Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x, y , z) и υ (x, y, z)

точке М .
2.1. υ =		x3																																																																	yz2																				æ																			1													1															ö
									+ 6y3																		+ 3																	6z3														u =																							M
																																																			,																										,										ç				2,																									,																			÷.
		2																																																																		x			2
																																																																																																										2																					3
																																																																																							è																																															ø
		4																																					3																																															æ					1																										ö
2.2. υ =									6						-												6					+																				u = x												2		yz					3								M																																3
																																														,																											,													ç	2,												,																		÷.
					x																		9y																		z																																																		3															2
																																																																																						è																															ø
																														y3																				4z3																									z			3													æ			1																																		ö
2.3. υ = 9																	3																																																																																																							3
								2x													-																						-																					u =																							M
																																																										,																							,										ç									, 2,																											÷.
																																																																									xy2																					3																									2
																											2								2																3
																																																																																											è																																				ø
2.4. υ =		3		+							4									-							1																					u			=											z													M					æ														1												ö
																																							,																													,												ç1,							2,																			÷.
		x											y																																													x			3		y		2
																														6z
																																																																																è																				6 ø
2.5. υ =		x3																																																																		x2																			æ																			1													1															ö
									+ 6y3																		+ 3																	6z3														u =																							M
																																																			,																										,										ç				2,																									,																			÷.
		2																																																																	yz					2
																																																																																																										2																					3
																																																																																							è																																															ø
																													y2																																																z2																	æ					1																																			ö
2.6. υ = 3																	2																																									3																																																																		2
								2x													-																		+ 3													2z														u =																							M
																																																												,																						,												ç									,			2,																												÷.
																																																																													xy2																						3																				3
																															2
																																																																																														è																																								ø
2.7. υ = 6																																																																													xz2																	æ						1																			1															ö
								6x3 - 6																											6y3 + 2z3,																																u =																						M
																																																																																				,										ç																		,																			, 1÷.
																																																																														y
																																																																																																							6																6
																																																																																														è																																								ø
																																						2																								yz				2														æ						1													1																		1 ö
2.8. υ =					6						-														6				+																							u =																									M
																																														,																							,											ç											,																,																				÷.
		2x																	2y																	3z																												x
																																																																																è 2																				2																			3 ø
																													y2																																																xy			2														æ					1																																			ö
2.9. υ = 3																	2																																									2																																																																			2
								2x													-																		- 3													2z														u =																							M
																																																												,																							,											ç									,			2,																												÷.
																																																																													z2																						3																				3
																															2
																																																																																														è																																								ø
2.10. υ =			3						+								4						-								1																			u =										x3 y2																		M				æ																		1						ö
																																											,																											,												ç1,							2,																				÷.
			x														y																																															z
																																	6z																																																	è																					6 ø
								4																																											1																											1																æ												1																					1							ö
2.11. υ = -																			2																	2
																								+																			+																,					u =																					,				M ç											2,																	,																				÷.
														x																	9y																																												x			2	yz																											3
																																																					3z																																									è																																	6 ø
			6														2										3																																						x2																					æ																																									ö
2.12. υ =									+														-																	3														u =																									M																																											3
																																																,																									,													ç					2,												2,																									÷.
			x														y																																														y			2 z3																																																			2
																													2 2z
																																																																																						è																																									ø

198

2.13. υ = x2 + 9y2 + 6z2 ,																																														u = xyz,																				M						æ							1									1											ö
																																																																								ç1,										,																		÷.
																																																																															3
																																																																								è																				6							ø
	2									3																																											y3																		æ																												1								ö
2.14. υ =		+																			-										6												u =																					M													2											3
																																				,																							,												ç								,													,															÷.
	x									2y																	4z																									x2 z																									3											2											2
																																																																							è																																				ø
2.15. υ =																					3y2																																																																		æ												2																				1										ö
		2x2 -																														- 6													2z2 ,												u = xy2 z,																								M
																																																																																							ç1,																				,																						÷.
																																																																																																			3
																											2																																																												è																																6 ø
																																							2																					x																	æ		1																			1																					1 ö
2.16. υ = -								6							+											6						-																	u =																							M
																																												,																					,												ç										,																				,																						÷.
				2x																	2y																3z																					yz				2
																																																																																																			2
																																																																													è 2																																										3 ø
	6									2																																												y2 z3																					æ																																												ö
2.17. υ =		+															+																	3												u =																								M																																												3
																																								,																								,											ç				2,													2,																													÷.
	x										y																																													x2																																																					2
																					2										2z
																																																																											è																																												ø
		1																									2												3																								y2 z3																					æ				1																																														ö
2.18. υ =												-																2					-													3								u =																							M																																																							3
																																																	,																								,											ç																	,								2,																									÷.
																								y																		2z																									x																																																														2
			2x																																																																																	è								2																																										ø
2.19. υ = 6																																																																							y																æ												1																				1															ö
					6x3 - 6																												6y3 + 2z3,																										u =																						M
																																																																											,												ç																						,																				, ?÷.
																																																																					xz				2
																																																																																																			6																				6
																																																																																							è																																															ø
2.20. υ = x2 - y2 - 3z2 ,																																										u =										yz			2									M							æ				1												1												1 ö
																																																											,												ç								,																,																					÷.
																																																					x
																																																																							è						2											2																					3 ø
	3x2																		y2																																											z2																	æ					2																																				ö
2.21. υ =																																												2																																																																				2
										-																	+												2z							,						u =																			,					M ç													, 2,																														÷.
																																																												x		2 y2																						3																									3
		2																			2
																																																																															è																																								ø
	x3																	y3															8z3																										x2																		æ																																																ö
2.22. υ =								-																			-																					u =																								M																																															3
																																										,																								,											ç							2,															2,																										÷.
																																																								y2 z3																																																												2
		2																			2															3
																																																																													è																																																ø
	3																																																																												æ											1																												ö
2.23. υ =							2																			2																2																		2							3																																										3
				x						+								3y											- 2z														,						u = x												yz								,					M ç								2,															,																			÷.
	2																																																																																							3																					2
																																																																													è																																							ø
																												y				3											4z3																							xy2																		æ				1																																					ö
2.24. υ = 9															3																																																																																																							3
					2x														-																				-																	u =																					M
																																																				,																					,											ç								,							2,																										÷.
																																																																			z			3																		3																												2
																					2											2															3																																					è																																									ø
2.25. υ =																					3y2																																																		1																	æ											2																				1 ö
		2x2 -																														- 6													2z2 ,												u =																								M
																																																																													,											ç1,																						,																					÷.
																																																																			xy					2		z																									3
																											2
																																																																																								è																																					6 ø

199

2.26. υ = x2 + 9y2 + 6z2 ,

u =

1

M

æ

1

1

ö

,

ç1,

,

÷.

xyz

3

è

6 ø

1

2

3

x

æ

1

ö

2.27. υ =

-

2

-

3

u =

M

3

,

,

ç

,

2,

÷.

y

2z

y2 z3

2

2x

è

2

ø

4

1

æ

1

1

ö

2.28. υ = -

2

+

2

+

u = x2 yz,

M

,

ç

2,

,

÷.

x

9y

3

3z

è

6

ø

x3

y

3

8z3

y2 z3

æ

ö

2.29. υ =

-

-

u =

M

3

,

,

ç

2,

2,

÷.

x2

2

2

2

3

è

ø

3x3

2

y3

x2 z

æ

1

ö

2.30. υ = -

2

3

2

3

3z

u =

M

+

+ 8

,

,

ç

,

,

÷.

3

x2

3

2

2

2

è

ø

2.31. υ = x2 - y2 - 3z2 ,

x

æ

1

1

1 ö

u =

,

M ç

,

,

÷.

yz

2

2

2

è

3 ø

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a.

3.1. a = 4yi − 9xj.

3.2. a = 2yi + 3xj.

3.3. a = 2xi + 4yj.

3.4. a = xi + 3yj.

3.5. a = xi + 4yj.

3.6. a = 3xi + 6zk.

3.7. a = 4zi − 9xk.

3.8. a = 2zi + 3xk.

3.9. a = 4yj + 8zk.

3.10. a = yj + 3zk.

3.11. a = 2xi + 8zk.

3.12. a = xi + 3zk.

3.13. a = 4zj − 9yk.

3.14. a = 2zj + 3yk.

3.15. a = 5xi +10yj.

3.16. a = 2xi + 6yj.

3.17. a = yj + 4zk.

3.18. a = xi + yj.

3.19. a = 9yi − 4xj.

3.20. a = 5yi + 7xj.

3.21. a = 6xi +12zk.

3.22. a = 2yj + 6zk.

3.23. a = 4xi + yj.

3.24. a = 9zi − 4xk.

3.25. a = xi + zk.

3.26. a = 5zi + 7xk.

3.27. a = 7 yj +14zk.

3.28. a = 2xi + 6zk.

200

3.29. a = 4xi + zk.

3.30. a = 5zj + 7 yk.

3.31. a = 9zj − 4yk.

Задача 4. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S , вырезаемую плоскостями P1, P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

a = xi + yj + zk.		a = xi + yj − zk.
4.1. S : x2 + y2	=1,	4.2. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 2.		P1 : z = 0, P2 : z = 4.
a = xi + yj + 2zk.		a = xi + yj + z3k.
4.3. S : x2 + y2	=1,	4.4. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 3.		P1 : z = 0, P2 : z =1.
a = xi + yj + xyzk.		a = (x - y)i + (x + y) j+ z2k.
4.5. S : x2 + y2	=1,	4.6. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 5.		P1 : z = 0, P2 : z = 2.
a = (x + y)i - (x - y) j+ xyzk.		a = (x3 + xy2 )i + (y3 + x2 y)j+ z2k.
4.7. S : x2 + y2	=1,	4.8. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 4.		P1 : z = 0, P2 : z = 3.
a = xi + yj + sin zk.		a = xi + yj + k.
4.9. S : x2 + y2	=1,	4.10. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 5.		P1 : z = 0, P2 : z = 2.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности	S ,	вырезаемую плоскостью P
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
4.11. a = (x + xy2 )i + (y - yx2 )j + (z - 3)k, S : x2 + y2	= z2	(z ³ 0), P : z =1.

4.12.	a = yi - xj + k, S :	x2 + y2 = z2 (z ³ 0), P :	z = 4.
4.13.	a = xyi - x2 j+ 3k,	S : x2 + y2 = z2 (z ³ 0),	P : z =1.

201

4.14. a = xzi + yzj + (z2 -1)k, S : x2 + y2

= z2 (z ³ 0),

P : z = 4.

4.15. a = y2 xi - yx2 j+ k,

S : x2 + y2

= z2

(z ³ 0),

P : z = 5.

4.16. a = (xz + y)i + ( yz - x) j+ (z2 - 2)k,

S : x2 + y2

= z2

(z ³ 0),

P : z = 3.

4.17. a = xyzi - x2 zj+ 3k,

S : x2 + y2

= z2

(z ³ 0),

P : z = 2.

4.18. a = (x + xy)i + (y - x2 )j + (z -1)k,

S : x2 + y2 = z2

(z ³ 0),

P : z = 3.

4.19. a = (x + y)i + ( y - x) j+ (z - 2)k,

S : x2 + y2

= z2 (z ³ 0),

P : z = 2.

4.20. a = xi + yj + (z - 2)k, S : x2 + y2

= z2 (z ³ 0),

P : z =1.

4.21. a = (x + xz)i + yj+ (z - x2 )k,

S : x2 + y2 + z2 =4 (z ³ 0),

P : z = 0.

4.22. a = xi + (y + yz2 )j+ (z - zy2 )k,

S : x2 + y2 + z2 =4,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.23. a = (x + z)i + ( y + z) j+ (z - x - y)k,

S : x2 + y2 + z2 =4,

P : z = 0 (z ³ 0).

4.24. a = (x + xy)i + (y - x2 )j+ zk,

S : x2 + y2 + z2 =1,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.25. a = (x + z)i + yj+ (z - x)k, S : x2 + y2 + z2 =1,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.26. a = xi + ( y + yz) j + (z - y2 )k, S : x2 + y2 + z2 =1,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.27. a = (x - y)i + (x + y) j+ zk,

S : x2 + y2 + z2 =1,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.28. a = (x + xz2 )i + yj + (z - zx2 )k,

S : x2 + y2 + z2 =9,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.29. a = (x + y)i + ( y - x) j+ zk,

S :

x2 + y2 + z2 =4,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.30. a = (x + xy2 )i + (y - yx2 )j+ zk,

S : x2 + y2 + z2 =9,

P : z = 0

(z ³ 0).

4.31. a = xi + ( y + z) j+ (z - y)k,

S : x2 + y2 + z2 =9,

P : z = 0

(z ³ 0).

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, расположенную

в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz ).

a = xi + yj + zk

a = yj+ zk

5.1. P : x + y + z =1.

5.2.

P : x + y + z =1.

202

a= 2xi + yj+ zk

5.3.P : x + y + z =1.

a= 2xi + 3yj

5.5.P : x + y + z =1.

a = xi + 2yj+ zk

5.7. P : x2 + y + z =1.

a = xi + yj + zk

5.9. P : x + y2 + z3 =1.

a= 3xi + 2zk

5.11.P : x + y2 + z2 =1.

a= xi + 3yj − zk

5.13.P : x3 + y + z2 =1.

5.15.	a = xi − yj+ 6zk
	P : x 2 + y 3 + z =1.
5.17.	a = xi + yj + zk
	P : 2x + y 2 + z =1.

a= xi + yj + 2zk

5.19.P : 2x + y2 + z =1.

a= xi + 3yj+ 8zk

5.21.P : x + 2y + z2 =1.

a = xi + 2yj+ 5zk

5.23. z

P : x + 2y + 2 =1.

a = xi + yj+ zk

5.25. P : 2x + 3y + z =1.

a= 2xi + 3yj+ zk

5.27.P : 2x + 3y + z =1.

a= xi + 9yj+ 8zk

5.29.P : x + 2y + 3z =1.

a = xi + 3yj + 2zk

5.4. P : x + y + z =1.

a = xi + yj + zk

5.6. P : x2 + y + z =1.

a= yj+ 3zk

5.8.P : x2 + y + z =1.

a = 2xi + yj+ zk

5.10. P : x + y2 + z3 =1.

a= 2xi + 3yj+ zk

5.12.P : x3 + y + z2 =1.

a= −2xi + yj+ 4zk

5.14.P : x3 + y + z2 =1.

a= 2xi + 5yj+ 5zk

5.16.P : x2 + y3 + z =1.

a= 2xi + yj− 2zk

5.18.P : 2x + y2 + z =1.

a= −xi + yj+12zk

5.20.P : 2x + y2 + z =1.

a= xi − yj + 6zk

5.22.P : x + 2y + z2 =1.

a= xi + 4yj+ 5zk

5.24. P : x + 2y +		z	=1.
	2
5.26.	a = 2xi + yj + zk
	P : 2x + 3y + z =1.

a= 2xi + 3yj+ 4zk

5.28.P : 2x + 3y + z =1.

a= 8xi +11yj+17zk

5.30.P : x + 2y + 3z =1.

203