Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

x3 + 4x2 + 4x + 2 7.1. ò(x +1)2 (x2 + x +1)dx.

2x3 + 7x2 + 7x −1

7.3. ò(x + 2)2 (x2 + x +1)dx.

x3 + 6x2 + 9x + 6

7.5. ò(x +1)2 (x2 + 2x + 2)dx.

3x3 + 6x2 + 5x −1

7.7. ò (x +1)2 (x2 + 2) dx.

x3 + 6x2 + 8x + 8

7.9. ò (x + 2)2 (x2 + 4)dx.

2x3 − 4x2 −16x −12

7.11. ò(x −1)2 (x2 + 4x + 5)dx.

x3 + 2x2 +10x

7.13. ò(x +1)2 (x2 − x +1)dx.

4x3 + 24x2 + 20x − 28

7.15. ò (x + 3)2 (x2 + 2x + 2) dx.

x3 + x +1

7.17. ò(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 + 4x2 + 2x + 2

7.19. ò(x2 + x +1)(x2 + x + 2)dx.

4x2 + 3x + 4

7.21. ò(x2 +1)(x2 + x +1)dx.

7.2. ò

x3 + 4x2 + 3x + 2

dx.

(x +1)2 (x2 +1)

7.4. ò

2x3 + 4x2 + 2x −1

dx.

(x +1)2 (x2 + 2x + 2)

7.6. ò

2x3 +11x2 +16x +10

dx.

(x + 2)2 (x2 + 2x + 3)

7.8. ò

x3 + 9x2 + 21x + 21

dx.

(x + 3)2 (x2 + 3)

7.10. ò

x3 + 5x2 +12x + 4

dx.

(x + 2)2 (x2 + 4)

7.12. ò

−3x3 +13x2 −13x +1

(x − 2)2 (x2 − x +1) dx.

7.14. ò

3x3 + x + 46

dx.

(x −1)2 (x2 + 9)

7.16. ò

2x3 + 3x2 + 3x + 2

dx.

(x2 + x +1)(x2 +1)

7.18. ò

x2 + x + 3

dx.

(x2 + x +1)(x2 +1)

7.20. ò

2x3 + 7x2 + 7x + 9

dx.

(x2 + x +1)(x2 + x + 2)

7.22. ò

3x3 + 4x2 + 6x

dx.

(x2 + 2)(x2 + 2x + 2)

83

2x2 − x +1

7.23. ò(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

x3 + x +1

7.25. ò(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

x3 + 2x2 + x +1

7.28. ò(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 + 2x2 + 2x +1

7.30. ò(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 + 3x2 + 3x + 2

7.31. ò(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

x3 + x2 +1

7.24. ò(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

2x3 + 2x +1

7.26. ò(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

x + 4

7.29. ò(x2 + x + 2)(x2 + 2)dx.

3x3 + 7x2 +12x + 6

7.30. ò(x2 + x + 3)(x2 + 2x + 3)dx.

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

	2arctg 2			dx
8.1.	ò				.
		sin	2	x(1− cos x)
	π 2
	2arctg 2			dx
8.3.	ò					.
		sin	2	x(1+ cos x)
	π 2

π2 cos x − sin x

8.5.ò0 (1+ sin x)2 dx.

		2arctg(1 2)	dx
	8.7.	ò		.
			sin x(1− sin x)
		2arctg(1 3)

π2 cos xdx

8.9.ò0 5 + 4cos x.

		π 2	cos xdx
	8.11.	ò		.
			1+ sin x − cos x
		π 3
		π 2	sin dx
	8.13.	ò			.
			1+ sin x + cos x
		0

π2 cos xdx

8.2.ò0 2 + cos x.

	π 2			cos xdx
8.4. 2arctg(1ò
			2)			.
				(1	− cos x)3
2arctg3					dx
8.6.	ò							.
2arctg 2 cos x(1− cos x)
	π 2				dx
8.8. 2arctg(1ò									.
			2)	(1	+ sin x − cos x)2
	2π 3		1		+ sin x
8.10.	ò						dx.
	0 1+ cos x + sin x

π2 (1+ cos x)dx

8.12.ò0 1+ sin x + cos x.

2arctg(1 2)	1+ sin x
8.14. ò0		dx.
	(1− sin x)2

84

	π 2		cos xdx
8.15.	ò				.
		1+ sin x + cos x
	0
	0		cos xdx
8.17.	ò					.
	−2π 3 1+ cos x − sin x
	π 2		cos xdx
8.19.	ò0						.
		(1+ cos x + sin x)2
	π 2		sin xdx
8.21.	ò0			.
		(1+ sin x)2

0sin xdx

8.23.−πò2 (1+ cos x − sin x)2 .

	π 2			sin2 xdx
8.25.	ò0							.
		(1+ cos x + sin x)2
	2arctg 2				dx
8.27.	ò						.
				sin x(1		+ sin x)
	π 2
	π 2	sin xdx
8.29.	ò				.
	0	2 + sin x
	π 2		sin xdx
8.31.	ò					.
		5 + 3sin x
	0

		2arctg(1 3)	cos xdx
	8.16.	ò		.
			(1− sin x)(1+ cos x)
		0

0cos xdx

8.18.−πò2 (1+ cos x − sin x)2 .

		2arctg(1 2)		(1− sin x)dx
	8.20.	ò				.
				cos x(1+ cos x)
		0
		π 2		sin xdx
		ò0
	8.22.				.
			(1+ cos x + sin x)2

0cos2 xdx

8.24.−2òπ3 (1+ cos x − sin x)2 .

	2π 3			cos2 xdx
8.26.	ò0					.
			(1+ cos x − sin x)2
	π 2			dx
	ò0
8.28.					.
		(1+ cos x + sin x)2
			π 4	dx
	8.30. ò						.
				cos x(1+ cos x)
	0

Задача 9. Вычислить определенные интегралы.

arctg3

dx

9.1.

ò

.

(3tg x + 5)sin 2x

π 4

arccos(4

)

17

3 + 2tg x

9.3.

ò

dx.

2sin

2

x + 3cos

2

x −1

0

(

)

arctg 1 3

(8 + tg x)

9.5.

ò0

dx.

18sin2 x + 2cos2 x

π 4

2ctg x +1

9.2.

ò

dx.

(2sin x + cos x)2

arccos(4 17 )

arctg3

4tg x − 5

9.4.

ò

dx.

1

− sin 2x + 4cos

2

x

π 4

arccos

2 3

tg x + 2

9.6.

ò

dx.

sin

2

x + 2cos

2

x −

3

0

85

tg2 x

π 4

6tg xdx

9.7.

ò

.

3sin 2x + 5cos2 x

37 )

arcsin(1

0

3tg x +1

9.9.

ò

dx.

2sin 2x − 5cos2x +

−arctg(1 3)

1

arccos(1

)

3

tg x

9.11.

ò

dx.

sin

2

x

− 5cos

2

x +

4

π 4

arctg3

4 + tg x

9.13.

ò0

dx.

2sin2 x +18cos2 x

arctg(2 3)

6 + tg x

9.15.

ò

dx.

9sin

2

x

+ 4cos

2

x

0

π 4

7 + 3tg x

ò0

9.17.

dx.

(sin x + 2cos x)2

0

3tg2 x − 50

9.19.

ò

dx.

2tg x + 7

−arccos(1

)

10

arcsin(2

)

5

4tg x − 5

9.21.

ò

dx.

2

π 4

4cos

x − sin 2x +1

0

11− 3tg x

9.23.

ò

dx.

−arccos(1

)

tg x + 3

5

arccos(1

)

26

dx

9.25.

ò

.

(6 − tg x)sin 2x

π 4

π 4

2 − tg x

9.27.

ò

dx.

) (sin x + 3cos x)

2

−arcsin(2

5

arccos(1

)

26

12dx

9.29.

ò

.

(6 + 5tg x)sin 2x

10)

arccos(1

π 4 2tg				2 x −11tg x − 22
9.8.	ò					dx.
				4 − tg x
	0
	arctg3			1+ ctg x
	πò4
9.10.					dx.
			(sin x + 2cos x)2

π4 6sin2 x

9.12.ò0 3cos2x − 4dx.

arctg 2

12 + tg x

9.14.

ò0

dx.

3sin2 x +12cos2 x

arcsin

3 7

tg2 xdx

9.16.

ò

.

3sin

2

x + 4cos

2

x − 7

0

arcsin(3

)

10

2tg x + 5

9.18.

ò

dx.

(5 − tg x)sin 2x

5)

arcsin(2

π4 5tg x + 2

9.20.ò0 2sin 2x + 5dx.

	arcsin	7 8			6sin2 x
9.22.	ò						dx.
					4 + 3cos2x
	0
	arcsin3					− 5
			10		2tg x
9.24.	ò								dx.
					(4cos x − sin x)			2
	0

π4 4 − 7tg x

9.26. ò0 2 + 3tg xdx.

arcsin	2 3				8tg xdx
9.28. ò						.
			3cos	2	x + 8sin 2x − 7
π 4

π3

9.30. ò0 4 + 3cos2xdx.

86