaπ x−1
13.31	lim		sin(x2 π )				.
	x → 1 2 2				sin x+1 − 2

13.10

lim

arcsin(x

+ 2) 2

.

x → -2

3 2+x+x2 − 9

13.12

lim

lncos2x .

x → π

(1−π x)2

13.14

lim

ln cos x

.

x → 2π 3sin 2x −1

13.16

lim

cos(x 2)

.

x → π esin x − esin 4x

13.18

lim

esin2 6 x − esin2 3x

.

3 log3 cos6x

x → π

13.20

lim

tg(ex+2 − ex2−4 )

.

tgx + tg2

x → -2

13.22

lim

ln(2 + cos x).

x → π

(3sin x −1)2

13.24

lim

tg(x +

1)

.

x → -1 e3 x3−4x2 +6 − e

13.26

lim

lnsin x

.

x → π 2 (2x −π )2

sin(e3

− e3

)

1−x2

13.28

lim

x+2

.

arctg(x +

3)

x → -3

13.30lim tg(3πx − 3) .

x→ π 3cos(3x2) −1

Задача 14. Вычислить пределы функций.

	14.1. lim	72x − 53x	.	14.2. lim	e3x − e−2x	.
		2x − arctg3x			2arcsin x − sin x
	x → 0			x → 0

18

14.3. lim

62x

− 7−2x

.

x → 0 sin3x − 2x

14.5. lim

32x − 53x

.

x → 0 arctg x + x3

14.7. lim

35x

− 2x

.

x − sin9x

x → 0

14.9. lim

12x − 5−3x

.

2arcsin x − x

x → 0

14.11. lim

35x − 27 x

.

x →

0 arcsin 2x − x

14.13. lim

4x

− 27x

.

x →

0 tg3x − x

14.15. lim

102x − 7− x

.

2tgx − arctg x

x →

0

14.17.lim 73x − 32x .

x→ 0 tgx + x3

17.19. lim	32x − 7x						.
				5x
x → 0 arcsin3x −
14.21. lim	45x − 9−2x			.
		− tgx3
x → 0 sin x
14.23. lim	52x	− 23x				.
		+ sin x2
x → 0 sin x
14.25. lim	9x	− 23x				.
x → 0 arctg2x − 7x
14.27. lim	35x − 2−7 x		.
x → 0	2x − tgx

14.29.lim e2x − ex .

x→ 0 x + tgx2

	14.4. lim	e5x − e3x		.
	x → 0 sin 2x − sin x
	14.6. lim	e2x − e3x	.
	x → 0 arctg x − x2
	14.8. lim	e4x − e−2x			.
		2arctg x − sin x
	x → 0

14.10.lim e7x − e−2x .

x→ 0 sin x − 2x

14.12. lim	e5x − ex							.
x → 0 arcsin x + x3
14.14. lim	ex	− e−x				.
		− sin x
x → 0 tg2x
14.16. lim	e2x − ex									.
x → 0 sin3x − sin5x
14.18. lim	e4x	− e2x				.
	2tgx	− sin x
x → 0
14.20. lim	e2x	− e−5x				.
	2sin x − tgx
x → 0
14.22. lim	e3x − e2x								.
x → 0 sin3x − tg2x
14.24. lim	ex	− e3x							.
x → 0 sin3x − tg2x
14.26. lim	ex − e−2x			.
	x + sin x2
x → 0
14.28. lim	e2x − ex								.
x → 0 sin 2x − sin x
14.30. lim	23x − 32x							.
	x + arcsin x3
x → 0

19

14.31. lim

23x

− 35x

.

x →

0 sin7x − 2x

Задача 15. Вычислить пределы функций.

15.1. lim

ex + e−x − 2

.

15.2. lim

1+ xsin x

− cos2x

.

sin2

x

sin2

x

x → 0

x → 0

15.3. lim

x3 +1

.

15.4. lim

tgx − tga

.

ln x − ln a

x → -1 sin(x +1)

x → a

−

.

eα x − eβ x

15.5. lim

1+ tgx

1+ sin x

15.6. lim

.

x3

x → 0

x → 0 sinα x − sin β x

−1

.

15.8. lim

x2 (ex

+ e− x )

.

15.7. lim

1+ xsin x

x2

x → 0

e

−1

x → 0

e

x3

− e

15.9. lim

1− 2cos x

.

15.10. lim

1− x2

.

x → π

3 sin(π − 3x)

x →

1 sinπ x

15.11. lim

sin x − cos x

.

15.12. lim

ax − ab

.

ln tgx

x − b

x → π

4

x → b

15.13. lim

1− cos2x + tg2 x

.

15.14. lim

sin 2x − 2sin x

.

xsin3x

xln cos5x

x →

0

x →

0

15.15. lim

ln(x + h) + ln(x − h) − 2ln x

,

x > 0.

15.16. lim

1− x

.

h →

0

h2

x → 1 log2 x

15.17. lim

esin 2x

− esin x

.

15.18. lim

2x − 2

.

tgx

ln x

x →

0

x →

1

sin(x + h) − sin (x − h)

−

.

15.19. lim

.

15.20. lim

x + 2

2

sin3x

h →

0

h

x →

0

ax+h + ax−h − 2ax

1−

15.21. lim

.

15.22. lim

cos x

.

h2

h →

0

x →

0

1− cos x

3

− 2

2sin2 x + sin x −1

15.23. lim

5 + x

.

15.24.

lim

.

sinπ x

2sin2 x − 3sin x +1

x →

3

x → π

6

20

15.25. lim

lg x −1

.

15.26. lim

3x+1 - 3

.

x → 10

x - 9 -1

x →

0 ln (1+ x 1+ xex )

-1

.

sinbx − sin ax

15.27. lim

cos x

15.28. lim

.

x →

0

sin2 2x

x →

0 ln(tg(π 4 + ax))

15.29. lim

1- sin3

x

.

15.30. lim

log3 x −1

.

cos2 x

tgπ x

x → π

2

x →

3

15.31. lim

ex

- e

.

1)

x →

1 sin (x2 -

Задача 16. Вычислить пределы функций.

16.1. xlim→ 0 (1− ln(1+ x3 ))3 (x2 arcsin x) .

16.2. xlim→ 0 (cos

)1 x .

x

æ

1+ x × 2x

ö1 x2

(

arctg2

)

2 sin x

2 -

x

16.3. lim

ç

÷ .

16.4. lim

3

.

1+ x ×3

x

x → 0 è

ø

x → 0

æ

1+ sin xcosα x

öctg3x

æ

5 -

4

ö1 sin2 3x

16.5. lim

ç

÷ .

16.6. lim

ç

÷

.

1+ sin xcos β x

cos x

x → 0

è

ø

x → 0

è

ø

16.7. xlim→ 0 (1- ln(1+ 3

))x sin4 3

16.8. xlim→ 0 (2 - earcsin2

)3 x .

x

.

x

x

16.9. lim (cosπ x)1 (xsinπ x) .

16.10. lim

(1+ sin2 3x)1 ln cos x .

x → 0

x →

0

16.11. lim

æ

æ

π

- x

ö

öctgx

16.12. lim

(1- xsin

2

1 ln(1+π x3 )

.

ç tgç

4

÷

÷ .

x)

x →

0

è

è

ø

ø

x → 0

16.13. lim

(2 - 5arcsin x3 )(cosec2x) x .

16.14. lim

(2 - cos3x)1 ln(1+x2 ) .

x →

0

x →

0

16.15. lim

(2 - esin x )ctgπ x .

16.16. lim

(cos x)1 ln(1+sin2 x).

x →

0

x →

0

16.17. lim

(2 - ex2 )1 ln(1+tg2(π x3)) .

16.18. lim

(3 - 2cos x)−cosec2x .

x →

0

x →

0

21

16.19. xlim→ 0 (2 - 3sin2 x )1ln cos x .

	æ		-	5 öctg2x
16.21. lim	ç	6			÷ .
x → 0	è			cos x ø

æ1+ sin xcos2x ö1sin x3

16.23. lim ç ÷ .

x → 0 è1+ sin xcos3x ø

			1					1 x3
	æ					6		ö
16.25. lim	ç1	+ ln			arctg		x ÷ .
			3
x → 0	è						ø

æ1+ x ×3x ö1tg2x

16.27. lim ç ÷ .

x → 0 è1+ x ×7x ø

2

16.29. lim (1- lncos x)1 tg x .

x → 0

æ1+ x2 × 2x ö1sin3 x

16.31. lim ç ÷ .

x → 0 è1+ x2 ×5x ø

16.20.lim x2 2 - cos x.

x→ 0

16.22. lim	æ	3	-	2 öcosec2x		.
	ç				÷
x → 0	è			cos x ø

16.24. xlim→ 0 (2 − ex2 )1(1−cosπ x) .

	æ	1+ tgxcos2x						ö1 x3
16.26. lim	ç							÷ .
		1+ tgxcos5x
x → 0	è							ø
16.28. lim	(1+ tg2 x)1 ln(1+3x2 ) .
x → 0
				æ	- sin	2		x ö1 ln(1+tg2 3x)
16.30. lim				ç1					÷	.
			x → 0	è				2 ø

Задача 17. Вычислить пределы функций.

17.1. lim	æ sin 2x ö1+x
	ç	x	÷ .
x → 0	è		ø
17.3. lim	æ sin 4x ö2 (x+2)			.
	ç	x	÷
x → 0	è		ø

17.5.lim (cos x)x+3 .

x→ 0

	17.7. lim	æ ln (1+ x) öx (x+2)			.
		ç		÷
			6x
	x → 0	è		ø

	æ ex3 -1		ö	(8x+3) (1+x)
				.
17.9. lim ç		x2	÷
x → 0	ç		÷
	è		ø

17.2. lim

æ

2 + x öx

ç

÷ .

x → 0

è

3 - x ø

æ

e

3x

-1

ö

cos2(π

4

+x)

17.4. lim

.

ç

÷

x

x → 0

è

ø

æ

x

2

+ 4

ö

x2 +3

17.6. lim

ç

÷ .

x + 2

x → 0

è

ø

17.8. lim

æ tg4x ö2+x

ç

x

÷ .

x → 0

è

ø

æ x + 2

öcos x

17.10. lim

ç

÷ .

+ 4

x →

0

è x

ø

22

17.11. lim	æ sin 6x ö2+x
	ç		2x			÷ .
x → 0	è					ø
	æ sin 2x öx2
17.13. lim	ç					÷ .
x → 0	è sin 3x ø
	æ	x		3	+ 8			öx+2
17.15. lim	ç							÷ .
x → 0	è	3x +10 ø
	æ	2	2x		-1		öx+1
17.17. lim	ç						÷ .
				x
x → 0	è						ø

æ11x + 8 öcos2 x

17.19. lim ç ÷ .

x → 0 è12x +1ø

	æ ln(1+ x2 )			ö3 (x+8)
17.21. lim	ç			÷	.
		x2
x → 0	ç			÷
	è			ø
17.23. lim	æ arcsin x ö2 (x+5)
	ç	x	÷	.
x → 0	è		ø

17.25.lim (ex + x)cos x4 .

x→ 0

17.27. lim	æ		æ	π	- x				öö(ex −1) x
	ç tgç			4					÷÷	.
x → 0	è		è						øø
	æ 1+ 8x							ö1 (x2 +1)
17.29. lim	ç							÷		.
			+11x
x → 0	è 2							ø
	æ		3			ö1 (x+2)
17.31. lim	ç	x + 4				÷				.
		3
x → 0	è x		+ 9			ø

	æ ex2 -1		ö6 (1+x)	.
17.12. lim ç		x2	÷
x → 0	ç		÷
	è		ø
17.14. lim	(tg(x + 3))x+2 .
x → 0

17.16.lim (sin(x + 2))3(3+x) .

x→ 0

æ x4 + 5 ö4(x+2)

17.18. lim ç ÷ .

x → 0 è x +10 ø

æ x3 +1 ö2(x+1)

17.20. lim ç ÷ .

x → 0 è x3 + 8 ø

	æ	x ö1+x
17.22. lim	çcos		÷ .
x → 0	è	π ø
17.24. lim	æ arctg3x öx+2
	ç	x	÷ .
x → 0	è		ø

æ sin5x2 ö1(x+6)

17.26. lim ç ÷ .

x → 0 è sin x ø

	æ	6 -		5			ötg2x
17.28. lim	ç						÷ .
				cos x
x → 0	è						ø
17.30. lim	æ		arcsin2 x ö2x+1						.
	ç							÷
					2
x → 0	è arcsin					4x ø

23

Задача 18. Вычислить пределы функций.

æ 3x -1ö1 (3x-1)

18.1. lim ç ÷ .

x ® 1è x +1 ø

			2x -1ö1 (3					-1)
	18.3. lim	æ				x				.
		ç		÷
			x
	x ® 1	è		ø
			2x - 7 ö1 (3						-2)
		æ					x
	18.5. lim	ç			÷					.
			x +1
	x ® 8	è		ø
			2x -1ö1 (5					-1)
	18.7. lim	æ				x				.
		ç		÷
			x
	x ® 1	è		ø

18.9. lim	(cos x)ctg2 x sin 3x .
x ® 2π
	æ		π x
18.11. lim		6 - x ötg 6		.
	ç	3	÷
x ® 3	è		ø
			π x
18.13. lim (3 - 2x)tg 2 .
x ® 1
	æ		π x
18.15. lim		9 - 2x ötg		6	.
	ç	3	÷
x ® 3	è		ø

18.17.lim (2ex-1 -1)x(x-1) .

x® 1

18.19.lim (2ex-1 -1)(3x-1)(x-1) .

x® 1

18.21.lim (2ex-2 -1)(3x+2)(x-2) .

x® 2

18.23.lim æ 2 - x ö1ln(2-x) .

ç÷

x® 1è x ø

sin(π x 2)

18.25.lim (2 − x) ln(2-x) .

x® 1

æ sin x ö1(x-a)

18.2. lim ç ÷ .

x ® a è sin a ø

æ cos x ö1(x-2)

18.4. lim ç ÷ .

x ® 2 è cos2 ø

18.6. lim (tgx)1cos(3π4-x) .

x ® π4

æ			x ötg		π x
		-			2a
18.8. lim ç	2			÷		.
x ® a è			a ø

2

18.10. lim (cos x)1 sin 2x .

x ® 2π

18.12.

lim

(cos x)ctgx sin 4 x .

x ® 4π

18.14.

lim

(cos x)

5

.

tg5xsin 2 x

x ® 4π

18.16.

lim

(sin x)6tgx×tg3x .

x ® π

2

æ

x ö1 (x-π 2)

18.18.

lim

ç tg

÷

.

x ® π

2 è

2 ø

18.20.

lim

(1+ cos3x)sec x .

x ® π

2

sin

x-1

(

)

æ sin (x -1) ö

x-1-sin(x-1)

18.22. lim

ç

÷

.

x -1

x ® 1è

ø

æ

x ö1 cos x

18.24.

lim

çctg

÷

.

x ® π

2 è

2 ø

18.26. lim

æ sin x

ö1 (x-3)

ç

÷

.

x ® 3

è sin3

ø

24

18.27.lim æç

x→ 1è

18.29.lim æç

x→ 1è

18.31.lim æç

x→ 1è

	x +1		ö	ln(x+2)
				ln(2−x)	.
			÷
	2x
			ø

ln(x+1)

1öln(2−x)

÷ .

xø

2x -1ö		ln(3+2x)
		ln(2−x)	.
x	÷
	ø

18.28.lim (sin x) ctgx .

x→ π2 18sin

	æ		1 cos(x 2)
		x ö
	18.30. lim çctg		÷	.
		4
	x → π è		ø

Задача 19. Вычислить пределы функций.

			π
æ ln x -1		ösin		x
			2e
19.1. lim ç	x - e	÷	.
x → e è		ø

æ ln tgx ö1(x+π4)

19.3. lim ç ÷ .

x → π4 è1- ctgx ø

	æ sin3π x ösin2(x−2)
19.5. lim	ç					÷	.
			sinπ x
x → 2	è					ø
19.7. lim	æ	2 -		x	ösinπ x		.
	ç				÷
				3
x → 3	è				ø

sinπ x

19.9. lim (1+ ex ) 1−x .

x → 1

		æ arcsin(x - 3)					öx2 −8
	19.11. lim	ç					÷ .
			sin 3π x
	x → 3 è						ø
		æ		x - 3 4			öx+1
	19.13. lim çarctg						÷ .
				(x -1)
	x → 1	ç			2		÷
		è					ø
		æ sin x - sin a öx2 a2
	19.15. lim	ç			÷		.
			x - a
	x → a	è			ø
	19.17. lim		(sin x + cos x)1 tgx .
	x → π 4

19.2. lim	(tgx)ctg x .
x → π	4

19.4. lim (sin x)3(1+x) .

x → 2

19.6. lim

(sin x)6x π .

x → π 6

æ

1+ x ö(1−x2 ) (1−x)

19.8. lim

ç

÷

.

2 + x

x → 1

è

ø

æ

tg9π x öx (x+1)

19.10. lim

ç

÷

.

x →

1

è sin 4π x ø

(sin 2x)

x2 −π 2 16

19.12. lim

.

x−π 4

x → π 4

æ

x

ösin(x−π )

19.14. lim

çctg

÷

.

4

x → π è

ø

æ

- 2

ö1 x

x + 2

19.16. lim

ç

÷ .

x2 - 4

x → 2

è

ø

19.18.lim (tg2x)sin(π8+x) .

x→ π8

25

19.19.lim (arcsin x)tgx .

x→ 1

19.21.lim (ln2 ex)1 (x2 +1) .

x→ 1

æ x3 -1ö1x2

19.23. lim ç ÷ .

x → 1è x -1 ø

19.25.lim (cosπ x)tg(x−2) .

x→ 2

19.27. lim		(cos x +1)sin x .
x → π 2
æ		2	+ 2x - 3	ö1 (2−x)
19.29. lim ç	x			÷	.
	2		+ 4x - 5
x → 1è x				ø

	æ	e	2x	- e	2 öx+1
19.31. lim	ç					÷ .
			x -1
x → 1	è				ø

19.20.lim (x + sin x)sin x+x .

x→ π

19.22. xlim→ 1(x +1)πarctgx .

	æ	e	sinπ x	-1	öx2 +1
19.24. lim	ç				÷ .
			x -1
x → 1	è				ø

19.26.lim (arcsin x + arccos x)1x .

x→ 12

19.28. xlim→ 1(3x + x -1)sin(π x4) .

	æ	1+ cosπ x öx2
19.30. lim	ç			÷ .
			2
x → 1	è		tg π x	ø

Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.

20.1. lim

.

4cos3x + xarctg(1 x)

x → 0

20.3. lim

2n −

sin n

.

n → ∞

n

- 3 n3 - 7

1 n

n

e

+ sin

×cosn

.

20.5. lim

n2 +1

n → ∞

1+ cos(1 n)

+ (4x -π )cos

x

3

tgx

20.7. lim

4x

-π

.

lg(2 + tgx)

x → π

4

20.9. lim

n2 - 3n5 - 7

.

(n2 - ncosn +1)

n → ∞

n

20.2. lim

3sin x + (2x -π )sin

x

.

2x -π

x → π

2

20.4. lim

tgxcos(1 x) + lg(2 + x)

.

x → 0

lg(4 + x)

20.6. lim

4

2 + n5 - 2n3 + 3

.

n → ∞

(n + sin n) 7n

æ

n

ö

2

20.8. lim

çsin n

+1 ×arctg

÷.

n

2

+1

n → ∞

è

ø

3sin n +

.

20.10. lim

n -1

n → ∞

n +

n +1

26

(1- cosn) 3

20.11. lim

n

.

n → ∞

2n +1 -1

20.13. lim

1+ cosπ x

.

x

x → -2

4 + (x + 2)sin

x + 2

3

20.15. lim

n2 + cosn +

3n2 + 2

.

n → ∞

5

n

6

+1

20.17. lim

arctg x ×sin2 1

+ 5cos x.

x → 0

x

.

20.19. lim

2cos2 x + (ex -1)sin

1

x → 0

x

æ

ö

arctg x ×sin

1

20.12. lim lnç 2 +

÷.

x

x → 0

è

ø

20.14. lim

n

.

n → ∞ 3 n4 - 3

+ sin n

3

arctg

1

+ 3

tgx

20.16. lim

x

.

2 - lg(1+ sin x)

x → 0

20.18. lim

4cos x + sin 1

×ln(1+ x).

x → 0

x

æ

+ xsin

1

ö

2 + lnçe

x

÷

20.20. lim

è

ø

.

cos x + sin x

x → 0

é

x2

1

æ

π öù

20.21. lim ln ê(e

- cos x)cos

+ tgç x +

÷ú.

x

3

x → 0

ë

è

øû

cos x + ln(1+ x)

2 + cos

1

cos2π x

20.22. lim

x

.

20.23. lim

.

x → 0

2 + ex

x → 1 2 + (e

-1)arctg

x +

2

x−1

x -1

cos(1+ x)

20.24. lim

(esin x

-1)cos 1

+ 4cos x.

20.25. lim

.

æ

1

ö

x → 0

x

x → 0

(1

+ x) + 2

ç 2 + sin

x

÷ln

è

ø

20.26. lim 3 lg(x + 2) + sin

cos

x + 2

.

4 - x2

x → 2

x - 2

2 + cos xsin

2

æ

x -1

x +1

ö

2x -π

20.27. lim

.

20.28. lim tgçcos x + sin

cos

÷.

3

x

+1

x -1

x → π 2

+ 2xsin x

x → 1

è

ø

sin x + sinπ x ×arctg

1+ x

æ

1

ö

1- x

20.29. lim

xç

2 + sin

x

÷ + 4cos x.

20.30. lim

.

1+ cos x

x → 0

è

ø

x → 1

27

20.31. lim	n2	+ 3n −1 + 3 2n2 +1	.
		n + 2sin n
n → ∞

28