Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

32	ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

о том, что момент времени t одинаков в обеих системах — латинской и греческой. Если рассматривать / как параметр, то равенство (34) выражает лишь геометрический факт —связь между производными по параметру от функций, зависящих от этого параметра, в различных системах координат. Но если параметр / понимается как время, то правило (34) оказывается верным лишь тогда, когда время в латинской и греческой системах протекает одинаково и когда для этих сред имеет смысл понятие одновременности, т. е. когда могут быть указаны в них одинаковые моменты времени. Отказ от этого предположения является краеугольным камнем релятивистской механики Эйнштейна, в которой формула (34) уже неприменима.

Вернемся теперь к равенству (31) и продифференцируем его еще раз:

dli + Л d(i T t ш2	+ dt* '	dt*

Если мы интересуемся относительным движением, то считаем неподвижной греческую систему отсчета, т. е. полагаем

dt ~~ dt ~~ dt ~ dV- ~ dr- ~~ dfi ~ U >

что Дает следующую формулу для относительного ускорения Wom:

W0TH=|l-/+-g-J+Jr*. (36)

В переносном же движении не изменяются греческие координаты, т. е. dg/d/ = d>)/^ = dC/^ = d2 |/^2 ==d2 T) /^2 = d2£/d/2=0 и переносное ускорение wa!,p равно1)

d*r0,	dH	dy	d*k
wwp —~W +'^"dW + ц IF + ^ OF'
Сопоставляя формулы	(35), (36) и		(37), устанавливаем, что,

в отличие от скорости, абсолютное ускорение не равно сумме ускорений в переносном и относительном движениях. Для того чтобы получить абсолютное ускорение, надо к переносному и относительному ускорениям добавить еще дополнительное или

кориолисово ускорение

dt ^ dt dt + dt dt)'

J ) При подсчете юПер удобно использовать вторую формулу (41) с учетом следующих за ней пояснений.

			§ 5 СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ				33
так что
			=	Wnep			(39)
Выше (см. § 3) мы уже установили, чтолюбое движение одной
системы	отсчета		относительно другой		(рис. 1.1,6)		может быть
представлено		как сумма		поступательного движения			и движения
с неподвижной точкой.
При	поступательном движении греческой					системы ее орты не
изменяются,		di/dt =df/dt		= dk/dt = 0 и	wKop	= Q. Поэтому при
подсчете	шк о р	существенно лишь движение с неподвижной точкой.
Но при этом движении, в силу доказанной выше теоремы, всегда
существует вектор			<о такой, что скорости всех точек определяются
по формуле (23). Поэтому скорости концов ортов таковы:
	di/dt = tox /,			dj/dt = о Xj,	dk/dt = юх ft.

Подставляя эти формулы в равенство (38), получаем

-+ (»хЛ-а +(coxft)

или,	учитывая формулу (32),
	= 2 ( Й Х ©о т н )	(40)
т. е.	кориолисово ускорение некоторой точки равно	удвоенному

векторному произведению угловойскорости переносного движения на скорость точки в ее относительном движении.Таким образом, дополнительное (кориолисово) ускорение не возникает не только

тогда,	когда переносное		движение	является поступательным, но
и тогда, когда		скорость	относительного			движения	равна нулю
или параллельна		вектору ю угловой			скорости переносного дви-
жения ').
2.	Движение	одной	системы	отсчета		относительно		другой.
Вернемся теперь		к случаю движения			одной системы отсчета отно-
сительно другой (рис. 1.1,6). Выше					было	показано,	что	любое
движение системы отсчета можно				рассматривать как ее поступа-

тельное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной ее точки О', плюс движение системы отсчета с неподвижной точкой О' (рис. 1.12). Введя вспомогательную систему

!) В качестве примера читателю рекомендуется самостоятельно выяснить, кула направлено кориолисово ускорение частиц воды рек, текущих в разных направлениях (например, с юга на север, с запада на восток) и т. д. на различных участках земной поверхности.

2 М. А, Айзерман

34	ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА
отсчета х',у',г',	движущуюся	поступательно	со скоростью vo>—
— dro'/dt, и считая движение		этой системы	переносным, а дви-

жение системы

отсчета

х', у', г' с неподвижной точкой

О' отно-

сительным, можно

использовать

формулы

(34) и (39). При этом

следует

учесть, что в данном

случае

ге/кор

= 0,, так как перенос-

ное

движение

является

поступательным.

В

результате

устанавливаем,

что при произвольном

движении

одной системы отсчета относительно другой

"ОА = «пер + W0TH = dro'/dt

+ О)X Г о'А,

( 4 j ч

WA = яУ„еР + wmH

= d*rO'/dl2

+ е х Гом + » X (m X го.А).

В этих равенствах 7)А

и wA — скорость и ускорение

произвольной

точки

А

движущейся

системы,

а

са и г —угловая скорость и

угловое

ускорение

движущейся

системы в ее движении

относи-

тельно системы х'', у',

г', т. е. в движении с неподвижной точ-

кой

О'.

Если

рассматривается движение какой-либо точки относительно

системы

отсчета,

движущейся

произвольным образом, то движение

этой

системы

отсчета

можно

принять за переносное. Тогда фор-

мулы

(41) будут служить

для определения

переносных

скоростей

и ускорений, и вектор

со, входящий в этиформулы, будет играть

роль

переносной угловой

скорости —именно он войдет

в

выраже-

ние (40) для подсчета

кориолисова

ускорения.

3.

Общий

случай

сложения

движений.

Рассмотрим

п систем

отсчета,

движущихся

одна

относительно

другой

(рис. 1.1,г):

первая система (координаты я,, уг,

гг) движется относительно «нуле-

вой» (координаты х0

, у0, г0); вторая система (координаты х2, у2, г2) —

относительно

первой

системы; ... последняя, п-я система

(коорди-

наты хп, уп, г„) — относительно (п — 1)-й (координаты xn-lt

уп-ъ Zn-i).

Предполагается,

что известна

скорость

относительного движе-

ния

каждой

«последующей» системы

относительно

«предыдущей»

(n-й

системы

относительно (п— 1)-й,

этой

(п —1)-й

системы отно-

сительно

(п—2)-й и т. д.); требуется

определить

скорости дви-

жения n-й системы

(хп, уп, г„) относительно «нулевой» (х0, у0, z0).

Рассмотрим

сначала

движение

только

я-й системы

относи-

тельно (л—2)-й. Можно считать,

что точки n-й системы совер-

шают

сложное движение: относительным

является

движение /г-й

системы

относительно

(я—1)-й

(со скоростью ©„,„_!),

а

перенос-

ным—движение (п— 1)-й системы относительно (п—2)-й (со скоростью г»„_1>и_2). «Абсолютные» скорости точек я-й системы относительно (п — 2)-й (обозначим их ^.я-г) равны

"On, п-2 = ©я,я-1 + Яя-1, я _г .

Теперь можно исключить из рассмотрения (п — 1 )-ю систему и рассматривать движение я-й системы относительно (п — 2)-й как

§ 6 ПЛОСКОЕ И ПЛОСКОПАРЛЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

35

относительное, движение (п —2)-й системы относительно (л —3)-й — как переносное (со скоростью г»„_2,„_„), а движение л-й системы

относительно (л — 3)-й (со скоростью г>Л|Л-3) — как абсолютное. Тогда

"On, я-з = ®я, я-2+ ®л-2,л-3 = "л, я-1 + ©я-1, п-а + »я-2, л-з

и

можно исключить

из рассмотрения

(л —2)-ю

систему.

Продолжая процесс последовательного исключения систем

отсчета,

определим

скорости ©Лр0

точек л-й системы относительно

«нулевой»:

(42)

/7р«

движении многих систем

отсчета

одна относительно

дру-

гой скорость

точки

п-й системы относительно

«нулевой» равна

сумме скоростей,

которые

в этой

точке

имеет

каждая

система

отсчета

относительно

предыдущей.

В

связи

с

тем,

что сумма

векторов

не зависит

от порядка

слагаемых,

скорость

•»„,„

не

зависит

от того,

в каком

порядке

нумеруются

системы 1).

§ 6. Плоское и плоскопараллельное

движение

Иногда конкретные задачи сводятся к рассмотрению движения

вырожденной

двумерной

твераой

среды,

при котором

все

точки

среды

во время

движения

находятся

в одной

плоскости.

Такое

движение называется плоским. Плоское движение важно

также и

потому,

что к нему

сводится

исследование

плоскопараллельного

движения

обычной

трехмерной

среды.

Движение

называется

плоскопараллельным, если

можно

ука-

зать

некоторую

«базовую» плоскость,

неподвижную

относительно

латинской

среды

и такую,

что как бы ни была выбрана плоскость,

параллельная

базовой, точки греческой

системы,

расположенные

в

этой

плоскости,

при движении остаются

все

время

в ней.

В

случае

плоскопараллельного

движения

достаточно

рассматри-

вать

движение

точек

только в одной из таких плоскостей, поэтому

изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению плоского движения.

Этот параграф посвящен изучению некоторых особенностей плоского движения.

х) Более подробно общий случай сложения движений разобран в приложении, где к теории сложного движения применяется теория систем скользящих векторов.

2*

36

ГЛ I

КЛАССИЧЕСКАЯ

КИНЕМАТИКА

При

изучении

плоского движения

удобно как латинскую, так

и греческую систему координат выбирать

в плоскости движения,

т. е. обходиться двумя

координатами

х,

у

и |,

ц соответственно,

и этим

ввести

в рассмотрение две «плоские среды» — неподвижную

(латинскую) и подвижную (греческую). Очевидно, что положение

плоской

среды однозначно определяется положением двух ее точек.

Распределение

скоростей

греческой

среды при плоском дви-

жении

определяет

Т е о р е м а

4

При

любом движении

плоской среды (кроме

поступательного)

в

каждое

мгновение существует

единственная

точка,

скорость которой равна нулю (мгновенный центр

скоростей),

цА

а скорости

всех остальных

точек

j

в

распределены так, как если бы

yS

/\.

среда в это мгновение вращалась

" \

/

^^.ив

вокруг мгновенного

центра ско-

^ч

/

ростей.

\

/'

Доказательство.

Рас-

\

/

смотрим

две движущиеся

точки

\/£

плоской

среды А и В, предполо-

/ \

жив сначала, что их

скорости vA

/

\

и vB

не параллельны

(рис. 1.19).

У

\

Проведем

в точках

А

в В пря-

Рис. 1.19.

мые,

перпендикулярные

VA И

©в

соответственно, и рассмотрим

точку

С их пересечения. Пусть ©с—скорость этой

точки

среды.

В силу

теоремы 3, доказанной в § 4, проекции о с

на указанные

прямые

должны

быть равны

проекциям на эти прямые VA ИVB

соответственно, а

они

равны

нулю,

так как прямые перпенди-

кулярны

vA

и vB-

Значит,

скорость Vc должна иметь

нулевые

проекции на две

непараллельные

прямые, что возможно лишь

в том случае,

когда

эта скорость

равна

нулю. Точка С—единст-

венная точка, скорость которой равна

нулю,

ибо в противном

случае была бы неподвижна вся плоская среда, а мы предполо-

жили,

что точки

А к В движутся, т. е. что их скорости отличны

от нуля.

При

наличии

точки

С,

скорость

которой

равна нулю, дви-

жущаяся

плоская

среда

может лишь

вращаться

вокруг

С. Угло-

вая скорость этого вращения равна

где АС и ВС —расстояния от Л и В до С. Скорость любой другой точки среды, например D, равна

где CD —расстояние от С до D.

	§ S. ПЛОСКОЕ ИПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ			37
Пусть	теперь vA	и ов	параллельны (рис. 1.20). Если они
равны, т.	е. если в	среде	есть две точки с одинаковыми ско-

ростями, то и все остальные точки среды имеют ту же скорость'),

т. е. движение			поступательно, а условием до-					д	^Ол
называемой теоремы этот случай исключен.
Случай же, когда vA и vB					параллельны, но не
равны,	возможен			лишь тогда, когда			точки А
и В расположены				на прямой, перпендикуляр-
ной vA и vB,		так как в противном случаепро-
екции этих скоростей на прямую, соединяющую
А и В, не были бы равны. Остается							поэтому
рассмотреть		лишь		случай,	представленный на
рис. 1.20. Соединим концы					векторов vA и vB
прямой и найдем точку С ее пересечения с пря-
мой АВ. Скорость в точке С будет равна нулю.
Действительно, примем, каквдоказательстве теоремы 3 (стр. 28),
за О' точку А; тогда
или (движение			плсское, скорости			параллельны)
				VC = VA-~		(О АС.
Аналогично
				vB	= vA — (£>АВ,
откуда
а по построению
				VA~VB		А В
					«А	-AC
так что
Теорема	доказана.
Как	уже было			указано выше, при поступательном движении
мгновенный		центр		скоростей находится в бесконечно					удаленной

I) Действительно, скорости точек А и В связаны соотношением VB = vA-\- Если vA = vB и АВ ф 0, то <о= 0. Но югда и для любой другой

точки, например для D, справедливо равенство <oD = vA-\-is>~^CAD = vA_

В этом случае мгновенный центр скоростей нахоттся в бесконечно удаленной точке движущейся плоскости, как и при поступательном движении. Однако в отличие от поступательного движения среды теперь ее точки могут иметь различные ускорения. Движение в такой момент можно назватьмгновенно поступательным.

38 ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

точке плоскости; при любом ином движении он перемещается. Следы мгновенных центров в плоскости х, у образуют неподвижную центроиду, а в плоскости |, х\— подвижную центроиду. В каждое мгновение подвижная центроида касается неподвижной в мгновенном центре. Можно доказать, что во время движения греческой среды подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.

Возвращаясь к плоскопараллельному движению, проведем через мгновенный центр С прямую, перпендикулярную плоскостям; в которых движутся точки среды. Ясно, что мгновенные скорости всех точек этой прямой равны нулю, а мгновенные скорости всех остальных точек среды при плоскопараллельном движении таковы, как будто среда вращается вокруг этой прямой. Естественно поэтому такую прямую также называть мгновенной осью. Различие между плоскопараллельным движением и движением среды с неподвижной точкой состоит лишь в том, что при плоскопараллельном движении мгновенная ось перемещается параллельно самой себе и аксоиды представляют собой не конические, а цилиндрические поверхности (направляющими этих поверхностей являются неподвижная и подвижная центроиды соответственно).

Читателю предоставляется самому в полной аналогии со случаем движения с неподвижной точкой установить, как распределены ускорения в плоскопараллельном движении, и надлежащим образом ввести для плоскопараллельного движения «ось ускорений» (соответственно для плоского движения — «мгновенный центр ускорений»).

Г л а в а II

ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§1. Введение

Вначале первой главы механика была определена как наука

одвижении материальных объектов, происходящем в пространстве

иво времени. Различные системы механики, например классическая механика и релятивистская механика, отличаются одна от другой прежде всего смыслом, который вкладывается во все использованные в этом определении термины — пространство, время, материальный объект, движение.

Любая система механики изучает движение не реальной материи со всеми ее многообразными свойствами, а идеализированных объектов, отражающих только некоторые из этих свойств. Соответственно в основе каждой системы механики лежит своя идеализированная модель мира; каждая система механики формулирует исходную аксиоматику в терминах этой модели и, опираясь на нее, строит основные законы. Разумеется, эти законы оказываются верными для реального мира лишь в той мере, в какой в пределах решаемой задачи условия реального мира достаточно хорошо описываются соответствующей идеализированной моделью.

Объектом изучения классической механики служат не явления в физических полях и не явления, связанные с элементарными частицами материи, а движения их «больших скоплений» (тел и сред) со скоростями, много меньшими скорости света. Говоря далее о материальных объектах классической механики (или просто о материальных объектах), мы будем иметь в виду «большие скопления», движущиеся подобным образом. Материальные объекты такого рода повсеместно окружают нас, и поэтому область приложения законов классической механики весьма широка. Кроме того, иные системы механики, изучающие иные явления материального мира, строятся так, чтобы их законы переходили в законы классической механики «в пределе», при переходе от их исходных моделей к исходной модели классической механики. Так, например, законы релятивистской механики переходят в законы классической механики «в пределе», т. е. при предположении, что скорости изучаемого движения малы по сравнению со скоростью света.

Идеализированная модель мира, рассматриваемая классической механикой, исходит из представлений, которые интуитивно

40 ГЛ. IT ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОМ МГХДНПКИ

кажутся наиболее очевидными. Выше было указано, какие предположения о свойствах пространства и времени приняты в классической механике. Именно, в представлении классической механики пространство однородно и изотропно, время однородно, течет одинаково во всех «геометрических твердых средах» и не зависит от того, как движутся системы отсчета одна относительно другой. Модель классической механики предполагает, что материальные объекты «находятся в пространстве», как бы «погружены в него», и что течение времени не зависит от наличия в пространстве материальных объектов и особенностей их движения.

Системы отсчета, которые вводятся так, как это было подробно описано в гл. I, можно связать с материальными объектами. В связи с этим кинематическим закономерностям подчинены не только

движения геометрических	точек относительно системы отсчета и
не только движение одной	системы отсчета относительно другой,
но и движение материальных объектов.

Механика интересуется не только кинематическими характеристиками движения, но и установлением законов движения, т. е. определением того, каким образом движения зависят от взаимодействия материальных объектов. В связи с этим исходные предположения и постулаты, достаточные для построения геометрической картины движения, недостаточны для определения законов механики; они должны быть дополнены предположениями, которые вместе с предположениями о пространстве, времени и способах введения систем отсчета (см. гл. I) составляют исходную аксиоматику классической механики.

§ 2. Основные понятия и предположения классической механики

Помимо предположений о пространстве, времени и способе введения систем отсчета, о которых выше шла речь, введем некоторые дополнительные понятия и предположения.

Выше уже говорилось, что классическая механика изучает движения «больших скоплений» элементарных частиц. Но для того, чтобы «большие скопления» могли быть предметом исследования, в рассмотрение должны быть введены соответствующие идеализированные объекты.

Основной идеализированный объект, движение которого изучается классической механикой, называется материальной точкой. Материальный объект рассматривается как материальная точка, если можно считать, что в любое мгновение во всех его частях скорости и ускорения одинаковы. Вопрос о том, можно ли рассматривать тот или иной объект как материальную точку, решается не размерами этого объекта, а особенностями его движения и стененью идеализации задачи. Так, например, во многих задачах

§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ II ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

41

небесной механики кометы, планеты и др. небесные тела рассматриваются как материальные точки. Массой материальной точки (она обозначается далее буквой т) называется масса того материального объекта, который в принятой идеализации считается материальной точкой.

Множество материальных точек (конечное, счетное или мощности континуума) мы будем называть твердым телом, если во время движения расстояние между материальными точками не меняется. Таким образом, твердым телом мы называем не только бесконечное множество материальных точек, заполняющих некоторый объем, но и, например, множество, состоящее из восьми материальных точек, расположенных в вершинах единичного куба, если в любой момент движения эти точки остаются вершинами этого куба.

Как и в случае материальной точки, вопрос о том, можно ли (и нужно ли) рассматривать некий материальный объект как твердое тело, определяется не его размерами, а особенностями движения и степенью идеализации задачи. Так, например, Землю удобно рассматривать как твердое тело, если надо учесть ее вращение вокруг собственной оси, но как твердое тело удобно иногда рассматривать и простейшую модель молекулы.

1. Взаимодействие материи. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие материи. Материальные объекты, расположенные в разных частях пространства, взаимодействуют, т. е. движение одних материальных объектов зависит от наличия других материальных объектов и их движения; таковы, скажем, гравитационные, электрические, магнитные и иные взаимодействия. Физическая природа этих взаимодействий связана с понятием о физических полях, которое не укладывается в исходные представления классической механики. Так, например, с точки зрения общей теории относительности гравитационные взаимодействия материи являются следствием того, что время и пространство взаимосвязаны в единый четырехмерный континуум «пространство-время», что этот континуум подчиняется законам не евклидовой, а римановой геометрии, т. е. что он «искривлен», и что локальная кривизна в каждой его точке зависит от распределения материальных объектов и их движения. Таким образом, физические причины гравитационного взаимодействия материи тесно связаны с такими свойствами пространства и времени, которые не учитываются в исход-

ных предположениях классической механики.

Естественно поэтому, что классическая механика не может учесть причины взаимодействия материи в той форме, в какой они реализуются в материальном мире. Механика просто учитывает тот факт, что наличие материального объекта в одном месте пространства оказывает влияние на движение материального объекта, расположенного в другом месте пространства, не интересуясь физической причиной этого взаимодействия, и вводит в рассмотрение