5.26. (2xy +

)dy + 2y2dx = 0,

y

x=−1 2

= 1.

y

5.27. ydx + (2x − 2sin2 y − ysin 2y)dy = 0,

y

x=3 2

= π 4.

5.28. 2(y3 − y + xy)dy = dx,

y

x=−2

= 0.

5.29. (2y + x tg y − y2 tg y)dy = dx,

y

x=0

= π.

5.30. 4y2dx + (e1 (2 y) + x)dy = 0,

y

x=e

= 1 2.

5.31. dx + (2x + sin 2y − 2cos2 y)dy = 0,

y

x=−1

= 0.

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

6.1. y′ + xy = (1+ x)e− x

y2 ,

y(0) =1.

6.2. xy′ + y = 2y2 ln x,

y(1) =1 2.

6.3. 2(xy′ + y) = xy2 ,

y(1) = 2.

6.4. y′ + 4x3 y = 4(x3 +1)e−4x y2 ,

y(0) =1.

6.5. xy′ − y = −y2 (ln x + 2)ln x,

y(1) =1.

6.6. 2( y′ + xy) = (1+ x)e− x y2 ,

y(0) = 2.

6.7. 3(xy′ + y) = y2 ln x,

y(1) = 3.

6.8. 2y′ + y cos x = y−1 cos x(1+ sin x),

y(

0) = 1.

6.9. y′ + 4x3 y = 4y2 e4x (1− x3 ),

y(

0) = −1.

6.10. 3y′ + 2xy = 2xy−2 e−2 x2 ,

y(0) = −1.

6.11. 2xy′ − 3y = −(5x2 + 3) y3 ,

y(1) =1

2.

6.12. 3xy′ + 5y = (4x − 5) y4 ,

y(1) =1.

6.13. 2y′ + 3y cos x = e2 x (

2 + 3cos x) y−1,

y(0) =1.

6.14. 3(xy′ + y) = xy2 ,

y(1) = 3.

114

6.15. y¢ - y = 2xy2 ,

y(0) =1 2.

6.16. 2xy¢ - 3y = -(20x2 +12) y3,

y(1) =1 2

2.

6.17. y′ + 2xy = 2x3 y3 ,

y(

0) =

2.

6.18. xy¢ + y = y2 ln x,

y(1) =1.

6.19. 2y¢ + 3y cos x = (8 +12cos x)e2 x y−1,

y(0) = 2.

6.20. 4y¢ + x3 y = (x3 + 8)e−2x

y2 ,

y(0) =1.

6.21. 8xy¢ -12y = -(5x2 + 3) y3 ,

y(1) =

2.

6.22. 2( y¢ + y) = xy2 ,

y(0) = 2.

6.23. y¢ + xy = (x -1)ex

y2 ,

y(

0) =1.

6.24. 2y¢ + 3y cos x = -e−2 x (2 + 3cos x) y−1,

y(

0) =1.

6.25. y¢ - y = xy2 ,

y(0) =1.

6.26. 2(xy¢ + y) = y2 ln x,

y(1) = 2.

6.27. y¢ + y = xy2 ,

y(0) =1.

6.28. y¢ + 2ycth x = y2 ch x,

y(1) =1 sh1.

6.29. 2( y¢ + xy) = (x -1)ex

y2 ,

y(0) = 2.

6.30. y¢ - y tg x = -(2 3) y4 sin x,

y(0) =1.

6.31. xy¢ + y = xy2 ,

y(1) =1.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

7.1.3x2 ey dx + (x3 ey -1)dy = 0.

7.2.æç3x2 + 2y cos 2yx ö÷dx - 2yx2 cos 2yx dy = 0.

è ø

7.3. (3x2 + 4y2 )dx + (8xy + ey )dy = 0.

115

	æ		y		ö	æ		1	ö
7.4.	ç	2x -1-			÷dx - ç		2y -		÷dy = 0.
			x	2				x
	è				ø	è			ø

7.5.(y2 + ysec2 x)dx + (2xy + tg x)dy = 0.

7.6.(3x2 y + 2y + 3)dx + (x3 + 2x + 3y2 )dy = 0.

æ

x

1

1

ö

æ

y

1

x

ö

7.7. ç

+

+

÷dx + ç

+

-

÷dy = 0.

ç

x

2

+ y

2

÷

ç

x

2

+ y

2

x y

2

÷

è

x y ø

è

ø

7.8. ésin 2x - 2cos(x + y)ù dx - 2cos(x + y)dy = 0.

ë

û

7.9. (xy2 + x y2 )dx + (x2 y - x2 y3 )dy = 0.

æ

1

2 ö

2y

7.10.

ç

+

3y

÷dx

-

dy = 0.

2

4

3

è x

x

ø

x

y

y

æ

1

y

ö

7.11.

cos

dx - ç

cos

+ 2y ÷dy

= 0.

x

2

x

x

è x

ø

æ

x

ö

æ

y

ö

7.12. ç

+ y ÷dx + ç x +

÷dy = 0.

ç

x

2

+ y

2

÷

ç

x

2

+ y

2 ÷

è

ø

è

ø

7.13.

1+ xy

dx +

1− xy

dy = 0.

7.14.

dx

-

x + y2

dy = 0.

x2 y

xy

2

y

y2

y

xy +1

æ

x

y ö

1

7.15.

dx

-

dy

= 0.

7.16.

ç xe

+

÷dx -

dy = 0.

x

2

x

x

2

x

è

ø

æ

1

ö

æ

5x2 +

xcos y

- y2 sin y3

ö

7.17.

ç10xy -

÷dx +

ç

÷dy = 0.

sin

2

y

è

sin y ø

è

ø

æ

y

ö

xdy

7.19. ey dx + (cos y + xey )dy = 0.

7.18.

ç

+ ex ÷dx -

= 0.

2

+ y

2

x

2

+ y

2

è x

ø

7.20.(y3 + cos x)dx + (3xy2 + ey )dy = 0.

7.21.xey2 dx + (x2 y ey2 + tg2 y)dy = 0.

7.22.(5xy2 - x3 )dx + (5x2 y - y)dy = 0.

116

7.23.éëcos(x + y2 ) + sin xùû dx + 2y cos(x + y2 )dy = 0.

7.24.(x2 - 4xy - 2y2 )dx + (y2 - 4xy - 2x2 )dy = 0.

7.25.æçsin y + ysin y + 1 ö÷dx + æç xcos y - cos x + 1 ö÷dy = 0.

è x ø è y ø

	æ		1	ö	æ		x		ö
7.26.	ç1	+		ex y ÷dx + ç1		-			ex y ÷dy = 0.
			y				y	2
	è			ø	è				ø

7.27.(x - y)dx + (x + y)dy = 0.

x2 + y2

7.28.2(3xy2 + 2x3 )dx + 3(2x2 y + y2 )dy = 0.

7.29.(3x3 + 6x2 y + 3xy2 )dx + (2x3 + 3x2 y)dy = 0.

7.30.xy2dx + y(x2 + y2 )dy = 0.

7.31.xdx + ydy + (xdy - ydx)(x2 + y2 ) = 0.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить

интегральную кривую, проходящую через точку M .
8.1. y¢ = y - x2 ,					M (1, 2).		8.2. yy′ = -2x,			M (0,	5).
8.3. y¢ = 2 + y		2			M (1, 2).		8.4. y¢ =	2x		M (1, 1).
				,					,
								3y
8.5. y′ = ( y -1)x,						M (1, 3 2).	8.6. yy′ + x = 0,				M (-2, - 3).
8.7. y¢ = 3 + y2 ,					M (1, 2).		8.8. xy′ = 2y,			M (2, 3).
8.9. y¢(x2 + 2) = y,						M (2, 2).	8.10. x2 - y2 + 2xyy¢ = 0, M (2, 1).
8.11. y′ = y - x,					M (9 2, 1).		8.12. y¢ = x2 - y,				M (1, 1 2).
8.13. y′ = xy,				M (0, -1).			8.14. y′ = xy,			M (0, 1).
8.15. yy¢ = -	x		,		M (4, 2).		8.16. 2( y + y′) = x + 3,				M (1, 1 2).
2

117

8.17. y′ = x + 2y,	M (3, 0).			8.18. xy′ = 2y, M			(1, 3).
8.19. 3yy′ = x, M (−3, − 2).				8.20. y′ = y − x2 ,			M (−3, 4).
8.21. x2 − y2 + 2xyy′ = 0,		M (−2, 1).	8.22. y′ = x2 − y, M (2,				3 2).
8.23. y′ = y − x,	M (2, 1).		8.24. yy′ = −x,		M (2,	3).
8.25. y′ = y − x,	M (4, 2).		8.26. 3yy′ = x,		M (1, 1).
8.27. y′ = x2 − y,	M (0, 1).			8.28. y′ = 3y2 3 ,		M (1, 3).
8.29. x2 − y2 + 2xyy′ = 0,		M (−2, −1).		8.30. y′ = x( y −1),			M (1, 1 2).
8.31. y′ = x + 2y,	M (1,	2).

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством что в любой ее точке M нормальный вектор MN с концом на оси Oy имеет длину

равную a , и образует острый угол с положительным направлением оси Oy .

9.1. M0 (15, 1),	a = 25.		9.2. M0 (12, 2),		a = 20.
9.3. M0 (9, 3),	a =15.		9.4. M0 (6, 4),		a =10.
9.5. M0 (3, 5),	a = 5.
Найти линию, проходящую через точку M0 , если отрезок любой ее касательной
между точкой касания и осью Oy			делится в точке	пересечения с		осью	абсцисс	в
отношении a : b (считая от оси Oy ).
9.6. M0 (1, 1),	a : b =1: 2.		9.7. M0 (−2, 3),	a : b =1:3.
9.8. M0 (0, 1),	a : b = 2 :3.		9.9. M0 (1, 0),	a : b = 3: 2.
9.10. M0 (2, −1),		a : b = 3:1.
Найти линию, проходящую через точку M0 , если отрезок любой ее касательной
между точкой касания и осью Oy			делится в точке	пересечения с		осью	абсцисс	в
отношении a : b (считая от оси Oy ).
9.11. M0 (2, −1),		a : b =1:1.	9.12. M0 (1, 2),		a : b = 2 :1.

118