Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Рис. 3.11

Здесь мы, имея в виду упомянутый выше эксперимент по квантовой телепортации, рассматриваем два ортогональных поляризаци-

онных состояния v и h фотона, которые являются базисными состояниями кубита. Поэтому Φ1 описывает некоторое общего

вида состояние этого кубита. Цель состоит в том, чтобы передать состояние (3.106) Бобу, не передавая ему, естественно, сам данный фотон. Никаких сведений об амплитудах a и b, кроме очевидного факта, что |a|2+|b|2=1, у Алисы нет. Более того, располагая только одной частицей, Алиса даже в принципе не может получить полную информацию о комплексных коэффициентах a и b. Это вытекает из самого статуса процедуры квантового измерения, которая представляет собой проектирование на то или иное состояние из полного набора базисных векторов. Случайный результат — кликнул или не кликнул детектор — одного акта измерения свидетельствует только о присутствии или отсутствии выбранного базисного состояния в измеряемом состоянии. А повторить измерение уже

281

нельзя, так как исходное состояние, вообще говоря, разрушается самим процессом первого измерения.

Оказывается, тем не менее, что состояние (3.106) можно передать Бобу. И в этом суть протокола квантовой телепортации. Для этого используется вспомогательная пара частиц 2 и 3, находящихся в перепутанном квантовом состоянии. Пусть источник таких ЭПР-пар (Эйнштейн – Подольский – Розен) дает состояние

	Ψ(−)	23	=	1	(		v 2		h 3 −		v 3		h 2 ).	(3.107)
				2

Одна из частиц этой пары, например 2, попадает к Алисе, а другая

(3) направляется к Бобу. Из выражения (3.107) видно, что ни та, ни другая частица не имеют определенной поляризации. Другими словами, ни одна из частиц не несет информацию о поляризационном состоянии.

Состояние всей трехчастичной системы имеет вид

Ψ

123

=

Φ

Ψ(−)23 =

1

=

1

(a

v 1 +b

h )(

v 2

h 3 −

v 3

h 2 ).

(3.108)

2

Разложим это состояние по полному ортонормированному набору состояний Белла

Ψ( )12 = 12 ( v1 h2 h1 v2 ),

(3.109)

Φ( )12 = 12 ( v1 v2 h1 h2 )

для пары частиц 1 и 2. Для этого достаточно перемножить все члены в правой части выражения (3.108), а получившиеся двухчастич-

ные состояния v1 v2 , v1 h2 , h1 v2 , h1 h2 выразить через состояния Белла (3.109).

282

В результате элементарного вычисления получаем

Ψ123

= 1 {−(a

v 3 +b

h 3 )

Ψ (−)12 −

2

− (a

v 3 − b

h 3 )

Ψ (+) 12 +

(3.110)

+ (a

h 3 +b

v 3 )

Φ(−)12 + (a

h 3 − b

v 3 )

Φ(+ )12

}.

Напоминаем, что Алиса располагает двумя частицами. Одна из них

(1) находится в состоянии Φ1 , которое подлежит телепортирова-

нию, а другая (2) является одним из партнеров вспомогательной ЭПР-пары. Алиса производит совместное измерение состояния этих двух частиц (1 и 2), используя базис состояний Белла (3.109). Если система детектирования позволяет спроектировать на любое из четырех состояний Белла, то, как видно из выражения (3.110), при любом результате измерения частица 3 будет находиться в состоянии, которое однозначно связано с передаваемым состоянием. Эти состояния суть те векторы, которые стоят в круглых скобках перед каждым состоянием Белла в выражении (3.110). Если, например, в результате измерения Алиса зарегистрировала состоя-

ние Ψ12(−) , то состояние частицы 3, находящейся у Боба, в точно-

сти совпадает с исходным состоянием Φ1 . Если зарегистрирова-

но состояние Φ12(−) , то состояние частицы 3 должно быть под-

вергнуто унитарному преобразованию σ1 . Тогда оно перейдет в исходное состояние, так как

σ1 (a		h 3 +b		v 3 )= a		v 3 +b		h 3 .	(3.111)

Напомним, что преобразование σ1 является логическим гейтом NOT. В двух оставшихся случаях потребуются, как легко увидеть, однокубитные операции σ3 и σ3σ1 соответственно.

Чтобы завершить протокол квантовой телепортации, Алиса передает Бобу через классический канал связи информацию о

283

результате измерения состояний Белла, а Боб производит соответствующее унитарное преобразование состояния частицы 3, которое в результате будет точно совпадать с исходным состоянием частицы 1. Поскольку Алиса случайным образом получает одно из четырех возможных состояний Белла, то сообщая Бобу полученный результат, она передает ему 2 бита классической информации.

Таким образом, мы видим, что концепция перепутывания квантовых состояний является ключевым элементом квантового канала передачи информации. Еще один принципиально новый момент, проявившийся в квантовой телепортации, состоит в том, что информация о квантовом состоянии может быть физически разложена на две составляющие – сугубо классическую и чисто квантовую, а потом восстановлена из них обратно. Квантовая составляющая «записана» в виде корреляций ЭПР-пары и сама по себе не содержит никакой информации о начальном квантовом состоянии, так же как и классическая составляющая. Однако после того как классическая и квантовая компоненты вновь объединяются, они полностью определяют исходное квантовое состояние.

Список используемой литературы (источники)

1.Китаев А.Ю. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправления ошибок

//УМН. 1997.–192с.

2.Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления. –

М.: МЦНМО, ЧеРо, 1999. – 192с.

3.Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация

/Пер. с англ. – М.: Мир, 2006.–824с.

4.Квантовые вычисления: За и против. – Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. – 212с.

5.Квантовый компьютер и квантовые вычисления. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999. – 288с.

284

Физические методы манипулирования квантовой информацией

Г л а в а 4

ФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МАНИПУЛИРОВАНИЯ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

______________________________________________________

Содержание

Ионная ловушка Пауля. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля. Двухкубитовый фазовый гейт. Гейт CNOT. Логические элементы на атомах в резонаторах. Экспериментальная реализация квантовой телепортации.

Данная глава ставит своей целью познакомить читателя с некоторыми физическими процессами и методами, которые используются для манипулирования квантовой информацией. Мы ограничились лишь схематическим описанием нескольких физических систем, поскольку их содержательное обсуждение требует далеко выходящего за рамки данной книги объема сведений из различных разделов современной физики.

4.1. Ионы в ловушке как управляемый квантовый регистр

В этом разделе на примере ионов в линейной ловушке мы рассмотрим вопрос о том, каким образом можно реализовать устройство, которое с помощью логических гейтов манипулирует квантовым регистром, состоящим из кубитов. В принципиальном плане такое логическое устройство является «кирпичиком», который нужен для построения квантового компьютера.

Ионная ловушка Пауля

Система, о которой идет речь, представляет собой цепочку ионов в линейной ловушке Пауля. Это, если угодно, искусственный одномерный кристалл, параметры которого можно варьировать в широких пределах. С одной стороны, ионы обладают богатой структурой внутренних состояний, что позволяет не только выбрать подходящий базис для кубита, но и иметь в распоряжении удобные атомные переходы для управления и считывания кубита, а также сильные переходы для лазерного охлаждения ионов. С дру-

286

гой стороны, наличие заряда существенно упрощает проблему пространственного удержания ионов в ловушке при соответствующем охлаждении.

Типичная температура ионов, которая требуется для их удержа-

ния, должна быть порядка 10−3 К. А вот для эффективного применения системы в качестве квантового регистра нужны температуры на два порядка ниже.

Рис. 4.1

На рис. 4.1 показана для иллюстрации структура уровней ионов кальция и бериллия. Для ионов 40 Ca+ базисом кубита могут быть

основное состояние g = 2 S1/ 2 и метастабильное возбужденное состояние e = 2 D5/ 2 со временем жизни порядка одной секун-

ды. Кубит показан двумя темными кружками.

Для лазерного охлаждения используется сильный переход

2 S	—	2 P	(с дополнительной подкачкой на переходе		2 D	—
1/ 2		1/ 2			3/ 2
2 P	. В	ионах 9 Be+		кубитом являются два подуровня сверх-
1/ 2

тонкой структуры основного состояния. Для управления таким кубитом используется показанный стрелками двухфотонный рама-

новский переход через промежуточное 2 P1/ 2 состояние посредством двух лазерных пучков.

287

Рис. 4.2

Один из вариантов линейной ловушки Пауля схематически показан на рис. 4.2. Четыре продольных стержня, к которым приложены постоянный и переменный высокочастотный потенциалы, создают поле с квадрупольной конфигурацией, которое обеспечивает динамическое удержание ионов в поперечном направлении, В направлении оси ловушки ионы удерживаются с помощью электростатического поля, создаваемого кольцевыми электродами. Поперечный линейный размер области конфайнмента гораздо меньше продольного, так что ионы совершают квазиодномерное движение вдоль оси z в поле, которое с хорошей степенью точности описывается потенциалом гармонического осциллятора. Частоты ради-

альных и продольных колебаний иона, ωr и ωz , зависят от конст-

рукционных особенностей той или иной ловушки Пауля. Чтобы дать представление о масштабах этих величин, скажем, например, что в линейной ловушке для ионов кальция, которая работает в

Инсбруке, типичные частоты составляют ωr / 2π	1, 2 МГц и
ωz / 2π 200 кГц . Энергия колебательного кванта	ωz отвечает

температуре порядка 10−5 К. Если в ловушку помещены несколько

288

ионов, то в результате сильного кулоновского отталкивания, которое уравновешивается удерживающим потенциалом, ионы образуют одномерную цепочку. В упомянутой выше линейной ловушке в Инсбруке реализованы цепочки, содержащие несколько десятков ионов, расстояние между которыми составляет порядка 10 мкм. Эта последняя характеристика тоже очень важна, поскольку такие расстояния позволяют воздействовать лазерным излучением на внутренние состояния каждого иона отдельно, т.е. индивидуально управлять каждым кубитом.

Модель Джейнса-Каммингса-Пауля

Напомним некоторые простые сведения из квантовой теории одномерного гармонического осциллятора (см. главу 1). В матричной формулировке такая система описывается гамильтонианом

ˆ	=	+	a +1/ 2),	(4.1)
H0		ω(a

где ωz ≡ ω и означает частоту колебаний вдоль оси ловушки. Опе-

раторы уничтожения a и рождения a+ подчиняются бозонным коммутационным соотношениям

[aa] =[a+a+ ] = 0, [aa+ ] =1.

(4.2)

Собственные состояния n гамильтониана

ˆ	n	= εn n	(4.3)
H0

отвечают собственным значениям энергии

εn = ω(n +1/ 2), n = 0,1, 2,…

(4.4)

В рассматриваемой нами ситуации номер квантового состояния n, который принимает целочисленные значения, выступает как число «фононов» – колебательных возбуждений системы. Действие опе-

289

раторов a и a+ на собственные энергетические состояния

a		n = n		n −1 , a+		n −1 = n		n	(4.5)

соответствует процессам поглощения или рождения одного элементарного возбуждения.

Ниже нам понадобится выражение для оператора координаты zˆ через a и a+ , которое имеет вид

	zˆ =		(a + a+ ).	(4.6)
		2Mω
	Входящая сюда величина z0 ≡	Mω , где М — масса частицы,

является характерным масштабом длины для одномерного гармонического осциллятора. Например, она определяет ширину гауссовского волнового пакета

			z	2
ψ0	(z) exp	−				,	(4.7)
				2
			2z0

который описывает координатную волновую функцию основного состояния осциллятора.

Цепочка ионов в ловушке может колебаться как целое, без изменений расстояния между частицами. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением именно этого низкочастотного колебания центра инерции. К нему применимы все написанные выше соотношения. Надо только под M понимать массу всей цепочки, а не одного иона. Подчеркнем, что из-за большой массы иона ширина

z0 колебательного волнового пакета, по крайней мере, для не

слишком больших n, значительно меньше расстояния между частицами.

Отметим также, что есть и другие, более высокочастотные моды возбуждений, когда расстояние между ионами в цепочке меняется. Такие моды называют «дышащими».

290