VI. РЯДЫ

Теоретические вопросы

1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютн сходящегося ряда.

7.Понятие равномерной сходимости.

8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14.Разложение по степеням x бинома (1+ x)m . 15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням x функций ex , cos x , sin x, ln(1+ x).

Теоретические упражнения.

	∞	∞	∞
1.	Ряды åan	и åbn	сходятся. Доказать, что ряд åcn сходится, если
	n=1	n=1	n=1
an ≤ cn	≤ bn .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 ≤ cn − an ≤ bn − an .

∞	∞
2. Ряд åan	(an ³ 0) сходится. Доказать, что ряд åan2 тоже сходится. Показать
n=1	n=1

что обратное утверждение неверно.

∞	∞	∞
3. Ряды åan2 и åbn2		сходятся. Доказать, что ряд å		an				bn		тоже сходится.
n=1	n=1	n=1

128

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство ab ≤ a2 + b2 .

∞

∞

∞

+ bn )2 тоже сходится.

4. Ряды åan2 и åbn2

сходятся. Доказать, что ряд å(an

n=1

n=1

n=1

∞

a

сходиться и lim an

=1. Можно ли утверждать, что сходиться ряд

5. Пусть ряд

å

n

n→∞ b

n=1

n

∞

åbn ?

n=1

∞

(-1)n

∞

é

(-1)n

1

ù

Рассмотреть пример å

и åê

+

ú.

n

n=1

n

n=1

ê

n

ú

ë

û

∞

6. Пусть ряд å fn (x) сходиться равномерно на отрезке [a, b]. Доказать, что ряд

n=1

∞

å fn (x) так же сходиться равномерно на этом отрезке.

n=1

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно? Рассмотреть примеры:

∞

(-1)n

a) å

, отрезок

[a,

b] произвольный;

n + x

2

n=1

∞

б) åx(1- x2 ), отрезок [0, 1].

n=1

∞

8.

Показать, что функция

f (x)

= å

sin nx

всюду непрерывна.

n

n=1 10

∞

2

x

9.

Доказать, что ряд

å

sin n

сходится

равномерно в интервале (-¥, + ¥)

2

n=1

n

Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

∞

10. Доказать, что если ряд åcn e−nx сходиться в точке x0 , то он сходиться

n=1

абсолютно x > x0 .

129

Расчетные задания.

Задача 1. Найти сумму ряда.

	∞											6
1.1.	å																	.
			9n				2		+12n − 5
	n=1
	∞											6
1.3.	å															.
			9n				2		+ 6n −						8
	n=1
	∞											2
1.5.	å															.
			4n				2			+ 8n +					3
	n=0
	∞											3
1.7.	å															.
			9n				2		+ 3n −						2
	n=1
	∞									1
1.9.	å													.
			n			2	+ n −						2
	n=2
	∞											6
1.11. å																							.
					36n						2	− 24n −							5
	n=1
	∞											4
1.13 å																.
			4n				2			+ 4n −					3
	n=1
	∞											9
1.15. å																			.
					9n			2			+ 3n − 20
	n=1
	∞											8
1.17. å																						.
				16n						2		− 8n −15
	n=1
	∞											5
1.19. å																				.
					25n						2	+ 5n			− 6
	n=1
	∞											7
1.21. å																								.
					49n						2	− 35n −							6
	n=1
	∞											12
1.23. å																										.
					36n						2	+12n − 35
	n=2
	∞											3
1.25 å																.
			9n				2		− 3n −						2
	n=1

	∞										24
1.2.	å														.
			9n				2		−12n − 5
	n=2
	∞										9
1.4.	å														.
			9n				2		+ 21n −8
	n=1
	∞										14
1.6.	å																					.
			49n						2		−	28n −			45
	n=1
	∞										7
1.8.	å																		.
			49n						2		−	7n −12
	n=1
	∞										14
1.10. å																						.
					49n					2	−14n − 48
	n=1
	∞										14
1.12 å																					.
			49n						2		−	84n −			13
	n=1
	∞										7
1.14 å																			.
			49n						2		+	35n −			6
	n=1
	∞										14
1.16 å																						.
			49n						2		−	42n −			40
	n=1
	∞											7
1.18. å																						.
					49n					2	− 21n −10
	n=1
	∞							6
1.20. å													.
					4n			2
	n=1									− 9
	∞									1
1.22. å														.
					n	2		+ n − 2
	n=2
	∞											7
1.24. å																						.
					49n					2	+ 21n −10
	n=1
	∞										5
1.26. å																	.
					25n					2	− 5n − 6
	n=1

130

∞				8
1.27. å					.
	16n	2		+ 8n −15
n=1
∞				12
1.29. å							.
	36n		2	−12n − 35
n=1
∞				14
1.31. å							.
	49n		2	− 70n − 24
n=1

Задача 2. Найти сумму ряда.

∞

4 − 5n

2.1.

å

.

n(n −1)(n − 2)

n=3

∞

5n + 3

2.3.

å

.

n(n +1)(n + 3)

n=1

∞

1

2.5.

å

.

n(n +1)(n + 3)

n=1

∞

1

2.7. å

.

n(n + 2)(n + 3)

n=1

∞

3n − 2

2.9.

å

.

n(n +1)(n + 2)

n=1

∞

5n − 2

2.11. å

.

(n −1)n(n +

2)

n=3

∞

3n + 2

2.13. å

.

n(n +1)(n +

2)

n=1

∞

8n −10

2.15. å

.

(n −1)(n − 2)(n +1)

n=3

∞

n − 4

2.17. å

.

n(n −1)(n −

2)

n=3

∞

5n − 2

2.19. å

.

(n −1)n(n +

2)

n=2

∞				14
1.28. å							.
		49n	2	− 56n − 33
n=1
∞				7
1.30. å					.
		49n	2	+ 7n −12
n=1

∞

n + 6

2.2

å

.

n=1 n(n + 3)(n + 2)

∞

4n − 2

2.4.

å

.

(n

2

−1)(n − 2)

n=3

∞

3n − 5

2.6.

å

.

n(n

2

−1)

n=3

∞

1

2.8. å

.

2

−

4)

n=3 n(n

∞

n + 2

2.10. å

.

n(n

−1)(n −

2)

n=3

∞

2

2.12. å

.

(n

+

2)(n +1)n

n=1

∞

n + 5

2.14. å

.

(n

2

−1)(n + 2)

n=3

∞

3n −1

2.16. å

.

2

n=3

n(n

−1)

∞

5n + 9

2.18. å

.

n(n

+1)(n +

3)

n=1

∞

n −1

2.20. å

.

n(n

+1)(n +

2)

n=1

131

∞		3n + 4
2.21. å							.
		n(n +		1)(n + 2)
n=1
∞			n + 6
2.23. å							.
		n(n +		1)(n + 2)
n=1
∞		1
2.25. å					.
		2	−1)
n=2		n(n
∞		3n +1
2.27. å						.
		(n −1)n(n +1)
n=3
∞				4
2.29. å							.
		n(n −		1)(n − 2)
n=3
∞		3n + 8
2.31. å							.
		n(n +		1)(n + 2)
n=1

	∞	2 − n
	2.22. å				.
		n(n +1)(n +	2)
	n=3
	∞	n − 2
	2.24. å				.
		(n −1)n(n +1)
	n=3
	∞	1− n
	2.26. å				.
		n(n +1)(n +	3)
	n=1
	∞	4 − n
	2.28. å				.
		n(n +1)(n +	2)
	n=1
	∞	3 − n
	2.30. å				.
		(n + 3)(n +1)n
	n=1

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

∞

2

n

n .

3.1.

åsin

n=1

n

n

∞

cos

2

(nπ 2)

3.3.

å

.

n(n +1)(n + 2)

n=1

∞

2 + (−1)n

3.5.

å

.

n − ln n

n=1

∞

n(2 + cosnπ )

3.7.

å

.

2n

2

−1

n=1

∞

2

n

3.9.

å

sin

.

2

n=1

n

+1

∞

arccos

(−1)n n

n +1

3.11. å

.

n

2

n=2

+ 2

∞

2 + (−1)n

3.2.

ånsin

.

n

3

n=1

∞

3.4.

å

ln n

.

n=1

3 n7

∞

arctg

1+ (

−1)n

n

2

3.6.

å

.

n

3

+ 2

n=1

∞

arcsin

n −1

3.8.

å

n

.

n=2

3 n3 − 3n

∞

n

2

+ 3n .

3.10. åln

n=2

n2 − n

∞

2

n

3.12. å

ncos

.

3

n=1

n

+ 5

132

∞

nln n

3.13. å

.

2

n=2

n

- 3

∞

1

2 + (-1)

n

3.15. å

sin

π .

n=2

4 n3

6

∞ 1+ sin πn

3.17. å

2

.

n

2

n=1

(2 + cos nπ )

∞

n

3.19. å

2

.

4 n7 + 5

n=1

∞

2

2

n

3.21. å

sin

.

2

n=1

n

∞

1

3.23. å

.

n=3

n2 ln n + 3 ln2 n

∞

sin

π

2n +1

3.25. å

.

æ

n=1

n

+ sin

π n ö

ç3

4

÷

è

ø

∞

3 + (-1)n

3.27. å

.

2

n+2

n=1

∞

arcctg (-1)n

3.29. å

.

n(2 + n2 )

n=1

∞

n

3

+

2

3.31. å

.

n

2

2

n=1

sin

n

∞

n

2

+ 3

3.14. ån=1

.

n3 (2 + sin(nπ 2))

∞

ln n

3.16. å

.

n

3

+ n +

1

n=1

∞

cos2 π n

3.18. å

3

.

n

n=1

3

+ 2

∞

2 + sin nπ

1

3.20. å

4

ctg

.

n

2

n=1

n

∞

ln n

3.22. å

.

n=1

n5 + n

3

∞

arctg

n2 -1

3.24. å

π

.

n2 - n

n=1

∞ 2cos 2π

3.26. å 3n .

n=2 4 n4 -1

∞	é			2 + (-1)	n ù
3.28. å	arctg ë				û			.
	ln (1+ n)
n=1
∞	arcsin		3 + (-1)n
				4
3.30. å							.
	2	n		+ n
n=1

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

133

∞

2

4.1. å

.

n−1

+ n -

1

n=1

5

∞

2

+ 5

4.3. åln

n

.

2

+ 4

n=1

n

∞

1

1

4.5. å

arctg

.

n -

3

n=2

1

n -1

∞

n

3

+ 2

4.7. å

.

n

5

+ sin 2

n

n=1

∞

1

4.9. å

.

n - cos

2

6n

n=1

∞

1

π

4.11. å

arctg

.

3

n=1

n

4

n

∞

1

1

4.13. å

sin

.

3

n -1

n +

5

n=2

∞

1

(e1

-1).

4.15. å

n

n +

3

n=1

∞

1

4.17. å

3

narctg

.

3

n=1

n

∞

5 π .

4.19. ån3tg

n=3

n

∞

æ

- cos

π

ö

4.21. åç1

n

÷.

n=1

è

ø

∞

æ

(n3−1)

ö

n

-

4.23. åçe

1÷.

n=2

è

ø

∞

sin

2π

2n +1

4.25. å

.

n=1

n

∞	1		1
4.2. å		×tg				.
	n
n=1				n

4.4. å∞ 1 sin 1 .

n=1 n n

∞(n2 + 3)2

4.6.ån=1 n5 + ln4 n .

∞

n

+ cosn

4.8. å

2

.

n

n=1

3

+ sin n

∞

1

1

4.10. å

sin

.

5

n=1

n +1

n

∞

1

4.12. å

.

n

2

- ln n

n=1

∞

1

n

+ 3

4.14 å

arctg

.

3

2

+ 5

n +

2

n=1

n

∞

n

2

+1

4.16. åln

.

n

2

+ n + 2

n=1

∞

n

3

4.18. åln

.

n

3

1

n=1

+

∞

n +1

4.20. å

.

(3

-1)(n4 n3 -1)

n=2

n

∞

3

n

4.22. åsin

.

n5 + 2

n=1

∞

2n +1

4.24. åsin

.

n2

(n +1)

2

n=1

∞

3 + 7n

4.26. å

.

n

n=1

5

+ n

134

∞

∞

1

4.27. ån(e1 n

-1)2 .

4.28. ånsin

.

3 n4

n=1

n=1

∞

1

∞

n

4.29. åarctg

.

4.30. åsin

.

2 3

(n -1)5 n2 +1

n

n

+ 5

n=1

n=1

∞

n

4.31. åarcsin

.

(n2 +

3)

5 2

n=1

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

∞

n +1

5.1. å

.

2

n

n=2

(n -1)!

∞

2n+1 (n3 +1)

5.3. å

.

(n +1)!

n=1

1n .

5.5. å(2n + 2)!×

∞

3n + 5

n=1

2

∞

arctg

5

5.7. å

n

.

n!

n=1

∞

n

1

5.9. å

tg

.

n

n=1

(2n)!

5

∞

n

2

5.11. å

.

2)!

n=1 (n +

∞72n

5.13.ån=1 (2n -1)!.

∞	1×3×5...(2n -1)
5.15. å						.
			n	+1)!
n=1		3 (n
∞			(n!)	2
5.17. å					.
		n
n=1	(3		+1)(2n)!

∞ (n!)

2

5.2. å

2n

2 .

n=1

∞

n

2n!

5.4. å

10

.

n=1 (2n)!

∞

2

5.6. å

n + 5

sin

.

n

n=1

n!

3

∞

n

5.8. å

n

.

n

n=1 3 n!

∞

6n (n2 -1)

5.10. å

.

n!

n=1

∞

n

n

5.12. å

.

(n!)

2

n=1

5.14. å∞ n! .

n=1 (3n!)

å∞ n!

5.16. n=1 nn−1 . ?

5.18. å∞ n!sin π .

n=1 2n

135

∞

(n +1)

!

5.19. å

n

n .

n=1

∞

2

n

5.21. å

n!

.

n

n=1

n

∞

n

5.23. å

3

.

(n + 2)!4

n

n=1

∞

1× 4 ×7...(3n - 2)

5.25. å

.

7 ×9 ×11...(2n +

5)

n=1

∞

(3n + 2)!

5.27. å

10

n

n

2 .

n=1

∞

3

n!

n

5.29. å

.

n

+ 2

n=1

3

∞

1× 4 ×7...(3n - 2)

5.31. å

.

2

n+1

n!

n=1

∞

5

n 3

n

2

5.20. å

.

(n +1)!

n=1

∞

5n (n +1)!

5.22. å

.

(2n)!

n=1

∞

3×5×7...(2n +1)

5.24. å

.

2×5×8...(

3n -1)

n=1

∞

2n!

5.26. å

.

n=1

2n + 3

∞

n−1

4

n

2

+ 5

5.28. å

.

n=2

(n -1)!

∞

n!(2n +1)!

5.30. å

.

(

3n)!

n=1

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

∞

1

æ

n

ö−n2

6.1. å

ç

÷ .

n

n=1

3

è n +

1ø

∞ æ

2

+1

ö

n2

6.3. åç

2n

÷ .

2

+1

n=1

è

n

ø

∞

æ

2n +1

ön2

6.5. åç

÷ .

3n - 2

n=1

è

ø

∞

æ

4n - 3

ön3

6.7. åç

÷ .

5n +1

n=1

è

ø

∞

π

6.9. ånarcsinn

.

n=1

4n

∞

1

æ

1

ön2

6.2. å

ç1+

÷ .

4

n

n

n=1

è

ø

∞

4

æ

2n

ö

n

6.4. ån

ç

÷ .

3n

+ 5

n=1

è

ø

∞

æ

2n + 2

ön

3

6.6. åç

3n +1

÷

(n +1) .

n=1

è

ø

∞

æ

n

ön2

6.8. åç

÷ .

10n +

5

n=1

è

ø

∞

æ n + 2

ön2

6.10. åç

÷ .

3n -

n=1

è

1ø

136

∞

æ n -1ön

n

6.11. åç

÷

.

n

5

n

n=1

è

ø

∞

æ

3n + 2

ön

(n -1)

2

6.13. åç

÷

.

4n -1

n=1

è

ø

∞

æ

n

ö2n+1

6.15. åç

÷ .

3n +

n=1

è

1ø

∞

n+1

6.17. å

2

.

n

n=1

n

∞

n

3

6.19. å

.

(ln n)

n

n=2

∞

π

6.21. ån3arctgn

.

n=1

3n

∞

6.23. å2n−1 e−n .

n=1

∞

æ

2n

ön2

6.25. åç

÷ .

4n + 3

n=1

è

ø

∞

æ

n

ö

2n

6.27. å n ç

÷ .

-

n=1

è 3n

1ø

∞

n+2

6.29. å

n ×3

.

n

n=1

5

∞

π

6.31. ån4arctg

2n

.

n=1

4n

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

∞			1
7.1. å				.
	nln	2	(3n +1)
n=2

å∞ æ 2n + 3 ön2

6.12. ç ÷ .

n=1 è n +1 ø

∞

æ

n +1

ön2

6.14. åç

÷ .

2n - 3

n=2

è

ø

∞

æ

2n -1

ön 2

6.16. åç

3n +1

÷ .

n=1

è

ø

∞

π

6.18. ån2 sinn

.

n=1

2n

∞

æ

n

ön3

6.20. åç

÷ .

3n -1

n=1

è

ø

∞

n

5

n

6.22. å

3

.

(

2n +1)

n

n=1

∞

æ

3n -1

ö2n

6.24. ånç

÷ .

4n + 2

n=1

è

ø

∞

n

n+2

6.26. å

.

(2n2 +1)

n 2

n=1

∞

æ n +1ön2

1

6.28. åç

÷

.

n

2

n

n=1

è

ø

∞

æ n - 2

ö

3n

6.30. å3

n ç

÷ .

2n +1

n=2

è

ø

∞			1
7.2. å				.
	nln	2	(2n +1)
n=1

137

∞

1

7.3. å

.

(2n +

3)ln

2

(2n +

1)

n=1

∞

1

7.5. å

.

(

3n +

4)ln

2

(5n +

2)

n=1

∞

1

7.7. å

.

(

)

(

)

n=1

n 3 +

n 2 +1 ln2

1

∞

1

7.9. å

.

(2n −1)ln (

2n)

n=1

∞

1

7.11. å

.

(3n −1)ln n

n=2

∞

1

7.13. å

.

(2n − 3)ln (3n +

1)

n=2

∞

1

7.15. å

.

(n +

3)ln

2

(2n)

n=2

∞

1

7.17. å

.

nln(n −1)

n=3

∞

1

7.19. å

.

(n − 2) ln (n − 3)

n=5

∞

1

7.21. å

.

(n +

5)ln

2

(n +1)

n=2

∞

n

2

7.23. å

.

(n

3

+1)ln n

n=2

∞

1

7.25. å

.

(n 3 −1)ln

2

(n 2)

n=4

∞

3n

7.27. å

.

(2n

2

+ 3)ln n

n=2

∞

1

7.4. å

.

(3n − 5)ln

2

(

4n −

7)

n=3

∞

1

7.6. å

.

(2n +1)ln2 (n

+ 2)

n=1

5

∞

1

7.8. å

.

(n − 2)ln(n − 3)

n=5

∞

1

7.10. å

.

(n +1)ln(2n)

n=1

∞

1

7.12. å

.

(2n −1)ln (n +1)

n=2

∞

1

7.14. å

.

(n + 2)ln

2

n

n=2

∞

1

7.16. å

.

(2n + 3)ln

2

(n +1)

n=2

∞

1

7.18. å

.

2n ln(3n −1)

n=2

∞

1

7.20. å

.

(3n −1)

ln(n −

2)

n=4

∞

1

7.22. å

.

(n 3)ln

2

(n + 7)

n=2

∞

n

7.24. å

.

(n

2

− 3)ln

2

n=3

n

∞

n

7.26. å

.

(n

2

+ 5)ln n

n=2

∞

n +1

7.28. å

.

(5n

2

− 9)ln

(n −

2)

n=4

138

(-1)n+1

∞						2n +1
7.29. å									.
		(3n		2	2	+	2)ln(n 2)
n=3
∞					3n
7.31. å								.
		(n	2	- 2)ln (2n)
n=2

Задача 8. Исследовать на сходимость ряд.

	∞	2n +1
	8.1. å(-1)n+1		.
		n(n +1)
	n=1

∞

8.3. ån=2 ln(n +1) .

∞

(-1)n 2n2

8.5. å

.

n

4

- n

2

+1

n=1

∞

(-1)n

8.7. å

.

nln(n +1)

n=3

∞

(-1)n sin

π

2

n

8.9. å

.

n=1

3n +1

∞

sin n

8.11. å

.

n=1

n!

∞

1

8.13. å(-1)n tg

.

n=1

n

∞

(-1)n−1

8.15. å

.

(n +1)2

2n

n=1

∞

(-1)

n−1

8.17. å

.

(n +1)(3 2)

n

n=1

∞			n
7.30. å				.
	(n	2	-1)ln n
n=2

∞

n+1 æ

n

ö

n

8.2. å(

-1)

ç

÷ .

2n +1

n=1

è

ø

∞

(-1)

n

8.4. å

.

n(lnln n)ln n

n=3

∞

(-1)n

8.6. å

.

(n +1)ln n

n=3

∞

(-1)n+1

8.8. å

.

n4 2n +

3

n=1

∞

π

8.10. å(-1)n cos

.

n=1

6n

∞

(-1)n

8.12. å

.

nln (2n)

n=3

∞

cosn

8.14. å

.

2

n=1

n

∞

(-1)n

8.16. å

.

π

n=1 cos

3

3n + ln n

3

n

∞

2n -1

8.18. å(-1)n

.

n=1

3n

139

∞

(-1)n (n + 3)

.

8.19. å

ln(n +

4)

n=1

∞

(-1)n tg

π

n

8.21. å

4

.

5n -1

n=1

sin(n

)

∞

n

8.23. å(-1)n

.

n

n

n=1

∞

π

8.25. å(-1)n sin

.

n

n=1

2

∞

n

8.27. å(-1)

n sin3

.

n

n=1

3

∞

1

1

8.29. å(-1)n sin

×tg

.

n

n=1

n

∞

n

3

8.31. å(-1)n

.

(n +1)!

n=1

∞

n

+1

8.20. å(-1)n

.

n=1

n3

∞

(-1)

n

8.22. å

.

(2n +1)2

2n+1

n=0

∞

(-1)n

8.24. å

.

n + cos(2

)

n=1

n + 4

∞

(-1)

n

8.26. å

.

n

2

2

n

n=1

+ sin

∞

n

æ

1

ö

8.28. å(-1)

ln

ç1+

÷.

n

2

n=1

è

ø

∞

n æ

1 ö

8.30. å(-1)

ç1- cos

÷.

n=1

è

n ø

Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью α .

∞

n 1

1

∞

(-1)n+1

9.1. å(-1) +

,

α = 0,01.

9.2. å

,

α = 0,01.

2

n!

n=1

3n

n=1

∞

1

∞

1

9.3. å(-1)n+1

,

α = 0,001.

9.4. å(

-1)n

, α = 0,001.

(2n)

3

n!(2n +1)

n=1

n=0

9.5. å(-1)n

32n +1

, α = 0,01.

9.6. å (-1)

n

α = 0,0001.

,

∞

∞

n=1

n (n +1)

n=1

(2n +1)!

∞

(-1)n × n

,

α = 0,1.

∞

(-1)n × n2

,

α = 0,1.

9.7. å

2

n

9.8. å

n

n=1

n=1

3

∞

(-1)n × n

∞

(-1)n

9.9. å

, α = 0,001. 9.10. å

,

α = 0,0001.

(2n -1)

2

(2n

+1)

2

n=1

n=1

(2n +1)!!

140

9.11. å∞ (-1)n , α = 0,001. n=1 (2n)!!

∞

(-1)n × n

,

α = 0,0001.

9.13. å

7

n

n=1

∞

(-1)n

,

α = 0,001.

9.15. å

(2n)!

n=1

∞

(

-1)n

9.17. å

,

α = 0,00001.

(2n)!2n

n=1

∞

(-1)n

,

α = 0,001.

9.19. å

n

n=1

2

× n!

∞

(-1)n

9.21. å

,

α = 0,00001.

n=1

(2n)!n!

∞

(-1)

n

9.23. å

,

α = 0,001.

n

(2n +1)

n=0

4

∞

(-1)n × 2n

,

α = 0,001.

9.25. å

(n +1)

n

n=0

∞

sin (π 2 +π n)

9.27. å

, α = 0,01.

n

3

+1

n=1

∞

cos(π n)

9.29. å

,

α = 0,001.

(n3 +1)

2

n=0

∞

(-1)n × n

9.31. å

,

α = 0,001.

(1+ n3 )

2

n=0

∞	æ	-	2	ön		α = 0,01.
9.12. åç			5	÷	,
n=0	è			ø
∞	æ	-	2	ön		α = 0,1.
9.14. åç			3	÷	,
n=0	è			ø

9.16. å∞ (-1)n , α = 0,01.

n=0 3n!

9.18. å∞ (-1)n ×(2n +1), α = 0,001.

n=1 (2n)!n!

9.20. å∞ (3-n 1× )nn!, α = 0,001.

n=1

	∞	cosπ n
	9.22. å							,		α = 0,001.
		n
	n=0	3		(n +1)
	∞	sin (π 2 +π n)
	9.24. å										, α = 0,01.
				n		3
	n=1
	∞	(-1)n
	9.26. å						,		α = 0,001.
		(n +1)			n
	n=0
	∞		(-1)n
	9.28. å								,	α = 0,01.
		n	3	(n + 3)
	n=1

9.30. å∞ (-1)n , α = 0,01.

n=0 1+ n2

Задача 10. Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число ρ

получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши.)

141

10.1. lim n! = 0.

n→∞ nn

	10.3. lim	2n!!					= 0 .
		nn
	n→∞
	10.5. lim	(2n)! = 0.
	n→∞	2n2 !
	10.7. lim	(2n)!!								= 0.
			5n		2
	n→∞
	10.9. lim (n +1)! = 0 .
	n→∞		nn
	10.11. lim		(2n -1)!!								= 0.
	n→∞						nn
	10.13. lim		(3n)!							= 0.
	n→∞ 2n2
	10.15. lim		n5							= 0.
			(2n)!
	n→∞
	10.17. lim		(n + 2)! = 0 .
	n→∞				nn
	10.19. lim		(2n +1)!!								= 0 .
	n→∞						nn
	10.21. lim (4n2)! = 0.
	n→∞		2n
	10.23. lim		n3				= 0 .
			4n	2
	n→∞
	10.25. lim		(n + 3)! = 0 .
	n→∞				nn

	10.2. lim	nn		= 0.
		(2n)!
	n→∞

10.4.lim (2n)n = 0 . n→∞ (2n -1)!

	10.6. lim		nn		= 0.
		(n!)2
	n→∞
	10.8. lim	n2		= 0 .
	n→∞ n!
	10.10. lim			nn			= 0.
			(2n +1)!
	n→∞

10.12.lim (3n)n = 0 . n→∞ (2n -1)!

	10.14. lim	nn				= 0.
		(n!)3
	n→∞
	10.16. lim	23n		= 0.
		n!
	n→∞
	10.18. lim		nn					= 0 .
		(2n -1)!
	n→∞

10.20.lim (2n)n = 0. n→∞ (2n +1)!

	10.22. lim		nn			= 0.
		é(n +1)!ù2
	n→∞
		ë	û
	10.24. lim	n!	= 0 .
		2
	n→∞ 2n
	10.26. lim		nn		= 0.
		(2n + 3)!
	n→∞

142

10.27. lim (2n + 3)!! = 0.

n→∞ nn

10.29. lim (5n2)! = 0.

n→∞ 2n

10.31. lim n2 +1 = 0.

n→∞ (2n)!!

10.28.lim (5n)n = 0. n→∞ (2n +1)!

	10.30. lim		nn	= 0.
		é(n + 2)!ù2
	n→∞
		ë	û

Задача 11. Найти область сходимости функционального ряда.

∞

(-1)n

11.1.

å

.

(x + n)

−1 5

n=1

∞

n

1

11.3.

å

.

n +1 (3x2 + 4x + 2)

n

n=1

∞

x

n

11.5.

å

.

1- x

n

n=1

∞

x

n

11.7.

å

.

1+ x

2n

n=1

∞

1

æ

1+ x ö

n

å

11.9.

ç

÷ .

n +

1

n=1

3è

- x ø

∞

1

11.11. å

.

2x+1

(3 n2 +

1)

n=1

n +

11.13. å∞ (-1)n .

n=1 3x + n

å∞ (n + x)n

11.15. n=1 nn .

∞

(-1)n æ1- x ön

11.2.

å

ç

÷ .

n=1

2n -1è1

+ x ø

∞

1

11.4.

å

n +

(x2

- 4x + 6)n .

n

n=1

3

∞

1

11.6.

å

n + 3

.

2)

n

n=1

n +1 (27x2 +12x +

∞

n

1

11.8.

å

n2

.

6)

n

n=1

n +1 (3x2 + 8x +

∞

(x2 - 6x +12)n

11.10. å

4

n

(n

2

+1)

.

n=1

∞

(-1)n

11.12. å

.

(x + n)

3

n=1

∞

(x2 - 5x +11)n

11.14. å

5

n

(n

2

+ 5)

.

n=1

∞

1

11.16. å

.

n(n + x)

n=1

143

∞

(-1)

n

∞

n

11.17. å

.

11.18. å

1+ x

.

(x + n)

2

n

n=1

n=1

1- x

∞

∞

n +1

n

11.19. å

.

11.20. å

.

x

nx

2

n=1

xn

n=1

−1

∞

n

2

∞

3

(25x

2

+1)

n

n

11.21. å

.

11.22. å

.

2

n

(n

2

+

1)

x

2

+ n

2

n=1

n=1

∞

2n

3

1

∞

(-1)

n

11.23. å

.

11.24. å

.

3

n

n

n=1

n

+ 2 (3x2 +10x + 9)

n=1

x + 2

∞

1

∞

x

n +

x

−n

11.25. å

.

11.26. å

.

(x + n)(x + n +1)

2

n=1

n=1

n

∞

x

∞

(-1)

n

11.27. å

.

11.28. å

.

n(n + e

x

)

(n - e

x

)(n

2

+1)

n=1

n=1

∞

(-1)

n

∞

x

11.29. å

.

11.30. å

.

1 3

nx

+ 2

n=1

(n - x)

n=1

3

∞

x

11.31. å

.

n + x

2

n=1

Задача 12. Найти область сходимости функционального ряда.

∞

9

n

x2n sin(x +π n).

12.1.

å

n

n=1

∞

n

12.3.

å

3

x4n cos(x +π n).

n

n=1

∞

2

3n

12.5.

å

x4n sin(3x +π n).

n=1

3 n

∞

5

n

12.7.

å

x2n cos(x +π n).

n=1

4 3n

∞

x

12.9.

å2n x3n sin

.

n=1

n

∞

4

n

x4n sin(

2x -π n).

12.2.

å

n

n=1

∞ æ

5

ön

1

2n

cos(x -π n).

12.4.

åç

3

÷

x

n=1 è

ø

n

∞

6

n

x2n sin(

5x -π n).

12.6.

å

n

n=1

∞

9

n

x2n sin(3x -πn).

12.8.

å

2n

n=1

∞

x

12.10. å32n xn sin

.

2n

n=1

144

∞

2x

12.11. å23n xn sin

.

n

n=1

∞

3x

12.13. å3n xn tg

.

n=1

n

∞

2x

12.15. åx3n tg

.

n=1

3n

∞

x

12.17. å16n x3narcsin

.

3

n=1

n

∞

2x

12.19. å2n xnarctg

.

n=1

n +1

∞

3x

12.21. å27n x3narctg

.

2n + 3

n=1

∞

12.23. å8n n2 sin3n x .

n=1

12.25. å∞ 3n tg2n x .

n=1 n

12.27. å∞ 4n sin2n x .

n=1 n2

12.29. å∞ 1 tgn x .

n=1 n2

∞			n 2
12.31. å	4	×3			tgn (2x).
			n
n=1

∞

3

x

12.12. å3n x3n sin

.

n=1

n

∞

x

12.14. å8n x3n tg

.

4

n=1

n

∞

x

12.16. å2n x3narcsin

.

n=1

3n

∞

x

12.18. å32n x5narcsin

.

n=1

n

∞

x

12.20. å2n x3narctg

.

2(n + 3)

n=1

12.22. å∞ 8n sin3n x .

n=1 n2

	∞	2	n						(2x).
	12.24. å						sin2n
	n=1		n
	∞	n
	12.26. å	2			sinn (3x).
		4
	n=1	n
	∞	1						(2x).
	12.28. å			tgn
		3
	n=1	n
	∞			1
	12.30. å							tgn x.
				n 2
	n=1	n ×3

Задача 13. Найти область сходимости функционального ряда.

13.1. å∞ 2n2 x - 2 ×e−n2(x−1)3 .

n=1
∞	æ	+	2	ön	×5−	n	x 1 2
13.3. åç1			n	÷			( + ) .
n=1	è			ø

13.5. å∞ e−(1−x n )2 .

n=1

13.2. å∞ lnn (x +1n) .

n=1 x - e

∞

13.4. ån2 x -1 ×e−nx .

n=1
∞	æ	+	1	ön	n	x 1
13.6. åç1			n	÷	×3	( − ) .
n=1	è			ø

145

13.7. å¥ 5-n3×sin(x2 +1)n .

n=1
¥							x
13.9. å5nx arctg									.
					7	nx	(x -1)
n=1
¥	æ	+	5	ön			-n x2	.
13.11. åç1			n	÷	×3
n=1	è			ø

13.13. å¥ en2×sin(x2 +1)n .

n=1

13.15. å(ln(1+1 n) + lnln x)

n

.

¥

n=1

x - e1 e

¥

1

13.17. å

.

ln

n

(x +1 e)

n=1

¥

n+1

(-n1sin) x .

13.19. å

n=1

e

¥

13.21. å(-1)n 3-n2×ln(1+x n) .

n=1

¥

x

13.23. ån

x

arcsin

.

nx

n=1

3

¥

2

2

+1)) .

13.25. å(-1)n-1 2-n

×(lnn (x

n=1

¥

1

13.27. å

.

n

x

n=1

ln

13.29. å¥ e-n4(sin1n2x2 ) .

n=1

¥						1
13.8. å							.
	ln		n		(x -1)
n=1
¥						1
13.10. å								.
		ln		n		(x + 2)
n=1
¥						1
13.12. å								.
		ln		n		(x + e)
n=1

¥
13.14. å(-1)n+1 e-n cos x .
n=1
¥	(-1)n+1
13.16. å	n	ln		x		.
n=1

13.18. å¥ sinn xln n .

n=1 x - n

13.20. å¥ (-1)n 5-n2×arctan(1(n x )) .

n=1

13.22. åcos(n (x -1)).

¥

en

n=1

x

¥

x

13.24. ån2xarctg

.

2

nx

n=1

¥

æ

1

ö

n ln x

13.26. ånlnç x -

÷×e

.

2

n=1

è

ø

13.28. å¥ (-1)n 5-n(lnnx2 ) .

n=1

å¥ (-1)n+1

13.30. = ln(1+x2 ) .

n 1 n

¥	æ	3	+	1	ön		-n2 x	.
13.31. åç				n	÷	× 4
n=1	è				ø

Задача 14. Найти область сходимости функционального ряда.

146

14.1.

∞

(n - 2)3 (x + 3)2n

å

2n + 3

.

n=1

∞

(x -1)2n

14.3.

å

n9

n .

n=1

∞

2n

14.5.

å(-1)n−1 (x - 2) .

n=1

2n

∞

n

3

+1

14.7.

å

.

3n (x - 2)

n

n=1

∞

(x + 5)2n−1

14.9.

å

.

4

n

(2n -1)

n=1

∞

(x - 2)n

14.11. å

.

(3n +1)2

n

n=1

∞

1

14.13. å(x + 5)n tg

.

n

n=1

3

∞

1

14.15. å

.

n ×9n (x -1)

2n

n=1

∞

(x + 2)n2

14.17. å

n

n .

n=1

∞

(3n - 2)(x - 3)n

14.19. å

(n +1)

2

2n+1

.

n=1

∞

1

14.21. å

.

(n + 2)ln(n +

2)(x - 3)

2n

n=2

∞

(x - 4)n2

14.23. å

n

n+1 .

n=1

∞

(-1)n (x - 3)n

14.2.

å

.

(n +

1)

n

n=1

5

∞

2n + 3

14.4.

å

.

(n +

5

n=1

1)

x2n

14.6.

∞

(x - 5)2n+1

å

3n +

8

.

n=1

∞

14.8.

å

n!

.

n

n=1

x

∞

(x - 7)2n−1

14.10. å

.

(2n

2

- 5n)4

n

n=1

∞

3n(x - 2)3n

14.12. å

.

(5n -8)

3

n=2

∞

n

(x - 2)n .

14.14. åsin

n

2

+1

n=1

∞

14.16. å3n2 xn2 .

n=1

∞

n

5

(x + 5)2n+1 .

14.18. å

(n +1)!

n=1

∞

(x - 5)n

14.20. å

.

(n + 4)ln(n + 4)

n=1

∞

1

14.22. å

.

2n n2 (x + 2)

n

n=5

∞

5

14.24. å

n

.

n

n=1

x

147

∞
			n +1
14.25. å							.
		3n (x + 3)			n
n=5
∞			3n + 5
14.27. å									.
		(2n + 9)		5	(x + 2)			2n
n=1
∞		(x + 2)n
14.29. å						.
				n
n=1		(2n +1)3
∞		(n +1)5 x2n
14.31. å		2n +1			.
n=1

∞		4n (x +1)2n
14.26. å									.
				n
n=1
∞		n	2	+1
14.28. å								.
		5n (x + 4)				n
n=5
∞		n2 (x − 3)n
14.30. å							.
		(n4 +1)			2
n=1

Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке [0,1]. При каких n абсолютная величина остаточного

члена ряда не превосходит 0.1 x [0,1]?

∞

15.1. å(−1)n

n=1

∞

15.3. å(−1)n

n=1

∞

15.5. å(−1)n

n=1

∞

15.7. å(−1)n

n=1

∞

15.9. å(−1)n

n=1

∞

15.11. å(−1)n

n=1

∞

15.13. å(−1)n

n=1

∞

15.15. å(−1)n

n=1

xn

7n −11.

xn

4n − 6 .

xn

4n − 5 .

xn

3n − 4 .

xn

6n −11.

xn

7n −10 .

xn

3n3 − 4

.

xn

8n −12 .

∞

15.2. å(−1)n

n=1

∞

15.4. å(−1)n

n=1

∞

15.6. å(−1)n

n=1

∞

15.8. å(−1)n

n=1

∞

15.10. å(−1)n

n=1

∞

15.12. å(−1)n

n=1

∞

15.14. å(−1)n

n=1

∞

15.16. å(−1)n

n=1

xn

5n − 6 .

xn

3n3 − 5

.

xn

5n − 9 .

xn

3n3 − 2

.

xn

3n3 − 7

.

xn

6n −8 .

xn

2n − 3 .

xn

6n − 7 .

148

∞

15.17. å(-1)n

n=1

∞

15.19. å(-1)n

n=1

∞

15.21. å(-1)n

n=1

∞

15.23. å(-1)n

n=1

∞

15.25. å(-1)n

n=1

∞

15.27. å(-1)n

n=1

∞

15.29. å(-1)n

n=1

∞

15.31. å(-1)n

n=1

xn

5n - 8 .

xn

4n - 7 .

xn

7n -13 .

xn

3n - 5 .

xn

8n -11.

xn

38n3 -12

.

xn

9n -15 .

xn

3n3 - 6

.

∞

x

n

15.18. å(-1)n

.

6n -10

n=1

∞

x

n

15.20. å(-1)n

.

5n - 7

n=1

∞

x

n

15.22. å(-1)n

.

3 8n3 -

21

n=1

∞

x

n

15.24. å(-1)n

.

3 8n3 -

19

n=1

∞

x

n

15.26. å(-1)n

.

3 8n3 -

11

n=1

∞

x

n

15.28. å(-1)n

.

n=1

3 n3 - 3

∞

x

n

15.30. å(-1)n

.

10n -12

n=1

Задача 16. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

∞
		x +1cos			nx
16.1. å						, [0, 2].
n=0		3 n5 +1

16.3. å∞ xn , [-2, 2].

n=1 nn

	∞		1		1
	16.5. åxn!, [-			,		].
			2
	n=1			2
	∞			(x - 3)				n
	16.7. å(-1)n									, [2, 4].
		(2n +1) n +1
	n=0

16.9. å∞ (x -1n)2n , [-1, 3].

n=1 n9

∞

n

3

3

16.2.

å

x

,

[-

,

].

n

2

n=1

n2

2

∞

n

æ x

ö

n

3

3

16.4.

å

,

[-

,

].

ç

÷

n +1

2

2

n=1

è 2

ø

16.6.

∞

(x - 3)n

, [-1, 6].

å

n5

n

n=1

∞

(π - x)cos2 nx

16.8.

å

,

[0, π ].

4 n7 +1

n=0

∞

n!(x + 3)n

16.10. å

,

[-5, -1].

n

n

n=1

149

∞

n

(x - 2)2n

16.11. å(-1)

,

[1, 3].

(n +1)

2

ln(n

+1)

n=1

∞

2

n−1

x

2n−1

1

1

16.13. å

,

[-

,

].

(4n - 3)

2

2

n=1

2

∞

(x + 5)2n−1

[-7,

- 3].

16.15. å

n

2

4

n

,

n=1

∞

(-1)

n−1

x

n

[- 1 ,

1].

,

16.17. å

n=1

n

2

2

∞

n 1 (x - 2)2n

[3

,

5

].

16.19. å(-1)

−

n

,

n=1

2

2

∞

(x - 2)n

16.21. å

,

[1, 3].

(2n -1)2

n

n=1

∞

x

n

16.23. å

,

[-1, 1].

n(n + 2)

n=1

∞xn2

16.25.å3n2 , [-2, 2].n=0

∞

(x -1)n

16.27. å

, [0, 2].

2

n

(n + 3)

n=0

16.29. å(-1)n−1

n(x + 2)

n

, [-3, -1].

∞

(n +1) 3

n=0

n + 2

∞

(x +1)n

16.31. å

,

[-2, 0].

(n +1)ln

2

(n +1)

n=1

Задача 17. Найти сумму ряда.

∞

n−1

æ

1

ö

17.1. å(-1)

ç1

+

÷ xn−1 .

n

n=1

è

ø

∞

x

n

16.12. å

,

[-3,

3].

n!

n=1

∞

n−1

16.14. å

x

,

[-2, 2].

n

n=1

n3

ln n

∞

(x + 2)n2

[-3,

-1].

16.16. å

n

n

,

n=1

∞

(n +

1)

4

x

2n

1 ,

1

16.18. å

,

[-

].

n=0

2n +1

2

2

∞

(x + 5)n

16.20. å

,

[-6,

- 4].

n

2

n=1

∞

(x +1)sin

2 nx

16.22. å

,

[-3, 0].

n

n +1

n=1

∞

(x + 5)

n

16.24. å

,

[-6,

- 4].

3

n2 +

1

n=0

n +1

∞

æ

π ö

n

16.26. åçsin

÷(x - 2)

,

[1, 3].

2

n

n=0

è

ø

16.28. å∞ (x +1n)2n , [-1, 0].

n=1 n4

16.30. å∞ (x - 3)2n , [2, 4].

n=0 n n +1

∞x2n

17.2.ån=2 (2n - 3)(2n - 2) .

150

n(n +1)

∞	n+1	æ	1		1	ö
17.3. å(-1)
		ç		-		÷ xn+2 .
					n + 2
n=1		è n				ø

17.5. å∞ 1+ (-1)n x2n+1 .

n=0 2n +1

å∞ (-1)n−1 xn

17.7. n=2 n(n -1) .

å∞ xn

17.9. n=1 n(n +1) .

∞x2n+2

17.11.ån=0 (2n +1)(2n + 2) .

∞xn+1

å(-1)n−1 ( ) .17.13.

n=1

n n +1

∞x2n−1

17.15.ån=1 2n(2n -1) .

	∞	é	+	(-1)n+1				ù
	17.17. å	ê1				n		ú xn−1 .
		ê						ú
	n=1	ë						û
	∞	(-1)n xn+1
	17.19. å								.
		(n +1)(n +						2)
	n=0
	∞		x		2n+1
	17.21. å							.
		2n(2n +1)
	n=1
	∞				x	n+2
	17.23. å								.
		(n +1)(n +						2)
	n=0

∞x2n

17.25.ån=2 (2n - 2)(2n -1) .

17.27. å∞ (-1)n+1 cosn+1 x .

n=1

∞ (-1)n−1 x2n−1

17.4.

å

4

n

(2n

-

1)

.

n=1

∞

n−1

æ

1

ö

1

17.6. å(-1)

ç1-

÷

.

n

n

n=1

è

ø x

∞ 1+ (-1)n−1

17.8.

å

x2n+1 .

2n +1

n=0

∞

(-1)n−1 x2n+2

17.10. å

16

n

(

2n +1)

.

n=0

∞

n−1

æ

1

1

ö

n

17.12. å(-1)

ç

+

÷ x

.

n=1

è n

n +1ø

∞

e

−nx

17.14. å

.

n

n=1

∞

é

n

1

ù

2n

17.16. å

ê(-1)

+

ú x

.

n

n=1

ë

û

∞

(-1)

n+1

17.18. å

.

n(n +1)x

n+1

n=1

∞

sin

n

x

17.20. å

.

n(n -1)

n=2

∞

æ 1

1

ö

n

17.22. åç

+

÷ x

.

n

n=1

è n

+1ø

∞

é

(

-1)n ù

17.24. å

ê2n +

n

ú xn .

n=1

ê

ú

ë

û

∞

x

n

17.26. å

.

n(n -1)

n=2

∞

(-1)n+1 tgn x

.

17.28. å

n(n +1)

n=1

151

å∞ 3n

17.29. n=0 (n +1)xn+1 .

∞x2n+2

17.31.ån=0 (2n + 2)(2n + 3) .

Задача 18. Найти сумму ряда.

∞

18.1. å(4n2 + 9n + 5)xn+1 .

n=0

∞

18.3. å(n2 + n +1)xn+3 .

n=0

∞

18.5. å(n2 + 5n + 3)xn .

n=0

∞

18.7. å(3n2 + 8n + 5)xn+2 .

n=0

∞

18.9. å(2n2 + 7n + 5)xn+1 .

n=0

∞

18.11. ån(2n −1)xn+2 .

n=0

∞

18.13. å(2n2 − n −1)xn .

n=0

∞

18.15. å(n2 + 7n + 4)xn .

n=0

∞

18.17. å(2n2 + 2n +1)xn .

n=0

∞

18.19. å(n2 + 2n + 2)xn+2 .

n=0

∞

19.21. å(n2 + 5n + 4)xn+2 .

n=0

∞

18.23. å(n2 − 2n −1)xn+1 .

n=0

17.30. å∞ n + (−1)n xn .

n=2 n(n −1)

∞

18.2. å(3n2 + 7n + 4)xn .

n=0

∞

18.4. å(2n2 + 4n + 3)xn+2 .

n=0

∞

18.6. å(2n2 + 5n + 3)xn+1 .

n=0

∞

18.8. å(2n2 + 8n + 5)xn .

n=0

∞

18.10. å(3n2 + 7n + 5)xn .

n=0

∞

18.12. å(n2 − n +1)xn .

n=0

∞

18.14. å(3n2 + 5n + 4)xn+1 .

n=0

∞

18.16. å(2n2 − n − 2)xn+1 .

n=0

∞

18.18. å(n2 + 2n −1)xn+1 .

n=0

∞

18.20. å(n2 + 4n + 3)xn+1 .

n=0

∞

18.22. å(2n2 − 2n +1)xn .

n=0

∞

18.24. å(n2 − 2n + 2)xn .

n=0

152

∞

18.25. å(n2 − 2n − 2)xn+1 .

n=0

∞

18.27. å(n2 + 6n + 5)xn+1 .

n=0

∞

18.29. å(2n2 + n +1)xn+1 .

n=0

∞

18.31. å(n2 + 9n + 5)xn+1 .

n=0

∞

18.26. å(4n2 + 6n + 5)xn .

n=0

∞

18.28. ån(2n +1)xn+2 .

n=0

∞

18.30. å(2n2 + n −1)xn .

n=0

Задача 19. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x .

9

19.1. 20 − x − x2 .

19.3. ln(1− x − 6x2 ).

19.5. sh2x x − 2 .

x

19.7. 327 − 2x .

19.9. (x −1)sin5x.

6

19.11. 8 + 2x − x2 .

19.13. ln(1− x −12x2 ).

19.15. arcsinx −1.

x

19.17. x2 4 − 3x .

19.19. 2xsin2 (x2) − x .

5

19.21. 6 + x − x2 .

19.23. ln(1+ x −12x2 ).

x2

19.2.4 − 5x .

19.4. 2xcos2 (x2) − x .

7

19.6. 12 + x − x2 .

19.8. ln(1+ x − 6x2 ).

19.10. ch3x −1 .

x2

1

19.12. 416 − 3x . 19.14. (3 + e− x )2 .

7

19.16. 12 − x − x2 . 19.18. ln(1+ 2x − 8x2 ).

19.20. (x −1)shx.

19.22. x 327 − 2x .

19.24. sin3x − cos3x . x

153