MatAnal2

Sn+1

15. Числовые ряды	15

A (1 ≤ x < +∞). Но тогда из левого неравенства в (15.12) следует, что

≤ A + f (1) (n = 1, 2, . . . ), т. е. частичные суммы ряда (15.10) огра-

ничены сверху и поэтому этот ряд сходится.

Если же сходится ряд (15.10), то его частичные суммы Sn ограничены сверху. В силу правого неравенства в (15.12), ограниченными сверху ока-

зываются и интегралы		1n+1 f (x) dx. Но так как f неотрицательна, то F
возрастает, а из	ограниченности сверху F (n + 1) следует, что F (x) имеет
		R
предел при x → +∞, т. е. несобственный интеграл (15.11) сходится.
Пример 1. Рассмотрим ряд			P	∞	1	(s > 0). Для исследования его
					s
				n=1 n

на сходимость положим f (x) = x−s. Функция f (x) = x−s (s > 0) положи-

тельна и убывает на [1, +∞). Чтобы применить интегральный признак, вычислим R1+∞ dxxs . Имеем

Z

x

dt

=

x1−s

s 6= 1,

1−s ,

( ln x,

1

ts

s = 1.

Если s > 1, то

1x dtts →

1

(x → +∞), т. е. несобственный интеграл

s−

1

сходится и,

следовательно, сходится и данный ряд. Если же s

≤

1, то

R

R

x

1 dtts → ∞ (x → +∞), т. е. несобственный интеграл не является сходя-

щимся и, следовательно, исходный ряд расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд

∞

1

(p > 0). Полагаем f (x) =

n=2 n(ln n)p

1

признак. Имеем

x(ln x)p и применим интегральныйP

¡ −

¢

Z

x

Z

ln x dz

1

dt

(ln x)1−p

(ln 2)1−p

, p = 1,

=

=

1−p

−

6

2

t(ln t)p

ln 2 zp

( ln ln x

ln ln 2,

p = 1.

Если p > 1, то при x → +∞ несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и данный ряд. Если же p ≤ 1, то несобственный интеграл не

является сходящимся, так что и данный ряд расходится.

Пример 3. Ряд		∞	1	сходится тогда и только тогда, ко-
		n=3 n ln n(ln ln n)p
гда p > 1.	Доказательство аналогично предыдущему примеру (проведите
		P

самостоятельно).

16	Третий семестр
Упражнение. Пусть дан ряд
∞
X
an	(15.13)
n=1

с положительными слагаемыми. Докажите, что если ряд (15.13) сходится, то существует такая возрастающая к +∞ последовательность чисел

{En}, что ряд		∞	сходится. Если же ряд (15.13)	расходится, то
		n=1 anEn
∞	такая убывающая к нулю последовательность чисел				{	ε		}	, что
существует		P					n
ряд Pn=1 anεn расходится.

15.3Знакопеременные ряды и ряды со слагаемыми произвольного знака

15.3.1Признак Лейбница

P∞

Определение. Числовой ряд n=1 an называется знакопеременным

(знакочередующимся), если его слагаемые попеременно меняют знак, т. е.

если an · an+1 < 0 (n = 1, 2, . . . ).

Знакопеременный ряд можно записать в виде

X∞

u1 − u2 + u3 − u4 + · · · = (−1)n−1un,

n=1

где un ≥ 0.

Теорема Лейбница. Если модули слагаемых знакочередующегося

ряда

X∞

(−1)n−1un

(15.14)

n=1

монотонно убывают к нулю, то этот ряд сходится.

Доказательство. Обозначим через Sn частичную сумму ряда (15.14).

Рассмотрим частичные суммы с четными номерами

S2m = (u1 − u2) + (u3 − u4) + · · · + (u2m−1 − u2m) .

15. Числовые ряды	17

Так как un убывают по условию, то в каждой скобке выражение неотри-

цательно. Поэтому

S2(m+1) = S2m+2 = S2m + (u2m+1 − u2m+2) ≥ S2m.

Это означает, что последовательность {S2m}∞m=1 возрастает. С другой сто-

роны, из представления

S2m = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) − · · · − (u2m−2 − u2m−1) − u2m,

в силу монотонности uk, следует, что S2m ≤ u1. Таким образом, последовательность {S2m}∞m=1 ограничена сверху и возрастает и, следовательно, имеет предел. Обозначим S = limm→∞ S2m. Для доказательства сходимости ряда (15.14) нужно еще показать, что S2m+1 → S (m → ∞). Но это сразу следует из равенства S2m+1 = S2m + u2m+1 и условия теоремы

u2m+1 → 0 (m → ∞).

Окончательно, последовательность частичных сумм ряда (15.14) с четными и с нечетными номерами сходятся к одному и тому же пределу S. Поэтому S = limn→∞ Sn.

Знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия теоремы Лейбница, называется рядом лейбницевского типа. Теорема Лейбница утверждает, что ряд лейбницевского типа сходится.

	Пример 1. Рассмотрим полугармонический ряд			∞	(−1)n−1	. Здесь
				n=1	n
		1	лейбницевского типа. По теоре-
	un =	n и данный ряд является рядом
				P

ме Лейбница, он сходится. Ранее мы показали, что ряд, составленный из модулей слагаемых, – гармонический – расходится. Таким образом, сходимость исходного ряда обусловлена не малостью его слагаемых, а взаимной интерференцией слагаемых.

Пример 2. Приведем пример, показывающий, что в теореме Лейбни-

ца нельзя отбросить условие монотонности.

Ряд

∞

(−1)n−1

является рядом лейбницевского типа и, следователь-

n=1

√

n

но, сходится. Гармонический ряд

∞ 1

расходится. Рассмотрим знако-

P

∞

(−1)

n

−1

+ 1

n=1 n

переменный ряд

. Его слагаемые стремятся к нулю, но

n=1

√n

n

P

h

i

18 Третий семестр

их модули не монотонны. Легко видеть, что он расходится. Действитель-

но, если бы он являлся сходящимся, то сходился бы и ряд

∞ 1

, как

n=1 n

разность двух сходящихся рядов

∞

(−1)

n

−1

+ 1 и

∞

(−1)

n

−1

. Но

n=1

n i

n=1

гармонический ряд

∞ 1 расходится.h

√n

P

P √n

P

n=1 n

P

Теорема (оценка остатка ряда лейбницевского типа). Остаток после n-го слагаемого ряда лейбницевского типа имеет такой же знак,

как и его первое слагаемое, а по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого слагаемого.

Доказательство. Пусть Sn – частичные суммы ряда лейбницевского

типа		∞
		X
		(−1)n−1un,		(15.15)
		n=1
∞	n 1	∞	k 1
S = Pn=1(−1)	− un и rn =	Pk=n+1(−1)	− uk. Тогда rn = S − Sn, и мы

хотим оценить rn.

При доказательстве теоремы Лейбница мы получили, что последовательность частичных сумм ряда (15.15) с четными номерами S2m возрастает, и поэтому S2m ≤ S. С другой стороны,

S2m+1 = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) − · · · − (u2m − u2m+1) ,

откуда видно, что S2m+1 ≥ S2m+3, т. е. последовательность частичных сумм ряда (15.15) с нечетными номерами убывает и поэтому S2m+1 ≥ S.

Таким образом,

S2m ≤ S ≤ S2m+1,

откуда

0≤ S − S2m ≤ S2m+1 − S2m = u2m+1,

т.е. остаток четного порядка r2m = S − S2m удовлетворяет неравенству

0 ≤ r2m ≤ u2m+1,

что и доказывает теорему для остатков четного порядка.

Аналогично, из неравенства

S2m+2 ≤ S ≤ S2m+1

15. Числовые ряды	19

следует

0 ≥ S − S2m+1 ≥ S2m+2 − S2m+1 = −u2m+2,

т. е.

−u2m+2 ≤ r2m+1 ≤ 0,

чем доказано утверждение теоремы для остатков нечетного порядка. Итак, мы показали, что sign rn = (−1)n и |rn| ≤ un+1 для любого

n = 1, 2, . . . .

15.3.2Признаки Абеля и Дирихле

Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:

			n	n−1
			X	X
			αiβi = (αi − αi+1) Bi + αnBn,
			i=1	i=1
где Bi	=	i	βj (i = 1, 2, . . . , n). Для его доказательства обозначим
		j=1
B0 = 0.	Тогда получим
	P
	n		n		n	n
	X		X	αi (Bi − Bi−1) =	X	X
		αiβi =			αiBi − αiBi−1 =
	i=1		i=1		i=1	i=1
	n−1			n−1	n−1
	X			X	X	(αi − αi+1) Bi + αnBn,
= αiBi + αnBn − αi+1Bi =
	i=1			i=1	i=1

и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.

Лемма. Пусть числа αi (i = 1, 2, . . . , n) монотонны (возрастают или

убывают). Тогда справедливо неравенство

n

¯

¯

αiβi

≤

max

B

k|

(

α

|

+ 2

α

) .

1

k n

|

|

1

|

n|

¯i=1

¯

≤ ≤

¯X

¯

¯

¯

¯

¯

Доказательство. Применим преобразование Абеля

¯	n	αiβi	¯	=	¯n−1 (αi − αi+1) Bi + αnBn	¯	≤
¯i=1			¯		¯i=1	¯
¯X			¯		¯X	¯
¯			¯		¯	¯
¯			¯		¯	¯

20

Третий семестр

≤ 1 k n | k| Ã

|

i −

i+1|

| n|!

n−1

max B

X

α

α

+ α

=

≤ ≤

i=1

1 k n |

k|

| 1 − αn| + |αn|) ≤

1 k n

|

k| |

1|

|

n|

) ,

= max

B

( α

max

B

( α

+ 2 α

≤ ≤

≤ ≤

и тем самым лемма доказана.

Теорема (признак Абеля). Пусть последовательность {an} моно-

тонна (возрастающая или убывающая) и ограничена, а последователь-

ность b		такова, что сходится ряд	∞	b		. Тогда ряд	∞
дится.{	n}		Pn=1		n		Pn=1 anbn схо-

Доказательство основано на применении критерия Коши. В силу

этого критерия, нам нужно оценить отрезок Коши

n+p	p
k X	X
	akbk ≡ an+ibn+i.
=n+1	i=1

Обозначим αi = an+i, βi = bn+i. Пользуясь леммой, получим

n+p

¯

p

¯

¯ X

¯X

αiβi

|

k| |

1|

|

p|

¯

akbk¯ =

¯

¯ ≤ 1 k p

+ 2

α

¯

¯

¯

¯

max

B

( α

) =

¯

¯

¯

¯

≤ ≤

¯k=n+1

¯

¯i=1

¯

¯

¯¯ nX+k

= max ¯

1≤k≤p ¯

i=n+1

	¯
bi	¯	(|an+1| + 2 |an+p|) .	(15.16)
	¯
	¯
	¯

По условию, ряд

∞

b

n

сходится. Поэтому, в силу критерия Коши, для

n=1

N и при

любого ε > 0

найдется такой номер N , что при любом n

≥

P

n

¯P

n+k

¯

n

любом k N справедливо неравенство

< ε. Далее, в силу

}¯

i=n+1 bi

¯

{

такое M , что

|

a

| ≤

ограниченности последовательности a

¯, найдется¯

M (n = 1, 2, . . . ). Из неравенства (15.16), для заданного ε > 0 и n ≥ N

имеем	¯	n+p	aibi	¯	≤ 3M · ε,
	¯ X			¯
	¯			¯
	¯			¯
	¯i=n+1			¯

P∞

где произвольное p N. Таким образом, для ряда i=1 aibi выполнено

условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

k=n+1

15. Числовые ряды	21

Теорема (признак Дирихле). Пусть последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность {bn} такова, что

частичные суммы Bn =			n	ограничены, т. е. существует такое
			i=1 bi
|	| ≤		, . . . ). Тогда ряд		P	∞	a b		сходится.
M , что Bn								n
		M (n = 1, 2P				n=1	n

Доказательство. В силу неравенства (15.16), полученного при до-

казательстве предыдущей теоремы,

n+p

¯

¯ X

akbk

|

n+k −

n|

|

n+1|

|

n+p|

¯

¯ ≤ 1 k p

a

+ 2

a

(15.17)

¯

¯

max

B

B

(

) .

¯

¯

≤ ≤

¯k=n+1

¯

Зададим ε > 0 и, пользуясь условиями теоремы, найдем такой номер N ,

что |an| < ε при всех n ≥ N . Тогда из (15.17) и из ограниченности Bi

следует	¯	X		¯
			akbk		≤ 2M · 3ε = 6M ε (n ≥ N, p N).
	¯	n+p		¯
	¯			¯
	¯			¯
	¯			¯

P∞

Таким образом, для ряда n=1 anbn выполнено условие критерия Коши,

в силу которого этот ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором an = un, bn = (−1)n−1.

15.4Абсолютная и условная сходимость. Перестановки рядов

Определение. Ряд						∞		a	n	называется абсолютно сходящимся, ес-
			∞			n=1
ли сходится ряд					|	|
			n=1 anP, составленный из модулей его слагаемых. Ряд
называется	условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный
	P
из модулей его слагаемых, расходится.
Например, ряд					∞	(−1)n−1			сходится (в силу теоремы Лейбница), а
					n=1	n			∞ 1
			слагаемых
									n=1 n – гармонический ряд – расходится.
ряд из модулей его P						∞
	P				1)n−1
Значит, ряд	∞	(		−		сходится условно.
	n=1				n		P
					P				сходится абсолютно, то он сходится.
Теорема. Если ряд						n=1 an

Доказательство. Применяем критерий Коши. Зададим ε > 0 и найдем такое N , что для всех n ≥ N и для любого p N справедливо нера-

22											Третий семестр
P		n=1		n		¯P	n+p	¯		P	n+p
венство		n+p		|ak| < ε. Но тогда и					≤
		k=n+1				¯	k=n+1 ak	¯			k=n+1 |ak| < ε, т. е.
он	P
для ряда		∞	a выполнено		условие критерия Коши, в силу которого
						¯		¯

сходится.

15.4.1Перестановки абсолютно сходящихся рядов

				∞
Пусть дан ряд				n=1 an и последовательность {nk} натуральных чисел,
такая, что	каждое натуральное число встречается в ней один и только
		P				∞				∞
один раз. Тогда ряд							a	называется перестановкой ряда			a .
						k=1	nk			n=1	n
Как известно,			конечные суммы обладают тем свойством, что их слага-
					P				P

емые можно переставлять в произвольном порядке. Для рядов это свойство, вообще говоря, неверно (соответствующие примеры будут построены ниже). Сейчас мы покажем, что слагаемые абсолютно сходящегося ряда можно переставлять в произвольном порядке и от этого не нарушается свойство сходимости и не изменяется его сумма.

Теорема. Пусть ряд

X∞

an

(15.18)

n=1

сходится абсолютно. Тогда при любой перестановке его слагаемых пере-

ставленный ряд

X∞

ank

(15.19)

k=1

также сходится и имеет ту же самую сумму.

Доказательство. Обозначим через Sn и Sn частичные суммы рядов

(15.18) и (15.19), соответственно, т. е.

		n		n
		X	X
		Sn = ak, Sn = ak,
		k=1	k=1			→ ∞
k	nk	. Если мы покажем, что S	n −	n →	0 при n		, то тем
где a	= a			S

самым из неравенства

|Sn − S| ≤ |Sn − Sn| + |Sn − S| ,

где S – сумма ряда (15.18), получим утверждение теоремы.

15. Числовые ряды							23
Так как сходится ряд			n∞=1 |an|, то, в силу критерия Коши, для любого
ε > 0 найдется такое N		, что при всех n		≥	N	0	и для любого m > n справед-
	0	P
	m
ливо неравенство	k=n+1 |ak| < ε. Далее, найдем такое N (N ≥ N 0), что

P

все слагаемые a1, a2, . . . , aN0 будут находиться среди чисел a1, a2, . . . , aN . Пусть k ≥ N . Тогда разность Sk −Sk представляет собой сумму некоторого конечного числа слагаемых an, все номера которых не меньше, чем N 0

(эти номера идут, вообще говоря, не подряд). Поэтому для любого k ≥ N

будем иметь |Sk − Sk | < ε, чем и завершается доказательство теоремы.

Итак, мы показали, что абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством. Далее мы покажем, что только такие ряды обладают этим свойством. Другими словами, это означает, что слагаемые условно сходящегося ряда переставлять, вообще говоря, нельзя в том смысле, что от перестановки может не только измениться сумма вновь полученного ряда, но и может получиться расходящийся ряд.

15.4.2Перестановки условно сходящихся рядов

Пусть дан условно сходящийся ряд

X∞

an.

(15.20)

n=1

Через p1, p2, . . . обозначим последовательность неотрицательных слагаемых ряда (15.20), взятых в том порядке, в котором они входят в этот ряд, а через q1, q2, . . . – последовательность модулей отрицательных слагаемых. Ясно, что чисел pi и qi бесконечно много.

Лемма. Если ряд (15.20) сходится условно, то ряды

X∞

pn	(15.21)
n=1
∞
X
qn	(15.22)

n=1

расходятся.

24 Третий семестр

Доказательство. Для n N через n+ и n− обозначим количество неотрицательных и отрицательных слагаемых ряда (15.20), соответственно, номера которых не превосходят n. Тогда ясно, что Sn = Sn++ − Sn−−, где Sn, Sn++ и Sn−− – частичные суммы рядов (15.20), (15.21) и (15.22) со-

© ª

ответственно. Кроме того,

kn=1 |ak|

= Sn++ + Sn−−. Так как ряд (15.20)

последовательность

{

S

}

ограничена. Если ограничена по-

сходится, то

P

n

следовательность

Sk+ , то из равенства Sn = Sn++ − Sn−− следует огра-

последовательности

S−−

. Поэтому будет ограниченной и

ниченность

©

ª

n

последовательность

n

a

|

= S+

+ S−−, что противоречит условию

k=1 | k

© n+

ª

n

леммы, поскольку

ряд

∞

|

a

n|

расходится. Итак, последовательность

P

n=1

= S+

−−

+

равенства S

следует теперь, что и

Sk

неограничена. ИзP

n

n+

− Sn

©

ª

Sk− также неограничена. Таким образом, частичные суммы Sk+ и Sk− ря-

дов (15.21) и (15.22) неограничены, т. е. ряды (15.21) и (15.22) расходятся.

Теорема Римана. Пусть ряд (15.20) сходится условно. Тогда для любого действительного числа α существует такая перестановка ряда

(15.20), что переставленный ряд сходится к числу α. Далее, ряд (15.20)

можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд был расходящимся и при этом его частичные суммы расходились к +∞, к −∞, или же

не имели предела ни конечного, ни бесконечного.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть α R. Вы-

берем n1 N, такое, что p1 + · · · + pn1 > α и p1 + · · · + pn1−1 ≤ α. Далее, подберем m1 N так, чтобы были выполнены неравенства

p1 + · · · + pn1 − q1 − · · · − qm1 < α, p1 + · · · + pn1 − q1 − · · · − qm1−1 ≥ α.

Пусть построены номера nk−1 и mk−1. Через nk обозначим такой номер,

что

p1 + · · · + pn1 − q1 − · · · − qm1 + · · · + pnk−1+1 + · · · + pnk > α, p1 + · · · + pn1 − q1 − · · · − qm1 + · · · + pnk−1+1 + · · · + pnk −1 ≤ α,