a = ( y + z)i + (x − 2y + z) j+ xk,

8.28.	ì	2	+ y	2	=1,
S :	ïx
	í	= x2 + y2 , z = 0.
	ïz
	î
a = (3x − y − z)i + 3yj+ 2zk,
8.29. S :	{z = x2 + y2 , z = 2y.
a = (x + y)i + ( y + z) j+ (z + x)k,
8.30.	ìy = 2x, y = 4x, x =1,
S :	í	= y2 , z = 0.
	îz

a= (x + z)i + yk,

8.31.ìïz = 8 - x2 - y2 ,

S : í

ïîz = x2 + y2.

Задача 9. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормал внешняя).

a = x2i + xj+ xzk,

9.1.		ïz = x			2	+ y	2	, z	=1,
	S :	ì
		í	x	= 0, y = 0 (1 октант).
		ï
		î
	a = (x2 + y2 )i + (x2 + y2 )j+ (x2 + y2 )k,
9.2.	S :	ì		= x		+ y		,
		íz			2		2

îz = 0, z =1.

a = x2i + y2 j+ z2k,

9.3.		ì		2 +	y	2 +	z	2 =		4,
	S :	ïx
		í	x	2 +y2		= z2 (z ³ 0).
		ï
		î
	a = xzi + zj+ yk,
9.5.	S :	ì		2 +	y	2 =	1	-	z,
		íx
		îz = 0.

a= x2i + yj+ zk,

9.4.ìïx2 + y2 + z2 =1, S : íïîz = 0 (z ³ 0).

a= 3xzi − 2xj+ yk,

9.6.	S :	ìx + y + z = 2, x =1,
		í
		îx = 0, y = 0, z = 0.

210

	a = x2i + y2 j+ z2k,									9.8. a = x3i + y3j+ z3k,
9.7.		ì		2	+ y	2	+ z	2	= 2,
	S :	ïx								S : x2 + y2 + z2 =1.
		í	z	= 0 (z ³				0).
		ï
		î

a = (zx + y)i + (zy - x) j - (x2 + y2 )k,

9.9.	ïx			+ y			+ z		=1,
	ì		2			2		2
S :	í	z	= 0		(z ³ 0).
	ï
	î

9.10. a = y2 xi + z2 yj + x2 zk, S : x2 + y2 + z2 = 1.

a = x2i + y2 j+ z2k,

		ì	2		2		2
9.11.	S :	ïx		+ y		+ z		=1,
		íx = 0, y = 0, z = 0
		ï(1 октант).
		î

a = (zx + y)i + (xy - z) j + (x2 + yz)k,

a = x2i + xyj+ 3zk,

9.12. ìx2 + y2 = z2 ,

S : í

îz = 4.

9.13.

S :

ì

2

+ y

2

= 2,

íx

îz = 0, z =1.

a = xy2i + x2 yj + zk,

9.14.

ì

2

+ y

2

=1,

z = 0, z =1,

S :

ïx

íx = 0, y = 0

ï(1 октант).

î

a = xyi + yzj+ zxk,

9.15.

ì

2

+ y

2

+ z

2

=16,

S :

ïx

í

x

2

+y2 = z2 (z ³ 0).

ï

î

a = x2i + y2 j+ 2zk,

ì

2

2

1

9.17.

S :

ïx

+ y

=

,

4

í

ï

= 0, z = 2.

îz

a = 3x2i - 2x2 yj+ (2x -1) zk,

	9.16.			ì		2	+ y		2	=1,
		S :		íx
				îz = 0, z =1.
	a = xyi + yzj+ xzk,
9.18.	S :	ì	2 +	y	2		=	4,
		íx
		îz = 0, z =1.

211

a = xyi + yzj + zxk,

		ì	2		2		2			a = zi + yzj− xyk,
9.19.	S :	ïx		+ y		+ z		=1,	9.20.	S :	ìx2 + y2 = 4,
		íx = 0, y = 0, z = 0									í
		îï (1 октант).									îz = 0, z =1.

a = (zx + y)i - (2y - x) j - (x2 + y2 )k,

9.21.	ïx			+ y			+ z		=1,
	ì		2			2		2
S :	í	z	= 0		(z ³ 0).
	ï
	î
a = (x2 + xy)i + (y2 + yz)j+ (z2 + xz)k,
9.22.	ïx			+ y			+ z		=1,
	ì		2			2		2
S :	í	x	2 + y2				= z2 (z ³ 0).
	ï
	î
a = 3x2i - 2x2 yj- (1- 2x)k,
9.23.	ì		2	+ y		2	=1,		9.24.
S :	íx
	îz = 0, z =1.
a = (y2 + xz)i + ( yx - z) j + ( yz + x)k,
9.25.	ì		2	+ y		2	=1,
S :	ïx
	í		= 0, z =
									2.
	ïz
	î

a = yi + y2 j+ yzk,

a = x2i,

ìz =1- x - y,

S : íîx = 0, y = 0, z = 0.

		ì			2			2
		ïz = x				+ y			, z =1,
9.26.	S :
		íx = 0, y = 0
		îï (1 октант).
	a = yi + 2zyj+ 2z2k,
	S :	íx		+ y			=1- z,
9.27.		ì	2			2

îz = 0.

a= y2 xi + x2 yj+ z3k3,

9.29.ìïx2 + y2 + z2 =1,

S : íïîz = 0, (z ³ 0).

a = 2xyi + 2xyj+ z2k,

		ì		2	+ y	2	+ z	2
9.28.									= 2,
	S :	ïx
		í	z	= 0 (z ³ 0).
		ï
		î

a= −xi + 2yj + yzk,

9.30.ìx2 + y2 = z2 ,

S : íîz = 4.

212

a = (y2 + z2 )i + (xy + y2 )j+ (xz + z)k,

9.31.	ì	2	+ y	2	=1,
S :	íx
	îz = 0, z =1.
Задача 10.				Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M
точке N .

F= (x2 - 2y)i + (y2 - 2x)j,

10.1.L : отрезок MN,

M(-4,0), N (0,2).

F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j,

10.3. L : 2 - x2 = y,

8

M (-4,0), N (0,2).

F= x3i - y3j,

10.5.L : x2 + y2 = 4 (x ³ 0, y ³ 0),

M(2,0), N (0,2).

F= x2 yi - yj,

10.7.L : отрезок MN,

M(-1,0), N (0,1).

F = (x + y)i + (x - y)j,

10.9. L : x2 + y2 =1 (x ³ 0, y ³ 0), 9

M (1,0), N (0,3).

F= (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j,

10.2.L : отрезок MN,

M(-4,0), N (0,2).

F= (x + y)i + 2xj,

10.4.L : x2 + y2 = 4 ( y ³ 0),

M(2,0), N (-2,0).

F= (x + y)i + (x - y)j,

10.6.L : y = x2 ,

M(-1,1), N (1,1).

F= (2xy - y)i + (x2 + x)j,

10.8.L : x2 + y2 = 9 ( y ³ 0),

M(3,0), N (-3,0).

F= yi − xj,

10.10.L : x2 + y2 =1 ( y ³ 0),

M(1,0), N (-1,0).

213

F = (x2 + y2 )i + (x2 - y2 )j,

ìx, 0 £ x £1;

10.11. L : í

î2 - x, 1 £ x £ 2; M (2,0), N (0,0).

F= xyi + 2yj,

10.13.L : x2 + y2 =1 (x ³ 0, y ³ 0),

M(1,0), N (0,1).

F = (x2 + y2 )(i + 2j),

F = yi − xj,

10.12.L : x2 + y2 = 2 ( y ³ 0),

M (2,0), N (-2,0).

F= yi − xj,

10.14.L : 2x2 + y2 =1 ( y ³ 0),

æ

1

ö

æ

1

ö

M ç

,0

÷

, N ç

-

,0

÷.

è

2

ø

è

2

ø

10.15.L : x2 + y2 = R2 ( y ³ 0),

M (R,0), N (-R,0).

F = (x + yx2 + y2 )i + (y - xx2 + y2 )j,

10.16.L : x2 + y2 =1 ( y ³ 0),

M (1,0), N (-1,0).

F = x2 yi - xy2 j,

10.17.L : x2 + y2 = 4 (x ³ 0, y ³ 0), M (2,0), N (0,2).

F = (x + yx2 + y2 )i + (y - x2 + y2 )j,

10.18.L : x2 + y2 =16 (x ³ 0, y ³ 0), M (4,0), N (0,4).

F = y2i - x2 j,	F = (x + y)2 i - (x2 + y2 )j,
10.19. L : x2 + y2 = 9 (x ³ 0, y ³ 0),	10.20. L : отрезок MN,
M (3,0), N (0,3).	M (1,0), N (0,1).

214