IV. ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.

2.Неопределенный интеграл, его свойства.

3.Таблица неопределенных интегралов.

4.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

6.Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

7Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

8.Интегрирование иррациональных выражений.

9.Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

10.Основные свойства определенного интеграла.

11.Теорема о среднем.

12.Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона Лейбница.

13.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14.Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15.Вычисление площадей плоских фигур.

16.Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

		Теоретические упражнения
1.	Считая, что функция	sin x			равна 1 при x = 0, доказать, что она интегрируема на
			x
отрезке [0, 1].
2.	Какой из. интегралов больше:
	1		æ sin x ö2				1	sin x
	ò0		ç			÷ dx или	ò0		dx ?
					x			x
			è			ø

3.Пусть f (t) – непрерывная функция, а функции ϕ (x) и ψ (x)

дифференцируемые. Доказать, что

	d ψ (x)		f (t)dt = f éψ (x)ùψ ¢(x) - f éϕ (x)ùϕ¢(x).
	dx ϕò(x)
			ë	û	ë	û

74

d

2

4.

Найти

xò et2

dt.

dx

x

5.

Найти точки экстремума функции

x

f (x) = ò(t −1)(t − 2)e−t2 dt.

0

6.

Пусть

f (x) – непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать, что

a+T

T

ò f (x)dx = ò f

(x)dx a.

a

0

7.

Доказать, что если f (x)

– четная функция, то

0

+a

1

+a

ò f (x)dx = ò f (x)dx =

ò f (x)dx.

2

−a

0

−a

8.

Доказать, что для нечетной функции f (x)

справедливы равенства

0

+a

a

ò f (x)dx = − ò f (x)dx и ò f (x)dx = 0.

−a

0

−a

+1

2

+ x

Чему равен интеграл òsin2 xln

dx?

−1

2 − x

9.

При

каком

условии,

связывающем

коэффициенты a , b, c

интеграл

ò

ax2 + bx + c

dx является рациональной функцией?

x3 (x −1)2

10. При каких целых значениях n интеграл ò1+ x4 dx выражается элементарными

функциями.

75

Расчетные задания

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы.

ò(4 − 3x)e−3xdx.

òarctg

dx.

1.1.

1.2.

4x −1

1.3.

ò(3x + 4)e3xdx.

1.4.

ò(4x − 2)cos2xdx.

1.5.

ò(4 −16x)sin 4xdx.

1.6.

ò(5x − 2)e3xdx.

1.7.

ò(1− 6x)e2xdx.

1.8.

òln (x2 + 4)dx.

1.9.

òln (4x2 +1)dx.

1.10. ò(2 − 4x)sin 2xdx.

1.11. òarctg

dx.

1.12. òe−2x (

4x − 3)dx.

6x −1

1.13. òe−3x (2 − 9x)dx.

1.14. òarctg

dx.

2x −1

1.15. òarctg

dx.

1.16. òarctg

dx.

3x −1

5x −1

1.17. ò(

5x + 6)cos2xdx.

1.18. ò(3x − 2)cos5xdx.

1.19. ò(x

− 3)cos2xdx.

1.20. ò(4x + 7)cos3xdx.

2

1.21. ò(

2x − 5)cos4xdx.

1.22. ò(8 − 3x)cos5xdx.

1.23. ò(x + 5)sin3xdx.

1.24. ò(2 − 3x)sin 2xdx.

1.25. ò(

4x + 3)sin5xdx.

1.26. ò(7x −10)sin 4xdx.

1.27. ò(

− 8x)sin3xdx.

1.28. ò

xdx

.

2

2

x

cos

1.29. ò

xdx

.

1.30. òxsin2 xdx.

2

sin x

1.31. ò

xcos xdx

.

sin

3

x

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

0

0

2.1. ò (x2 + 5x + 6)cos2xdx.

2.2. ò(x2 − 4)cos3xdx.

−2

−2

76

2.3. ò0 (x2 + 4x + 3)cos xdx.

−1

2.5. ò0 (x2 + 7x +12)cos xdx.

−4

2.7. πò(9x2 + 9x +11)cos3xdx.

0

2.9. 2òπ (3x2 + 5)cos2xdx.

0

2.11. 2òπ (3 − 7x2 )cos2xdx.

0

2.13. ò0 (x2 + 2x +1)sin3xdx.

−1

2.15. πò(x2 − 3x + 2)sin xdx.

0

2.17. ò0 (x2 + 6x + 9)sin 2xdx.

−3

π

2.19. ò2 (1− 5x2 )sin xdx.

0

2

2.21. òxln2 xdx.

1

2.23. ò8 ln2 xdx.

1 3 x2

3

2.25. ò(x −1)3 ln2 (x −1)dx.

2

0

2.4. ò(x + 2)2 cos3xdx.

−2

2.6. πò(2x2 + 4x + 7)cos2xdx.

0

2.8. πò(8x2 +16x +17)cos4xdx.

0

2.10. 2òπ (2x2 −15)cos3xdx.

0

2.12. 2òπ (1− 8x2 )cos4xdx.

0

2.14. ò3 (x2 − 3x)sin 2xdx.

0

π

2.16. ò2 (x2 − 5x + 6)sin3xdx.

0

π

2.18. ò4 (x2 +17,5)sin 2xdx.

0

2.20. ò3 (3x − x2 )sin 2xdx.

π

4

2.22. eò2 ln2 xdx.

1 x

1

2.24. ò(x +1)ln2 (x +1)dx.

0

0

2.26. ò(x + 2)3 ln2 (x + 2)dx.

−1

77