Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

7.2. дйултефоще юбуфпфщ

141

РПМХЮЕООЩЕ Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ РТЙ T > 0, ДПМЦОЩ ВЩФШ ЛБЛ-ФП ФТЙŒЙБМШОП УŒСЪБОЩ У ОХМШ-ФЕНРЕТБФХТОЩНЙ ŒЩТБЦЕОЙСНЙ, Œ ДЕКУФŒЙФЕМШОПУФЙ ЬФП ОЕ УПŒУЕН ФБЛ (УН. ЪБДБЮЙ 40, 41).

7.2.1. нЕФПД БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС.

нБГХВБТПŒУЛБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ МЕЗЛП ŒЩЮЙУМСФШ ПДОПŒТЕНЕООЩЕ УТЕДОЙЕ МАВЩИ ŒЕМЙЮЙО. оБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД, РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ДЙОБНЙЛЙ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ НБГХ-

ВБТПŒУЛБС ФЕИОЙЛБ ВЕУРПМЕЪОБ. œЕДШ ТБЪОПŒТЕНЕООЩЕ УТЕДОЙЕ, ЛПФПТЩЕ ЬФБ ФЕИОЙЛБ

ЙУРПМШЪХЕФ, ЙНЕАФ ŒЙД A(fi ) B(0) , ЗДЕ fi | ЬФП НБГХВБТПŒУЛПЕ ŒТЕНС, Б ОЕ ОБУФПСЭЕЕ. пДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РТЙ РПНПЭЙ УРЕГЙБМШОПЗП РТЙЕНБ, ТБУУНПФТЕООПЗП

ОЙЦЕ, НБГХВБТПŒУЛБС ФЕИОЙЛБ НПЦЕФ ВЩФШ ЙУРПМШЪПŒБОБ ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ПРТЕДЕМЕООЩИ ТБЪОПŒТЕНЕООЩИ УТЕДОЙИ.

уХЭЕУФŒХАФ ŒЕУШНБ ПВЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС НЕЦДХ НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ, ПРТЕДЕМЕООЩНЙ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ, Й ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ, ФБЛЙНЙ ЛБЛ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ Й ПРЕТЕЦБАЭЙЕ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ. ьФЙ УППФОПЫЕОЙС УМЕДХАФ ФПМШЛП ЙЪ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, Й ОЙЛБЛ ОЕ ЙУРПМШЪХАФ ЛПОЛТЕФОПЗП ŒЙДБ ЬФЙИ ЖХОЛГЙК Œ ФПК ЙМЙ ЙОПК УЙУФЕНЕ. рПЬФПНХ ПОЙ ЙНЕАФ УФПМШ ЦЕ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ, ЛБЛ, УЛБЦЕН, ЖМХЛФХБГЙПООП-ДЙУУЙРБГЙПООБС ФЕПТЕНБ ЙМЙ УППФОПЫЕОЙС лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ ДМС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ.

тБУУНПФТЙН ЪБРБЪДЩŒБАЭХА Й ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ПРТЕДЕМЕООЩЕ 1 РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

∞

GR("; r1; r2) = −i ei"t12 (r1; t1) +(r2; t2) ± +(r2; t2) (r1; t1) Ô dt12 ; (7.21)

0

0

GA("; r1; r2) = i ei"t12 (r1; t1) +(r2; t2) ± +(r2; t2) (r1; t1) Ô dt12 ; (7.22)

−∞

ÇÄÅ t12 = t1 − t2, РТЙЮЕН ЪОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ ЖЕТНЙПОБН, Б ЪОБЛ Ă−Ą | ВПЪПОБН. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ GM (i"n; r1; r2), БОБМЙФЙЮЕУЛЙ РТПДПМЦЕООБС У ДЙУЛТЕФОЩИ ЪОБЮЕОЙК ЮБУФПФЩ "n > 0 ОБ ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ ДБЕФ GR("; r1; r2), Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ РТЙ РТПДПМЦЕОЙЙ У ОЙЦОЕК РПМХПУЙ, "n < 0, РПМХЮБЕФУС GA("; r1; r2). рТЙОЙНБС ŒП ŒОЙНБОЙЕ БОБМЙФЙЮОПУФШ GR("; r1; r2) É GA("; r1; r2) УППФŒЕФУФŒЕООП Œ ŒЕТИОЕК Й ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФСИ ЛПНРМЕЛУОПЗП ", УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ GR, GA É GM НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:

GM (i"n; r1; r2) =	GA(i"n; r1	; r2)	ÐÒÉ "n < 0 ,	(7.23)
	GR(i"n; r1	; r2)	ÐÒÉ "n > 0 ;

ЗДЕ НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЮБУФПФЩ "n | ЮЕФОЩЕ ДМС ВПЪПОПŒ Й ОЕЮЕФОЩЕ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ. дПЛБЪБФЕМШУФŒП ТЕЪХМШФБФБ (7.23) РТЙŒЕДЕОП Œ ЪБДБЮЕ 40 Б).

1ÓÍ. [1] § 17, ЖПТНХМЩ (17.15) Й (17.16).

142змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

йЪ УППФОПЫЕОЙК (7.23) НЕЦДХ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ, ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ Й НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ УМЕДХЕФ ŒЕУШНБ РПМЕЪОПЕ ЙОФЕЗТБМШОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ:

	1	∞	Im GR("; r1; r2)
G(i"n; r1; r2) =	ı		"	−	i"n	d" ;	(7.24)
		−∞

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ РП d" ВЕТЕФУС РП ŒУЕК ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, РТЙ "n > 0 ЬФП УППФОПЫЕОЙЕ ЕУФШ УМЕДУФŒЙЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ G(i"n) ÐÒÉ "n < 0, УМЕДХЕФ ЪБНЕОЙФШ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ОБ ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙА GA(") Й ЙЪНЕОЙФШ ЪОБЛ Œ (7.24). оП РПУЛПМШЛХ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ Im GR(") = − Im GA("), УППФОПЫЕОЙЕ (7.24) ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒЩН Й РТЙ "n < 0.

œБЦОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН УППФОПЫЕОЙК (7.23) СŒМСЕФУС ЪБДБЮБ ПВ ПФЩУЛБОЙЙ МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ УЙУФЕНЩ, ŒПЪНХЭБЕНПК ŒОЕЫОЙН РПМЕН. уПЗМБУОП ЖПТНХМЕ лХВП, ЖХОЛГЙС ПФЛМЙЛБ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ УТЕДОЕЕ ПФ ЛПННХФБФПТБ ДŒХИ ПРЕТБФПТПŒ Œ ТБЪОЩЕ НПНЕОФЩ ŒТЕНЕОЙ:

iAB (!) = h—

0	'		(
∞ ei!t	A(t); B(0)		Ô dt :	(7.25)

йНЕЕФУС ПЮЕŒЙДОПЕ УИПДУФŒП НЕЦДХ ŒЩТБЦЕОЙЕН (7.25) Й ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ВПЪПООПК ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ (7.21), ПЪОБЮБАЭЕЕ, ЮФП ЬФЙ ДŒЕ ЖХОЛГЙЙ ЙНЕАФ УИПДОЩЕ БОБМЙФЙЮЕ-

УЛЙЕ УŒПКУФŒБ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ДМС ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ (7.25) УППФОПЫЕОЙС РПДПВОЩЕ (7.23), ŒŒПДЙФУС НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ

	1	˛	'		(
		−˛
AB(M )(i!n) =	2h—			Tfi A(fi ) B(0)	Ô ei!nfi dfi :	(7.26)

йНЕЕФ НЕУФП 2 ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС ФЕПТЕНБ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ: НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (ABM )(i!n), РТПДПМЦЕООБС У ДЙУЛТЕФОПЗП НОПЦЕУФŒБ ФПЮЕЛ ОБ РПМПЦЙФЕМШОПК НОЙНПК РПМХПУЙ ! = i!n (n > 0) ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ Im ! = 0, ДБЕФ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП AB (!).

ьФБ ФЕПТЕНБ, ДПЛБЪБФЕМШУФŒП ЛПФПТПК РТЙŒЕДЕОП Œ ЪБДБЮЕ 37, РПЪŒПМСЕФ ОБИПДЙФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (7.25) У РПНПЭША ЖХОЛГЙЙ (ABM )(i!n), ЛПФПТХА, Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША НБГХВБТПŒУЛПК ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ.

œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ДБЕФУС ŒУЕЗП ПД-

ОПК ДЙБЗТБННПК | РЕФМЕК У ПРЕТБФПТБНЙ Й Œ ŒЕТЫЙОБИ. нБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙ-

A B

ЙНЮЙŒПУФШ ЙНЕЕФ ФБЛЙЕ ЦЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ, ЛБЛ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ. оБРПНОЙН (УН. ЪБДБЮХ 24), ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ лХВП Й РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ Œ ОХМШ-ФЕНРЕТБФХТОПК ФЕИОЙЛЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ТБЪМЙЮОЩНЙ. б Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ НЕЦДХ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФША Й РПМСТЙЪБГЙПООЩН ПРЕТБФПТПН ЙНЕЕФУС РТПУФБС УŒСЪШ. уПЗМБУОП РТЙŒЕДЕООПК ŒЩЫЕ ФЕПТЕНЕ, ДМС РПМХЮЕОЙС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ ДПУФБФПЮОП ŒЩЮЙУМЙФШ РЕФМА У НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, Й ЪБФЕН ПРТЕДЕМЕООЩН ПВТБЪПН РТПДПМЦЙФШ ЕЕ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ ЮБУФПФЩ.

2ÓÍ. [1], § 17; § 37, Ð. 2; [6], § 91

7.2. дйултефоще юбуфпфщ

143

пФНЕФЙН, ЮФП ЙОПЗДБ Й УМХЮБК T = 0 ВЩŒБЕФ ХДПВОЕЕ ТБУУНБФТЙŒБФШ Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ. дМС ЬФПЗП ОХЦОП ŒЕТОХФШУС ПФ УХННЙТПŒБОЙС Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА, РПУЛПМШЛХ РТЙ T = 0 ФПЮЛЙ i!n УМЙŒБАФУС Œ НОЙНХА ПУШ Œ РМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПК

РЕТЕНЕООПК !. рТЙ ЬФПН T ::: РЕТЕИПДЙФ РТПУФП Œ :::d!=2ı. рТЙ ФБЛПН НЕФПДЕ

!n

ŒЩЮЙУМЕОЙС ОЕ ŒПЪОЙЛБЕФ УМПЦОПУФЕК У ПВИПДПН РПМАУПŒ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК, РПУЛПМШЛХ ОБРТБŒМЕОЙЕ ПВИПДБ ПЛБЪЩŒБЕФУС РТБŒЙМШОЩН БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ.

дМС ЙММАУФТБГЙЙ ЙУРПМШЪПŒБОЙС НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ, ДПЛБЦЕН ФЕПТЕНХ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ ДМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ДБЕФУС ЖПТНХМПК (5.4), РПМХЮЕООПК ЙЪ (7.25) РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ. тБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.4) Й ЪБНЕОЙН ! → i!. фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ДТПВШ Œ ЖПТНХМЕ (5.4) Œ ŒЙДЕ ЙОФЕЗТБМБ РП ŒУРПНПЗБФЕМШОПК НОЙНПК ЮБУФПФЕ:

Ek − Em − i!			−	2ı (i" + ! − Ek )(i" − Em)
n(Em) − n(Ek )		=		1	d"	=
1
= − 2ı	GkM (i" + i!)GmM (i") d" ;						(7.27)
рПДУФБŒМСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (5.4), РПМХЮБЕН
	1
AB (i!) = − 2ı			Tr	GM (i" + i!)BGM (i")A d" :			(7.28)
œПЪŒТБЭБСУШ Л ŒЕЭЕУФŒЕООПК		ЮБУФПФЕ, ŒЙДЙН,			ÞÔÏ	ЖЙЪЙЮЕУЛБС	ŒПУРТЙЙНЮЙ-

ŒПУФШ (7.25) ДЕКУФŒЙФЕМШОП РПМХЮБЕФУС ЙЪ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (7.28) ОБ НОЙНПК ЮБУФПФЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН РП ! У РПМПЦЙФЕМШОПК НОЙНПК РПМХПУЙ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ. œЩТБЦЕОЙЕ (7.28) ОЕ ЪБŒЙУЙФ СŒОП ПФ ŒЩВПТБ ВБЪЙУБ. рПЬФПНХ ПОП ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ХДПВОЩН Œ УМХЮБСИ, ЛПЗДБ УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ОЕЙЪŒЕУФОЩ, ЛБЛ ОБРТЙНЕТ Œ ЪБДБЮЕ П ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ Œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ (УН. ЗМ. 9).

рПДŒЕДЕН ЙФПЗ. иПФС НБГХВБТПŒУЛБС ФЕИОЙЛБ Й ЙУРПМШЪХЕФ ДЙОБНЙЛХ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ, ЙОПЗДБ ЙНЕАЭХА ОЕ ŒРПМОЕ СУОЩК ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ, ПОБ ПЛБЪЩŒБЕФУС РПМЕЪОПК РТЙ ПРЙУБОЙЙ ДЙОБНЙЛЙ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ ЛБЛ РТЙ ЛПОЕЮОПК, ФБЛ Й РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ. рЕТЕИПД ПФ НОЙНПЗП ŒТЕНЕОЙ Л ЖЙЪЙЮЕУЛПНХ ŒТЕНЕОЙ ДПУФЙЗБЕФУС БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН У НОЙНЩИ ДЙУЛТЕФОЩИ ЮБУФПФ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ. пФНЕФЙН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ ЙЪХЮБФШ ОЕТБŒОПŒЕУОЩЕ СŒМЕОЙС МЙЫШ ОБ ХТПŒОЕ МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ. вПМЕЕ УМПЦОЩЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙЕ ЪБДБЮЙ, Œ ЛПФПТЩИ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ НПЦЕФ ŒПЪВХЦДБФШ УЙУФЕНХ ФБЛ УЙМШОП, ЮФП ПОБ ОЕ ХУРЕŒБЕФ ŒПЪŒТБЭБФШУС Œ ТБŒОПŒЕУОПЕ УПУФПСОЙЕ, ФБЛЙН УРПУПВПН ТЕЫБФШ ОЕМШЪС.

уХЭЕУФŒХЕФ ОЕУЛПМШЛП ТБЪОПŒЙДОПУФЕК ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ, ЙНЕАЭЕК ДЕМП УП УТЕДОЙНЙ, ŒЪСФЩНЙ ОЕ РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА зЙВВУБ, Б РП РТПЙЪŒПМШОПНХ ОЕТБŒОПŒЕУОПНХ ТБУРТЕДЕМЕОЙА. оБЙВПМЕЕ РПРХМСТОПК ЙЪ ОЙИ СŒМСЕФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ лЕМДЩЫБ 3. ьФБ ФЕИОЙЛБ ЙУРПМШЪХЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ Й ПРЕТЕЦБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, Б ФБЛЦЕ НБФТЙГХ РМПФОПУФЙ, Й ПРЙУЩŒБЕФ ДЙОБНЙЛХ У РПНПЭША ЛŒБОФПŒПЗП БОБМПЗБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС. у РПНПЭША ФЕИОЙЛЙ лЕМДЩЫБ НПЦОП

3иПТПЫЕЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ФЕИОЙЛЙ лЕМДЩЫБ НПЦОП ОБКФЙ Œ ПВЪПТЕ: J. Rammer, H. Smith, Rev. Mod. Phys., v. 58 (2), p. 323{359 (1986); УН. ФБЛЦЕ [8], § 92{95.

144змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ЙЪХЮБФШ МАВЩЕ ПФЛМЙЛЙ, МЙОЕКОЩЕ Й ОЕМЙОЕКОЩЕ, ЛБЛ Œ ТБŒОПŒЕУОЩИ УЙУФЕНБИ, ФБЛ Й Œ УЙУФЕНБИ ŒЩŒЕДЕООЩИ ЙЪ ТБŒОПŒЕУЙС.

пДОБЛП, ЙЪ-ЪБ УŒПЕК ВПМШЫПК ПВЭОПУФЙ ФЕИОЙЛБ лЕМДЩЫБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ЗТПНПЪДЛПК, Й ЙУРПМШЪПŒБФШ ЕЕ Œ ФБЛПК РТПУФПК ЪБДБЮЕ, ЛБЛ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙ ТБŒОПŒЕУОПН УПУФПСОЙЙ УЙУФЕНЩ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕ ПЮЕОШ ХДПВОЩН. œНЕУФП ЬФПЗП ПВЩЮОП РТЙНЕОСАФ ПРЙУБООЩК Œ ЬФПН ТБЪДЕМЕ РТЙЕН, ПУОПŒБООЩК ОБ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ НБГХВБТПŒУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО.

пФНЕФЙН ЪДЕУШ ЦЕ, ЮФП ДМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ УЙУФЕН ЙНЕЕФУС ŒПЪНПЦОПУФШ ЙЪВЕЦБФШ ЙУРПМШЪПŒБОЙС НБГХВБТПŒУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО. œ ЬФПН УМХЮБЕ, ЛБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ Р. 5.1.1, ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.25) ДМС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ лХВП НПЦЕФ ВЩФШ РТЕПВТБЪПŒБОП Л ŒЙДХ (5.10), УПДЕТЦБЭЕНХ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА Й ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œ ПФМЙЮЙЕ ПФ НБГХВБТПŒУЛПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ПДОБЛП, ТЕЪХМШФБФ (5.10) ОЕ ЙНЕЕФ НЕУФБ ДМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ УЙУФЕН. œ ЙЪŒЕУФОПН УНЩУМЕ, ФЕИОЙЛБ лЕМДЩЫБ РПЪŒПМСЕФ ПВПВЭЙФШ ЖПТНХМХ (5.10) ОБ УМХЮБК РТПЙЪŒПМШОЩИ ОЕТБŒОПŒЕУОЩИ УЙУФЕН.

мЙФЕТБФХТБ: дПЛБЪБФЕМШУФŒП РТБŒЙМ НБГХВБТПŒУЛПК ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ РТЙŒЕДЕОП Œ [1], ЗМ. III Й [6], ЗМ. IV. пРТЕДЕМЕОЙЕ ŒТЕНЕООЩИ« (ЪБРБЪДЩŒБАЭЙИ Й ПРЕТЕЦБАЭЙИ) ЖХОЛГЙК зТЙОБ РТЙ ЛПОЕЮОЩИ ФЕНРЕТБФХТБИ НПЦОП ОБКФЙ Œ [6], § 36 É [1], § 17. уŒСЪШ НЕЦДХ НБГХВБТПŒУЛЙНЙ, ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ Й ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ ТБУУНПФТЕОБ Œ [6], § 37 É [1], § 17. йУРПМШЪПŒБОЙЕ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ПВУХЦДБЕФУС Œ [1], § 16, § 17, Ð. 5.

7.3. ъБДБЮЙ 34 { 42

ъБДБЮБ 34. (ъБФХИБОЙЕ ПУГЙММСГЙК.) рТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ РП ЬОЕТЗЙСН ТБЪНЩŒБЕФУС ОБ ŒЕМЙЮЙОХ РПТСДЛБ T , ЮФП УППФŒЕФУФХЕФ ОЕПРТЕДЕМЕООПУФЙ ТБДЙХУБ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ ‹p0 ≈ T =vF . рТПУФТБОУФŒЕООЩЕ ПУГЙММСГЙЙ У k = 2p0, ЙНЕАЭЙЕ НЕУФП ДМС ОЕПДОПТПДОПК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ УППФŒЕФУФŒЕООП ŒЙДПЙЪНЕОСАФУС.

тБУУНПФТЙФЕ ПУГЙММСГЙЙ 4 Б) жТЙДЕМС (УН. ЪБДБЮХ 8) Й В) тХДЕТНБОБ-лЙФФЕМС

(УН. ЪБДБЮХ 22), Й РПМХЮЙФЕ ДМС ОЙИ ŒЩТБЦЕОЙС, ŒЕТОЩЕ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ T EF . рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПУГЙММСГЙЙ УПИТБОСАФУС ОБ ТБУУФПСОЙСИ НЕОШЫЕ ФЕРМПŒПК ДМЙОЩ lÔ = hv— F =2ıT Й ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ЪБФХИБАФ РТЙ r lÔ.

ъБДБЮБ 35. (фЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ Й ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ.) тБУУНПФТЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭХА ЖЕТНЙ-УЙУФЕНХ, Œ ЛПФПТПК УХЭЕУФŒЕООЩНЙ СŒМСАФУС ДЙБЗТБННЩ ФЙРБ ĂУПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШĄ, Б ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ ДЙБЗТБННЩ, ФБЛЙЕ ОБРТЙНЕТ, ЛБЛ РПРТБŒЛБ Л ŒЕТЫЙОЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ОЕУХЭЕУФŒЕООЩ. (рПДПВОБС УЙФХБГЙС ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ.) дМС ОБИПЦДЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ˙ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ОЕПВИПДЙНП ТБУУНПФТЕФШ ДЙБЗТБННЩ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 7.1. уХННБ ЬФПЗП ДЙБЗТБННОПЗП ТСДБ ДБЕФ ЙЪНЕОЕОЙЕ ФЕТНП-

4оБ ВПМШЫЙИ ТБУУФПСОЙСИ r p−0 1 ХДПВОП ЙУРПМШЪПŒБФШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕД-

УФБŒМЕОЙЙ | УН. ЪБДБЮХ 22 Й ОБЮБМП § 38 [1].

7.3. ъбдбюй 34 { 42									145
ДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ˙ − ˙0 Œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.
Σ		1	Σ		1 Σ	Σ		1 Σ	Σ
	+			+			+		+ ...
		2	Σ		3			4	Σ
						Σ		Σ

òÉÓ. 7.1

Б) рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ˙ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ

	1
G¸(i"n; p) = i"n − ‰¸(p) − ˚¸(i"n; p)		;		(7.29)
ЗДЕ ¸ | УРЙОПŒЩК ЙОДЕЛУ, УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
˙ = T	ei"nfi ln G¸(i"n; p) ; fi → +0		:	(7.30)

n;p;¸

В) (ьОФТПРЙС Й ФЕРМПЕНЛПУФШ.) юФПВЩ ЙУРПМШЪПŒБФШ ЖПТНХМХ (7.30) ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, РПМЕЪОП РТЙŒЕУФЙ ЕЕ Л ŒЙДХ, УПДЕТЦБЭЕНХ ŒНЕУФП УХННЩ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН ЙОФЕЗТБМ РП ŒЕЭЕУФŒЕООЩН ЮБУФПФБН. œПУРПМШЪХКФЕУШ ДМС ЬФПЗП РТБŒЙМПН

T	n	f ("n) =	4ıi	th 2T f (") d" ("n = ıT (2n + 1))	(7.31)
			1	"

Й РЕТЕКДЙФЕ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ЛПОФХТХ, ПВИПДСЭЕНХ НОЙНХА ПУШ, ОБ ЛПФПТПК ТБУРПМПЦЕОЩ РПМАУЩ ЖХОЛГЙЙ th("=2T ).

оБКДЙФЕ МЙОЕКОЩК РП T ЮМЕО Œ ФЕРМПЕНЛПУФЙ 5 НЕФБММБ РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ T !D У ХЮЕФПН ЬЖЖЕЛФПŒ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, Œ ЬФПН УМХЮБЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚("; p) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p Й РТЙ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ |"| !D У ИПТПЫЕК ФПЮОПУФША ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН ˚(") = −b" (ÓÍ.

ЪБДБЮХ 29 Й [1], § 21, Ð. 3).

ъБДБЮБ 36. (фЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЙ.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙПООХА ГЕРПЮЛХ (1.20)

	∞
H =	−∞	+ J1ai++1ai + J2ai+ai++1 + J2ai+1ai − Bai+ai ;
	J1ai+ai+1		(7.32)

i=

ПВУХЦДБŒЫХАУС Œ ЪБДБЮБИ 2 Й 20. жХОЛГЙС зТЙОБ ДМС ЬФПК УЙУФЕНЩ ВЩМБ ОБКДЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 20. йУРПМШЪХС ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ОБКДЙФЕ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ˙.

5ьМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ДБЕФ ФБЛЦЕ ОЕМЙОЕКОЩК РП ФЕНРЕТБФХТЕ ŒЛМБД Œ ФЕРМПЕНЛПУФШ НЕФБММБ: ‹C ≈ (T=!D)2 ln (!D=T ) | ÓÍ. [1], § 21, Ð. 4.

146змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ъБДБЮБ 37. (нБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.)

Б) дПЛБЦЙФЕ ФЕПТЕНХ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ, УЖПТНХМЙТПŒБООХА Œ Р. 7.2.1. ъБРЙЫЙФЕ НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ Œ ВБЪЙУЕ ФПЮОЩИ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК ОЕŒПЪНХЭЕООПК УЙУФЕНЩ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒФПТПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ РПМХЮБЕФУС ЙЪ РЕТŒПЗП БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН ЮБУФПФЩ ! У ДЙУЛТЕФОЩИ ЪОБЮЕОЙК 2ıinT ОБ ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ (n > 0) ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ (УН. [1], § 17, § 37, Ð. 2; [6], § 91).

В) йУРПМШЪХС ФЕПТЕНХ ПВ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ, ТЕЫЙФЕ УОПŒБ ЪБДБЮХ 24 В, Œ ЛПФПТПК ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ДЙОБНЙЮЕУЛХА УРЙОПŒХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЙДЕБМШОПЗП

ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

Œ) (ĂрБТБДПЛУĄ.) тБУУНПФТЙН УŒПВПДОЩК УРЙО s = 1=2 РТЙ ФЕНРЕТБФХТЕ T Й ОБКДЕН ЕЗП ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ РП ПФОПЫЕОЙА Л УМБВПНХ ŒОЕЫОЕНХ РПМА ДŒХНС ТБЪМЙЮОЩНЙ УРПУПВБНЙ: РП ЖПТНХМЕ лХВП Й НЕФПДПН БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС. рПУЛПМШЛХ Œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒОЕЫОЙИ РПМЕК ЗБНЙМШФПОЙБО H0 = 0, Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПРЕТБФПТ УРЙОБ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒТЕНЕОЙ. рПЬФПНХ ЛПННХФБФПТ Œ ЖПТНХМЕ лХВП ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, [s¸(t); s¸(t )] = 0 Й, ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД, = 0. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ДБЕФ ЪБЛПО лАТЙ: = ˛—2, ЗДЕ — | НБЗОЙФОЩК

НПНЕОФ. тБЪТЕЫЙФЕ ŒПЪОЙЛБАЭЙК РБТБДПЛУ.

ъБДБЮБ 38. (жМХЛФХБГЙЙ УНЕЭЕОЙК ТЕЫЕФЛЙ.) жМХЛФХБГЙЙ УНЕЭЕОЙК (6.1) БФПНПŒ ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ŒУМЕДУФŒЙЕ ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК Й ФЕРМПŒПЗП ДŒЙЦЕОЙС, ПРЙУЩŒБАФУС ЛПТТЕМСГЙПООПК ЖХОЛГЙЕК u¸(r)u˛ (r ) Ô. œЩТБЪЙФЕ

ЛПТТЕМСФПТ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК		|
|	1		(kuk)eikr ;
CÔ(r) = u (r)u (0) Ô ; u (r) =	k			(7.33)
k

ЮЕТЕЪ ФЕНРЕТБФХТОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(i!n; k) (УН. (7.15), (7.19)), Й РПМХЮЙФЕ ДМС CÔ(r) ПВЭХА ЖПТНХМХ, УРТБŒЕДМЙŒХА РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН ЪБЛПОЕ ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ.

оБКДЙФЕ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК CÔ(r) ДМС ПДОПТПДОПК ЙЪПФТПРОПК ХРТХЗПК УТЕДЩ Œ ТБЪНЕТОПУФСИ D = 1; 2; 3, УЮЙФБС ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ МЙОЕКОЩН. тБУУНПФТЙФЕ CT(r) РТЙ T =0 Й T = 0, ŒЩДЕМСС ´CT(r) = CÔ(r) − C0(r). оБКДЙФЕ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ ЪБŒЙУЙНПУФШ C0(r) É ´CÔ(r) ÏÔ T É r ÐÒÉ T → 0, r → ∞. пРТЕДЕМЙФЕ УРПУПВ ПВТЕЪБОЙС ЙОФЕЗТБМПŒ, ТБУИПДСЭЙИУС ЙОЖТБЛТБУОП (ОБ ВПМШЫЙИ ТБУУФПСОЙСИ)

Й ХМШФТБЖЙПМЕФПŒП (ОБ НБМЩИ ТБУУФПСОЙСИ).

ъБДБЮБ 39. (рЕТЕИПД рБКЕТМУБ: ЛТЙФЙЮЕУЛБС ФЕНРЕТБФХТБ Й ЖМХЛФХБГЙЙ.) œЕТОЕНУС Л ЪБДБЮЕ 32, ЗДЕ ЙЪХЮБМБУШ РБКЕТМУПŒУЛБС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ{ ЗБЪБ, ŒПЪОЙЛБАЭБС ŒУМЕДУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. тБУУНПФТЙН ФЕНРЕТБФХТОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(i!n; k) У ХЮЕФПН ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

a) оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) ÐÒÉ |k| ≈ 2p0 É T EF . тБУУНПФТЙФЕ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК:

CÔ(k) = uk (t) u−k (t) Ô

(7.34)

7.3. ъбдбюй 34 { 42

147

РТЙ k ВМЙЪЛЙИ Л ±2p0. оБКДЙФЕ ФЕНРЕТБФХТХ Tc, РТЙ ЛПФПТПК CÔ(k) → ∞.

В) œВМЙЪЙ ФЕНРЕТБФХТЩ РЕТЕИПДБ T = Tc УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ ĂУНСЗЮБЕФУСĄ. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ŒПЪТБУФБАФ ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ ЗБТНПОЙЛ РПМС УНЕЭЕОЙК u(r; t) У |k| ≈ 2p0.

йОФЕТЕУХАЭХА ОБУ ЮБУФШ РПМС У k ŒВМЙЪЙ	±2p0 НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ:
u(r; t) = Re	Q(r; t) e2ip0r	(7.35)

ЗДЕ Q(r; t) | РМБŒОП ЪБŒЙУСЭБС ПФ ЛППТДЙОБФ ЖХОЛГЙС. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ T ОЕНОПЗП

ŒÙÛÅ Tc УРЕЛФТ ЖМХЛФХБГЙК Q(r; t) ЙНЕЕФ МПТЕОГЕŒ ŒЙД
Qk (t)Q−k (t) =	A	; fi ≡ (T − Tc)=Tc 1 ;	|k| Tc=vF :	(7.36)
	ak2 + fi

оБКДЙФЕ РТПУФТБОУФŒЕООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ЛПТТЕМСФПТБ УНЕЭЕОЙК CÔ(r), ПРТЕДЕМЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙЕН (7.33). пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ŒЩДЕМЕОЙЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ ДМС CÔ(r) УЙМШОП ЖМХЛФХЙТХАЭЕК ЮБУФЙ, ЙЪ ŒУЕК УХННЩ РП !n = 2ınT ПУФБЕФУС ФПМШЛП

ЮМЕО У n = 0. ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ Л ЛМБУУЙЮЕУЛПК ФЕТНПДЙОБНЙЛЕ. œЩТБЦЕОЙЕ (7.36) ОБЪЩŒБАФ ЪБЛПОПН пТОЫФЕКОБ{гЕТОЙЛЕ. пОП ПРЙУЩŒБЕФ ЛПТ-

ТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ ŒВМЙЪЙ Tc Œ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС ДМС

МАВПЗП ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ.

ъБДБЮБ 40. (уŒСЪШ НЕЦДХ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ, ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ Й НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ.)

Б) дПЛБЦЙФЕ УППФОПЫЕОЙС (7.23), УŒСЪЩŒБАЭЙЕ НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ОБ ŒЕТИОЕК (ОЙЦОЕК) НОЙНПК РПМХПУЙ У БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК (ПРЕТЕЦБАЭЕК) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ Œ УППФŒЕФУФŒХАЭХА РПМХРМПУЛПУФШ ЛПНРМЕЛУОПК ЮБУФПФЩ.

В) уХЭЕУФŒХЕФ ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩК НЕФПД ŒЩЮЙУМЕОЙС НБГХВБТПŒУЛЙИ ДЙБЗТБНН, ПРЙТБАЭЙКУС ОБ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ 6. у РПНПЭША ЬФПЗП НЕФПДБ НПЦОП ĂБŒФПНБФЙЪЙТПŒБФШĄ РТПГЕДХТХ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС, ОЕПВИПДЙНХА ДМС РЕТЕИПДБ ПФ НБГХВБТПŒУЛЙИ Л ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН Й ПРЕТЕЦБАЭЙН ЖХОЛГЙСН. лТПНЕ ФПЗП, ПО РПЪŒПМСЕФ ŒЩРПМОЙФШ Œ СŒОПН ŒЙДЕ УХННЙТПŒБОЙЕ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН Œ МАВПК ДЙБЗТБННЕ.

œ ЛБЮЕУФŒЕ РТЙНЕТБ ТБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚(i"n; p) ÍÁ-

ГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП У ЖПОПОБНЙ:
˚(i"n; p) = −g2T i"m		G(i"m; p1)D(i"n − i"m; p − p1)	dp1	:	(7.37)
			(2ı)3

уППФŒЕФУФŒХАЭБС ДЙБЗТБННБ ЙЪПВТБЦЕОБ ОБ ТЙУ. 4.10.

œЩРПМОЙФЕ УХННЙТПŒБОЙЕ Œ (7.37) Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, РПМШЪХСУШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК (7.23), (7.24). рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ 7

˚R("; p) = 2ı2	(2ı)13		d! th	2T	+ cth 2T	×
g2	d3p	∞	∞	"	!
	−∞		−∞
×	Im GR(" ; p1) Im DR(!; p − p1) d" ;					(7.38)
		" − " − ! + i0

6УН. ТБВПФХ: з. н. ьМЙБЫВЕТЗ// цьфж.1960.Ф.39.У.1437, Б ФБЛЦЕ [1], § 21, Ð. 3; [6], § 96.

148змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ŒЕЭЕУФŒЕООЩН " Й !. œЩТБЦЕОЙЕ (7.38) РП УŒПЕК УФТХЛФХТЕ ОБРПНЙОБЕФ РПМХЮЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 24 В ЖПТНХМЩ (5.57), (5.53), ДБАЭЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ РТЙ T = 0 Й СŒОП ХЮЙФЩŒБАЭЙЕ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ, УМЕДХАЭЙЕ ЙЪ

РТЙОГЙРБ РТЙЮЙООПУФЙ.

ъБДБЮБ 41. (дЙОБНЙЛБ ŒВМЙЪЙ РЕТЕИПДБ.) тБУУНПФТЙН ДЙОБНЙЛХ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ Œ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЕ РТЙ ФЕНРЕТБФХТЕ ŒВМЙЪЙ РЕТЕИПДБ рБКЕТМУБ. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП T ОЕУЛПМШЛП ŒЩЫЕ Tc. рТЙ ЬФПН, ЛБЛ НЩ ŒЩСУОЙМЙ Œ ЪБДБЮЕ 39, Œ УЙУФЕНЕ

ЙНЕАФУС УЙМШОЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ РПМС УНЕЭЕОЙК ТЕЫЕФЛЙ У k ŒВМЙЪЙ ±2p0. еУФЕУФŒЕООП ПЦЙДБФШ, ЮФП ДЙОБНЙЛБ ЖПОПОПŒ У ФБЛЙНЙ k СŒМСЕФУС НЕДМЕООПК.

Б) оБКДЙФЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ЙУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОБКДЕООПЕ Œ ЪБДБЮЕ 39.

В) оБКДЙФЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, ПРЙУЩŒБАЭХА ЬЖЖЕЛФ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ ОБ ЖМХЛФХБГЙСИ РПМС УНЕЭЕОЙК ŒВМЙЪЙ Tc. уЮЙФБКФЕ ТБУУЕСОЙЕ УМБВЩН Й ОБКДЙФЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.38) ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА c ĂНСЗЛЙНЙĄ ЖПОПОБНЙ, ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЛПФПТЩИ РПМХЮЕОБ Œ ЮБУФЙ

Á).

ъБДБЮБ 42*. (œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒБО-ДЕТ-œББМШУБ РТЙ T > 0.) тБУУНПФТЙН ДŒБ БФПНБ ОБ ТБУУФПСОЙЙ r ДТХЗ ПФ ДТХЗБ. рТЙ r НОПЗП ВПМШЫЕН ТБЪНЕТБ БФПНПŒ aB = h—2=me2

ПВНЕООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, ПВСЪБООПЕ УŒПЙН УХЭЕУФŒПŒБОЙЕН ФХООЕМЙТПŒБОЙА ЬМЕЛФТПОПŒ, УФБОПŒЙФУС ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМЩН, Й ПУОПŒОЩН СŒМСЕФУС ŒБО-ДЕТ-ŒББМШУПŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ ВМБЗПДБТС ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП РПМС.

рПФЕОГЙБМ ЬФПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЛБЛ РТЙ ОХМЕŒПК, ФБЛ Й РТЙ ЛПОЕЮОПК ФБНРЕТБФХТЕ, НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ БФПНПŒ.

рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ПВМБУФШ РТПУФТБОУФŒБ, Œ ЛПФПТПК ОБИПДСФУС ДŒБ БФПНБ, ЪБРПМОЕОБ ТБŒОПŒЕУОЩН ЙЪМХЮЕОЙЕН У ФЕНРЕТБФХТПК T . оБ ЛБЦДЩК ЙЪ БФПНПŒ УП ŒУЕИ УФПТПО РБДБЕФ УŒЕФ Й, ТБУУЕЙŒБСУШ, ПЛБЪЩŒБЕФ ДБŒМЕОЙЕ. дМС ПДОПЗП БФПНБ УЙМЩ ДБŒМЕОЙС ЛПНРЕОУЙТХАФУС, РПУЛПМШЛХ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЙЪМХЮЕОЙС РП ХЗМБН ЙЪПФТПРОП. еУМЙ ЦЕ ЙНЕЕФУС ŒФПТПК БФПН, ФП ПО ЬЛТБОЙТХЕФ ЮБУФШ ЙЪМХЮЕОЙС, РБДБАЭЕЗП ОБ РЕТŒЩК БФПН, Й РПСŒМСЕФУС ТЕЪХМШФЙТХАЭБС УЙМБ РТЙФСЦЕОЙС 8.

œЩТБЪЙФЕ ЬФХ УЙМХ ЮЕТЕЪ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ БФПНПŒ, УЮЙФБС ЙИ ПУОПŒОЩЕ УПУФПСОЙС ЙЪПФТПРОЩНЙ, Ф. Е. ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЙНЙУС ПТВЙФБМШОЩН ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН L = 0. йУРПМШЪХКФЕ ФЕНРЕТБФХТОЩЕ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЖПФПОПŒ D¸˛ (r1; r2; fi1 − fi2) = − Tfi A¸(r1; fi1)A˛ (r2; fi2) Ô Œ ЛХМПОПŒУЛПК ЛБМЙВТПŒЛЕ A0 = ˘ = 0. œ НБГХВБТПŒУЛПН ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПОЙ ЙНЕАФ ŒЙД

D¸˛ (i!n; k) = −	4ıh—	‹¸˛ +	c2k¸k˛		(7.39)
	!n2=c2 + k2		!n2

(ÓÍ. [1], § 28, ЖПТНХМБ (28.27 В); [6], § 79)

7нОЙНБС ЮБУФШ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (7.38) ПРТЕДЕМЕОБ УФБОДБТФОЩН ПВТБЪПН. œ ЮБУФОПУФЙ, ДМС УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ Im(" − ‰ + i0)−1 = −ı‹(" − ‰).

8еУМЙ ВЩ ŒНЕУФП БФПНПŒ Œ РТПУФТБОУФŒЕ, ЪБРПМОЕООПН ЙЪМХЮЕОЙЕН, ОБИПДЙМЙУШ ДŒБ ПДЙОБЛПŒЩИ НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙИ РПЗМПЭБАЭЙИ ЫБТБ, ФП УЙМБ РТЙФСЦЕОЙС НЕЦДХ ОЙНЙ УРБДБМБ ВЩ ЛБЛ 1=r2. ьФП УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ ДЙБНЕФТЕ ЫБТПŒ a r T a2=ch—. œ XVIII Œ. РПДПВОЩК НЕИБОЙЪН РТЕДМБЗБМУС ДМС ПВ СУОЕОЙС ЪБЛПОБ ФСЗПФЕОЙС.

7.4. теыеойс

149

œБО-ДЕТ-ŒББМШУПŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЕУФШ ЮБУФОЩК УМХЮБК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ, УПУФПСЭЕК ЙЪ ДŒХИ ЙМЙ ВПМШЫЕЗП ЮЙУМБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ РПДУЙУФЕН. лПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС, ОБКДЕООБС Œ ОЙЪЫЕН ОЕЙУЮЕЪБАЭЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА, ŒУЕЗДБ ПФТЙГБФЕМШОБ, РПУЛПМШЛХ ПОБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК РПРТБŒЛХ Л ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ŒФПТПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. дТХЗПК РТЙНЕТ УЙУФЕНЩ, Œ ЛПФПТПК ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС ЙЗТБЕФ ŒБЦОХА ТПМШ

|ЬМЕЛФТПООБС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ (УН. ЪБДБЮЙ 48 В) Й 49).

7.4.тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 34 Б. вХДЕН ТЕЫБФШ ЬФХ ЪБДБЮХ РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 8. тБУУНПФТЙН НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ

G(fi; x; x ) = − Tfi	(x; 0) +(x ; fi ) Ô	(7.40)
Й ЪБРЙЫЕН РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ n(x) Œ ŒЙДЕ
n(x) = 2 lim	G(fi; x; x)	(7.41)

fi →−0

(НОПЦЙФЕМШ 2 ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙО). лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 8, ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ ОБМЙЮЙЙ УФЕОЛЙ РПМХЮБЕФУС НЕФПДПН ЙЪПВТБЦЕОЙК:

G(fi; x; x ) = G0(fi; x; x ) − G0(fi; x; −x ) ;

(7.42)

ÇÄÅ G0(fi; x; x ) | ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ОБ РТСНПК −∞ < x < ∞. пФУАДБ РПМХЮБЕФУС ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ:

n(x) = 2 G0(fi = −0; x = 0) − G0(fi = −0; 2x) :

(7.43)

юФПВЩ ОБКФЙ G0(fi; x), ŒУРПНОЙН, ЮФП ЕЕ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ЕУФШ G0(i!n; p) = 1=(i!n − ‰p). рПЬФПНХ

G0	(fi; x) = T !n	eipx i!nfi dp			:	(7.44)
		i!n	−	‰p 2ı
			−

рЕТЕКДЕН Œ (7.44) Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, ŒЩДЕМСС ПВМБУФЙ ЙНРХМШУПŒ p ≈ ±p0:

	T		e−i!nfi eip0x	ei‰x=vF					e−i‰x=vF
G0(fi; x) =	2ıvF	!n		i!n	‰ d‰ + e−ip0x				i!n ‰ d‰		(7.45)
				−					−
тБУУНПФТЙН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:
				e−i!nfi	ei‰x=vF
					i!n	−	‰ d‰ :				(7.46)
			I(fi; x) = !n

œЩЮЙУМЙН I(fi; x) РТЙ x > 0. ъБНЩЛБС ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, РПМХЮБЕН

			vF
I(fi; x) = 2ıi	e−!n(x+ivF fi )=vF =		−ıi		:	(7.47)
−	!n>0	sh ıT ( x + ifi )

150змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.47) УРТБŒЕДМЙŒП Й РТЙ x < 0. œ ТЕЪХМШФБФЕ

G0(fi; x) = −i	T	eip0x		e−ip0x		ifi ))	;	(7.48)
	2vF	sh (ıT (x=vF	+ ifi )) − sh (ıT (x=vF		−
ПФЛХДБ
			T sin p0x
	G0(fi → −0; x) =			:				(7.49)
			vF sh (ıT x=vF )

фЕРЕТШ, РПМШЪХСУШ (7.43), НПЦОП ОБКФЙ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ:

	2T		vF p		sin (2p0x)			ıT sin (2p0x)	;
n(x) =	vF		ıT	0	− sh (2ıT x=vF )		= n0	1 − vF p0 sh (2ıT x=vF )		(7.50)

ÇÄÅ n0 = 2p0=ı | РМПФОПУФШ ЗБЪБ ŒДБМЙ ПФ УФЕОЛЙ. рТЙ T → 0 ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ПЮЕŒЙДОП, ŒПУРТПЙЪŒПДЙФ ПФŒЕФ ЪБДБЮЙ 8. ъБНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП РТЙ x vF =2ıT ПУГЙММСГЙЙ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ЪБФХИБАФ. иБТБЛФЕТОПЕ ЮЙУМП ПУГЙММСГЙК N ≈ p0vF =ıT ŒЕМЙЛП РТЙ ФЕНРЕТБФХТБИ, НОПЗП НЕОШЫЙИ ЬОЕТЗЙЙ жЕТНЙ.

тЕЫЕОЙЕ 34 В. ьЖЖЕЛФ тХДЕТНБОБ{лЙФФЕМС ТБУУНПФТЙН РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 23. œ РЕТŒХА ПЮЕТЕДШ ОБН РПОБДПВЙФУС НБГХВБТПŒУЛБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. œЩЮЙУМЙН ЕЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 22:

G(i!n; r) =			(2ı)3 i!n − ‰p	= pr		i!n − ‰			d‰ =
			d3p eipr	0	sin(p0 + ‰=vF )r
=	0		ei(p0+‰=vF )r − e−i(p0+‰=vF )r			d‰ =	−	m	eir(p0+i!n=vF )sign !n : (7.51)
	2ipr		i!n − ‰					2ır

фПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 23, ŒЩТБЪЙН РМПФОПУФШ УРЙОБ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ. œУЕ ŒЩЛМБДЛЙ ПФМЙЮБАФУС МЙЫШ ЪБНЕОПК −i ÎÁ −1 Œ ПРТЕДЕМЕОЙСИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Й Œ ПРЕТБФПТЕ ŒПЪНХЭЕОЙС. рПЬФПНХ

			i(r) = 2J Si T				G02(i!n; r) ;			(7.52)
						!n
ÞÔÏ ÐÒÉŒÏÄÉÔ Ë
i(r) = 2J SiT	m		2							(7.53)
					e2ip0r−2!nr=vF +			e−2ip0r+2!nr=vF	:
	2ır				!n>0			!n<0
œЩРПМОСС УХННЙТПŒБОЙЕ РП !n, РПМХЮБЕН
		i	(r) = J S			i m2T	cos(2p0r)			(7.54)
						2ı2r2		:
							sh(2ıT r=vF )

ðÒÉ T → 0 ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РЕТЕИПДЙФ Œ РПМХЮЕООПЕ ТБОЕЕ. дМЙОБ, ОБ ЛПФПТПК ЪБФХИБАФ ПУГЙММСГЙЙ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОПК vF =(2ıT ), ЛБЛ Й ДМС ЖТЙДЕМЕŒУЛЙИ ПУГЙММСГЙК (7.50).