MatAnal2

< n < µk

15. Числовые ряды	25

а номер mk выберем таким, что

p1 +· · ·+pn1 −q1 −· · ·−qm1 +· · ·+pnk−1+1 +· · ·+pnk −qmk−1+1 −· · ·−qmk < α,

p1+· · ·+pn1 −q1−· · ·−qm1 +· · ·+pnk−1+1+· · ·+pnk −qmk−1+1−· · ·−qmk −1 ≥ α.

Существование таких номеров nk и mk следует из расходимости рядов

(15.21) и (15.22).

Таким образом, мы получаем перестановку ряда (15.20). Покажем, что переставленный ряд сходится к числу α. Через Sn обозначим частичные суммы переставленного ряда. Пусть νk = nk + mk, ν0 = 0, µk = mk−1 + nk. Тогда νk−1 < µk < νk. В силу выбоа чисел nk и mk имеем 0 < Sµk − α ≤ pnk , 0 < α−Sνk ≤ qmk , а из сходимости ряда (15.20) следует, что pnk и qmk

стремятся к нулю, так что limk→∞ Sνk = α и limk→∞ Sµk = α. Кроме того,

по выбору номеров nk и mk имеем Sνk−1 ≤ Sn ≤ Sµk при νk−1

и Sνk ≤ Sn ≤ Sµk , если µk < n < νk. Отсюда следует, что limn→∞ Sn = α,

чем завершается доказательство первой части теоремы.

Опишем схему доказательства остальных утверждений теоремы. Если мы хотим построить такую перестановку ряда (15.20), чтобы частичные суммы переставленного ряда стремились к +∞, то достаточно на пер-

вом шаге взять столько первых неотрицательных слагаемых, чтобы их сумма была большей, чем 1, а затем одно отрицательное слагаемое. На

втором шаге выберем очередные неотрицательные слагаемые так, чтобы частичная сумма была большей, чем 2, а за ними расположить второе

отрицательное слагаемое. Продолжая этот процесс, очевидно, получим требуемую перестановку ряда (15.20).

Аналогично строится перестановка, частичные суммы которой стремятся к −∞. Легко также построить и такую перестановку ряда (15.20),

у которой частичные суммы колеблются и не имеют ни конечного, ни бесконечного пределов.

26	Третий семестр

15.4.3Умножение рядов. Теорема Коши

Рассмотрим два ряда

X∞

an	(15.23)
n=1
и
∞
X
bn.	(15.24)

n=1

Составим всевозможные произведения aibj и расположим их в матрицу

a1b1	a1b2	a1b3 . . .
	a2b2	a2b3 . . .
a2b1
a3b1	a3b2	a3b3 . . .	.
. . .	. . .	. . . . . .

Элементы этой бесконечной матрицы различными способами можно располагать в последовательность и тем самым получать различные ряды.

Теорема Коши. Пусть ряды (15.23) и (15.24) сходятся абсолютно.

Тогда ряд, слагаемыми которого являются всевозможные произведения aibj , взятые в произвольном порядке и без повторений, сходится и его сумма равна произведению сумм рядов (15.23) и (15.24).

Доказательство. Пусть элементы матрицы расположены в после-

довательность каким-либо способом и составлен соответствующий ряд. Пусть Sn и σn – частичные суммы полученного ряда и ряда, составлен-

ного из модулей его слагаемых, соответственно. Для доказательства абсолютной сходимости ряда достаточно показать ограниченность последовательности {σn}. Пусть K – наибольший из номеров i и j, таких, что слагаемое |aibj | входит в σn. Тогда, очевидно,

σn ≤ (|a1| + · · · + |aK |) (|b1| + · · · + |bK |) .

Но, в силу абсолютной сходимости рядов (15.23) и (15.24),

K	K
X	X
|ai| ≤ A,	|bj | ≤ B,
i=1	j=1

15. Числовые ряды	27

где A и B – постоянные. Поэтому σn ≤ A · B (n = 1, 2, . . . ), и тем самым

доказана абсолютная сходимость ряда из произведений.

В силу теоремы о сходимости перестановки абсолютно сходящегося ряда, для доказательства оставшейся части теоремы достаточно показать,

что сходится к A1 · B1, где A1 =		∞			∞
		i=1 ai, B1	=		j=1 bj , ряд, в котором
слагаемые как элементы	матрицы занумерованы по квадратам. В этом
		P		P

случае

Sn2 = (a1b1) + (a1b2 + a2b1 + a2b2) + · · ·+ (a1bn + · · · + anbn + · · · + anb1) = = (a1 + · · · + an) (b1 + · · · + bn) = Sn0 · Sn00,

где Sn0 и Sn00 – частичные суммы рядов (15.23) и (15.24), соответственно.

Но так как ряд из произведений сходится и

Sn2 = Sn0 · Sn00 → A1 · B1 (n → ∞),

то и Sn → A1 · B1 при n → ∞, что и доказывает теорему.

15.5Бесконечные произведения

Определение. Пусть {pn}∞n=1 – последовательность действительных чисел. Положим Π1 = p1, Π2 = p1p2, . . . , Πn = p1p2 . . . pn, . . . . Если последовательность {Πn} имеет конечный, отличный от нуля пре-

дел, то говорят, что бесконечное произведение сходится, и обозначают

∞

p

n

= lim

n→∞

Π . В противном случае говорят, что бесконечное про-

n=1

n

изведение

∞

расходится.

n=1 pn

Q

Q

∞

1

1

Пример 1. Вычислить Qn=1 ³1

−

´. Здесь pn = 1 −

,

(n+1)2

(n+1)2

Πn = p1 . . . pn = µ1 −

1

1

1

¶ µ1 −

¶

. . . µ1 −

¶ =

22

32

(n + 1)2

=

22 − 1

·

32 − 1

. . .

(n + 1)2 − 1

=

22

32

(n + 1)2

=

(2 − 1)(2 + 1)

·

(3 − 1)(3 + 1)

. . .

n(n + 2)

=

2

·

2

3

·

3

(n + 1)(n + 1)

28	Третий семестр

=

1

3 2 4 3

. . .

n − 2

n

n − 1

n + 1

n

n + 2

=

1

n + 2

,

· 2 · 3 · 3

·

4

·

n − 1 ·

·

n

· n + 1

·

2

n − 1

n

n + 1 2

· n + 1

limn→∞ Πn =

1

n+2

1

. Следовательно, данное бесконечное про-

2 limn→∞ n+1

= 2

изведение сходится и

∞

1

1

Y

¶ =

n=1 µ1 −

(n + 1)2

2

.

ϕ

ϕ

Q

∞

ϕ

¡ ϕ

¢

1

ϕ

Пример 2. Вычислить

n=1 cos

2n

|ϕ| <

2

. Имеем pn = cos

2n

,

Πn = cos

cos

. . . cos

ϕ

= cos

cos

. . .

cos

ϕ

sin

ϕ

=

ϕ

2

·

4

2n

2 ·

4

³

2n

2n

´ sin

2n

ϕ

ϕ

ϕ

µ

1

ϕ

¶

1

= cos

· cos

. . . cos

sin

=

2

4

2n−1

2

2n−1

sin

ϕ

2n

ϕ

ϕ

ϕ

1

ϕ

1

1

1

1

= cos

· cos

. . . cos

·

sin

·

= · · ·

=

sin ϕ

,

2

4

2n

−

2

2

2n

−

2

2 sin

ϕ

2n

sin

ϕ

n

n

2

2

nlim Πn = sin ϕ nlim

1/2n

=

sin ϕ

( ϕ 6 = 0) .

sin (ϕ/2n)

ϕ

→∞

→∞

Если же ϕ = 0, то каждое pn = 1, Πn = 1 и limn→∞

Πn

= 1. Таким об-

и

¡ |

|

<

2 ¢

разом, данное бесконечное произведение сходится при любом ϕ

ϕ

π

∞

ϕ

sin ϕ ,

ϕ = 0,

ϕ < π ,

Y

= (

ϕ = 06.

|

|

cos

1,ϕ

2

n=1

2n

Простейшие свойства бесконечных произведений.

Теорема 1 (необходимое условие сходимости). Если бесконечное

произведение

Q

∞

p

n

сходится, то lim

n→∞

p

n

= 1.

n=1

Πn = α = 0, то

Поскольку Πn = pnΠn

1 и limn

Доказательство.

−

→∞

6

Πn

pn =

Πn−1

→ 1 (n → ∞).

Теорема 2. Для того чтобы бесконечное произведение

∞

Y

pn (pn > 0)

(15.25)

n=1

15. Числовые ряды						29
сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
	∞
	X	ln pn.				(15.26)
	n=1	Qk			P
	n			n		n
	Πn =	n
Доказательство. Пусть			=1 pk, Sn =			k=1 ln pk. Тогда
	Y			X
ln Πn = ln	pk =			ln pk = Sn.
	k=1			k=1

Если сходится произведение (15.25), то последовательность {Πn} имеет

положительный предел, а значит, имеет предел и последовательность

{ln Πn} и, следовательно, последовательность {Sn}, т. е. сходится ряд

(15.26). Если сходится {Sn}, то сходится и ©eSn ª и, следовательно, сходится и {Πn}, и limn→∞ Πn 6= 0.

Теорема 3. Пусть задана последовательность чисел {an} одного знака, an > −1 (n = 1, 2, . . . ). Тогда бесконечное произведение

Y∞

(1 + an)	(15.27)
n=1
сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд
∞
X
an.	(15.28)

n=1

Доказательство. По теореме 2, сходимость произведения (15.27) эк-

вивалентна сходимости ряда

X∞

ln (1 + an) .

(15.29)

n=1

Если все an > 0, то слагаемые ряда (15.29) положительные, а если an <

0, то все слагаемые ряда (15.29) отрицательные. В любом случае имеем знакопостоянный ряд (15.29), к которому можем применить признак

сравнения в предельной форме. В силу этого признака, из равенства

30		Третий семестр
limn→∞	ln(1+an)	= 1, справедливого при условии an → 0 (n → ∞), следу-
	an

ет, что ряд (15.29) сходится или расходится одновременно с рядом (15.28). Заметим, что условие an → 0 (n → ∞) является необходимым как для сходимости произведения (15.27), так и для сходимости ряда (15.28).

и,

Пример 1. Выше мы уже рассмотрели бесконечное произведение

³

´

P

³

´

Q

∞

1

1

1

∞

n=1

1

−

(n+1)2

. Здесь an = −

(n+1)2

. Ряд

n=1

−

(n+1)2

сходится

следовательно, сходится и данное произведение.

´. В этом при-

∞

1

Пример 2.1

Рассмотрим произведение

n=11³1 −

n+1

P

P

мере a

=

и ряд

∞

a

=

∞ Q

расходится. Значит,

−n+1

n

n

n=1

n=1

³

−n+1

расходится и данное произведение.

´

∞

n

Пример 3. Исследуем на сходимость Qn=1

√

. Имеем

n2+1

pn =

√

n

= 1 +

√

n

− 1,

n2 + 1

n2 + 1

1 =

n − √

=

a =

n

n2 + 1

−1

1

1

.

n

√n2 + 1 −

√n2 + 1

√n2 + 1

· n + √n2 + 1 −2n2

1

∞

При n = 1, 2, . . . имеем an < 0 и an

2−n2

, так что ряд Pn=1 an

сходится.

Следовательно, сходится и данное произведение.

16. Функциональные последовательности и ряды

Пусть на множестве E задана последовательность функций
{fn(x)}n∞=1 .	(16.1)

Предположим, что для любого фиксированного x E числовая последовательность fn(x) имеет предел при n → ∞. Тогда для x E получаем limn→∞ fn(x) ≡ f (x), где f – некоторая функция, определенная на E. Эту функцию называют предельной функцией последовательности (16.1) и

говорят, что последовательность (16.1) сходится к функции f поточечно.

Пример 1. Пусть fn(x) = xn (0 ≤ x ≤ 1). Тогда для 0 ≤ x < 1 имеем

lim fn(x) = lim xn = 0,

n→∞ n→∞

а limn→∞ fn(1) = limn→∞ 1 = 1. Поэтому получаем

f (x) = lim xn =	(	0,	0 ≤ x < 1,
n→∞		1,	x = 1.

Получили, что последовательность непрерывных функций сходится к разрывной функции.

Пример 2. Пусть fn(x) =

1

(x

≥ 0). Тогда

1+nx

lim

1

0,

x > 0,

1 + nx = ( 1, x = 0.

f (x) = n→∞

Пример 3. Пусть fn(x) =

nx

(x R). Каждая функция fn –

1+n2x2

нечетная. Из неравенства 2|a| ≤

2

получим, что |fn(x)| ≤

|nx|

≤

1

1 + a

1+|nx|2

2

при всех x

R. Если же x = 1

1

=

1 . Легко видеть, что

n

, то fn ¡n

¢nx

2

= 0 (x R).

f (x) = nlim fn(x) = nlim

1 + n2x2

→∞

→∞

31

32	Третий семестр
	Пусть на множестве E задана последовательность функций {un(x)}n∞=1.

Предположим, что для каждого фиксированного x E числовой ряд

	∞	u	n	(x) сходится. Обозначим его сумму через f (x). В этом случае
	n=1
будем говорить, что функциональный ряд					∞	u	n	(x) сходится поточеч-
P					n=1
но на		множестве E к функции f .			P

Замечание. Из данных выше определений видно, что поточечная схо-

димость функционального ряда эквивалентна поточечной сходимости по-

n

следовательности его частичных сумм {Pk=1 uk(x)}.∞ x2

R).

Пример 4. Пусть дан функциональный ряд

n=0

(1+x2)n

(x

При каждом фиксированном

x = 0

этот ряд

представляет собой геомет-

6

1

P

рическую прогрессию со знаменателем q =

(|q| < 1). Поэтому

1+x2

∞

x2

x2

X

= 1 + x2

(x 6= 0).

(1 + x2)n =

−

1

1 2

f (x) =

n=0

1+x

∞

x2

∞

Если x = 0, то, очевидно, Pn=0

= Pn=0

0 = 0. Итак,

(1+x2)n

∞

x2

1 + x2, x = 0,

X

= ( 0, x = 0, 6

f (x) = n=0

(1 + x2)n

т. е. сумма ряда, слагаемые которого – непрерывные функции, оказалась разрывной функцией.

16.1Равномерная сходимость

Определение. Пусть на множестве E задана последовательность функций fn (n = 1, 2, . . . ), сходящаяся на E поточечно к функции f . Говорят, что последовательность {fn} сходится равномерно к функции f на множестве E, если для любого ε > 0 найдется такой номер N , зависящий только от ε (и не зависящий от x), что для каждого n ≥ N справедливо неравенство |fn(x) − f (x)| < ε.

Определение поточечной сходимости на множестве E в кванторах мож-

но записать следующим образом:

x E ε > 0 N = N (ε, x) : n ≥ N |fn(x) − f (x)| < ε,

16. Функциональные последовательности и ряды	33

а равномерной сходимости – так:

ε > 0 N = N (ε) : n ≥ N x E |fn(x) − f (x)| < ε.

В определении поточечной сходимости номер N зависит, вообще говоря, от ε и от x, а в определении равномерной сходимости N зависит только от ε и не зависит от x. Иначе говоря, поточечная сходимость будет равномерной, если для заданного ε > 0 номер N можно подобрать так, чтобы

он был пригоден сразу для всех x E.

Теперь видно, что свойство равномерной сходимости не слабее, чем свойство поточечной сходимости, т. е. из равномерной сходимости следует поточечная сходимость. Обратное неверно. Может оказаться, что для каждого ε > 0 и для x E найдется номер N = N (ε, x), но для всех сразу

x E номер N , не зависящий от x, может и не существовать. Приведем

Пример 1. Пусть fn(x) = xn (x E ≡ [0, 1]). Мы уже видели, что

lim f	(x) =	(	0,	0 ≤ x < 1,
f (x) = n→∞ n			1,	x = 1.

Если бы последовательность {xn} сходилась к функции f равномерно, то неравенство |xn − f (x)| < ε при достаточно больших n (n ≥ N (ε)) должно было быть выполненным сразу для всех x E. Но это не так, поскольку при фиксированном n имеем limx→1−0 xn = 1, так что в любой левой полуокрестности точки x0 = 1 найдется такая точка x1 < 1, что xn1 > 12 . Поэтому если мы возьмем ε0 = 12 , то получим неравенство |xn1 − 0| ≥ ε0.

Окончательно имеем

ε0 µε0 =	1	¶ :	N n ≥ N (n = N ) x1 = x1(ε, n) E :
	2

|fn (x1) − f (x1)| ≥ ε0.

Это означает, что данная последовательность не является равномерно сходящейся на множестве E.

В этом примере "плохие" точки x1, т. е. такие, в которых выполнено неравенство |fn (x1) − f (x1)| ≥ ε0, находятся вблизи точки x0 = 1. Если же мы отделимся от x0, т. е. рассмотрим последовательность {xn} на

34 Третий семестр

множестве Eδ = [0, 1 − δ], где δ > 0 – произвольное число, то сходимость данной последовательности к функции f (x) ≡ 0 на множестве Eδ уже

будет равномерной. Действительно, в этом случае

|fn(x) − f (x)| = xn ≤ (1 − δ)n < ε (0 ≤ x ≤ 1 − δ),

		h			i
если только n ≥ N (ε), где N (ε) =			ln ε		+ 1 не зависит от x Eδ.
			ln(1−δ)
Пример 2. Для последовательности функций fn(x) =						nx		(x
						1+n2x2
E ≡ R) ранее мы показали, что		nx
f (x) = nlim				= 0 (x R).
	1 + n2x2
→∞

Поэтому |fn(x) − f (x)| → 0 (n → ∞) при каждом фиксированном x R. Однако при фиксированном n наибольшее значение функция fn(x) =

nx

достигает в точке xn =

1

и это значение равно fn

1

=

1

. Та-

2

x

2

n

n

2

1+n

1

неравенство |fn(x) − f (x)| < ε0 не¡

может быть

ким образом, для ε0 = 2

¢

выполненным сразу для всех x R. Значит, последовательность {fn}

сходится к функции f ≡ 0 на R, но неравномерно, т. е.

1

1

ε0

µε0 =

¶ : N n ≥ N (n = N )

x1

µx1 =

¶ : |fn (x1) − f (x1)| ≥ ε0.

2

n

Если же зафиксировать число δ > 0, то нетрудно показать, что на

множестве Eδ = [δ, +∞) последовательность функций fn(x) =

nx

1+n2x2

сходится равномерно. Действительно, неравенство

|fn(x) − f (x)| =

nx

1

1

≤

≤

< ε (x Eδ)

1 + n2x2

nx

nδ

£ ¤

выполнено, если только n ≥ N (ε), где N (ε) = εδ1 +1 не зависит от x Eδ.

Геометрический смысл равномерной сходимости состоит в том, что начиная с номера N графики функций fn(x) расположены в ε-полосе графика функции f .

Равномерная сходимость ряда определяется как равномерная сходимость последовательности его частичных сумм.

Определение. Пусть на множестве E задана последовательность функ-

P∞

ций {un}. Ряд n=1 un называется равномерно сходящимся на множестве