Общая теория статистики Назаров

Глава 9. Показатели вариации

221

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не об ладающих им, и исчисляется по формуле

σ 2 = (1 − p)2 p + (0 − p)2 q = q2 p + p2q = (p + q)pq = pq.
p + q	p + q	p + q

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака есть корень квадратный из произведения долей единиц, обладаю щих и не обладающих данным альтернативным признаком:

σ = pq .

Правило сложения дисперсий. Это правило применяется в том случае, когда совокупность разбита на две или более группы по ка кому либо факторному признаку, предположительно оказывающе му влияние на вариацию исследуемого результативного признака.

Существуют следующие виды дисперсий в совокупности, раз деленной на группы:

•общая дисперсия;

•межгрупповая дисперсия;

•средняя из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия позволяет измерить вариацию признака в сово купности под влиянием всех факторов, обусловивших данную вари ацию. Общая дисперсия рассчитывается по следующей формуле:

σ2 = ∑ (xi − x)2 fi .

∑fi

Межгрупповая дисперсия характеризует различия в величине изу чаемого признака, возникающие под влиянием факторного при знака, положенного в основание группировки. Таким образом, дан ная дисперсия отражает систематическую вариацию и исчисляется по формуле

δ2 = ∑(xi − x)2ni ,

x ∑ ni

–

где x — общая средняя изучаемого показателя;

xi – групповые средние;

ni – численности по отдельным группам.

222	Глава 9. Показатели вариации

Внутригрупповая дисперсия отражает часть вариации, проис ходящей под влиянием неучтенных факторов и не зависящей от факторного признака, положенного в основание группировки. Она отражает случайную вариацию и определяется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий равна:

Закон, связывающий три вида дисперсий, принято называть правилом сложения дисперсий. Согласно правилу общую диспер сию можно рассчитать как сумму дисперсии, возникающей под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, появляющейся за счет группировочного признака:

В статистическом анализе широко используют коэффициент, который показывает долю (удельный вес) общей вариации изучае мого признака, обусловленную вариацией группировочного при знака. Этот показатель носит название эмпирического коэффици ента детерминации и рассчитывается по формуле

η2 = δ x2 .

σ2

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерми нации есть эмпирическое корреляционное отношение:

η =	δ 2
	x	.
	σ 2

Данный показатель характеризует влияние признака, положен ного в основание группировки, т.е. факторного признака на вари ацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от нуля до единицы.

Тесты

223

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение понятию вариации признака.

2.Перечислите абсолютные показатели вариации.

3.Что характеризуют относительные показатели вариации?

4.С помощью какого показателя вариации оценивается одно родность совокупности?

5.Как взаимосвязаны общая дисперсия, межгрупповая диспер сия и средняя из внутригрупповых дисперсий?

6.Как измеряется вариация альтернативных признаков?

7.В чем состоит различие расчета показателей вариации для сгруппированных и несгруппированных данных?

Тесты

1. Что такое вариация признака?

А. Различия индивидуальных значений признака у единиц со вокупности.

Б. Колеблемость, многообразие, изменяемость величины при знака у отдельных единиц совокупности.

В. Значение признака, приходящееся на середину ранжирован ной совокупности.

Г. Обобщенная характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

2.Какие показатели используются для изучения и измерения вариации?

А. Величина интервала.

Б. Среднее линейное отклонение. В. Средний квадрат отклонений. Г. Коэффициент осцилляции.

3.Какой коэффициент вариации имеет наименьшую степень финансового риска?

А. 11%. Б. 17%. В. 33%. Г. 40%.

224	Глава 9. Показатели вариации

4. Что характеризует величина общей дисперсии? А. Вариацию альтернативного признака.

Б. Систематическую вариацию, т.е. различия в величине изуча емого признака, которые возникают под влиянием фактора, поло женного в основу группировки.

В. Случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов.

Г. Вариацию признака под влиянием всех факторов, формиру ющих уровень признака у единиц данной совокупности.

5.Что характеризует систематическую вариацию? А. Дисперсия альтернативного признака.

Б. Межгрупповая дисперсия. В. Внутригрупповая дисперсия.

Г.Общая дисперсия.

6.Чему равна дисперсия альтернативного признака?

А. p + q. Б. p q. В. p – q.

Г.p : q.

7.Что характеризует средняя из внутригрупповых дисперсий? А. Вариацию признака под влиянием всех факторов, формиру

ющих уровень признака у единиц данной совокупности?

Б. Случайную вариацию, т.е. часть вариации, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов и не зависящую от призна ка фактора, положенного в основание группировки.

В. Различия в величине изучаемого признака, которые возни кают под влиянием признака фактора, положенного в основание группировки.

Г. Вариацию признака результата, сложившуюся под влияни ем изучаемого фактора.

8. Чью долю показывает эмпирический коэффициент детерми нации?

А. Межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Б. Общей вариации изучаемого признака, обусловленную вари ацией группировочного признака.

Тесты

225

В. Внутригрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Г. Межгрупповой дисперсии в средней из внутригрупповых дис персий.

9. В каках пределах изменяется эмпирическое корреляционное отношение?

А. От 0 до 1.

Б. От –1 до +1. В. От –1 до 0.

Г. От –0,5 до +0,5.

Глава 10. РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

10.1. Понятие, виды рядов распределения и их построение

Составной частью сводной обработки данных статистического наблюдения является построение рядов распределения. Его цель заключается в выявлении основных свойств и закономерностей исследуемой совокупности.

Статистический ряд распределения представляет собой упорядо ченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Ряды распределения, построенные по качественным (атрибутив ным признакам), называются атрибутивными. Например, распре деления населения по полу, занятости, национальной принадлеж ности и т.д.

Для того чтобы построить атрибутивный ряд распределения, до статочно определить количество единиц изучаемой статистической совокупности, обладающих тем или иным значением признака, выраженным смысловым понятием.

В табл. 10.1 представлен атрибутивный ряд распределения рас ходов консолидированного бюджета Российской Федерации на со циально культурные мероприятия в 2006 г.

Ряды распределения, построенные по количественному призна ку, называются вариационными. Например, распределение населе ния по возрасту, среднедушевому денежному доходу и т.д.

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот.

Числовые значения количественного признака в вариационном ряду распределения называются вариантами (xi).

10.1. Понятие, виды рядов распределения и их построение

227

		Таблица 10.1
Расходы консолидированного бюджета Российской Федерации
на социально культурные мероприятия в 2006 г.
Показатель	Млрд руб.		% к итогу
Расходы – всего	4 554,9		100
В том числе:
на образование	1 033,3		22,7
на культуру, кинематографию и средства
массовой информации	188,7		4,1
на здравоохранение и спорт	1 074,7		23,6
на социальную политику	2 258,2		49,6

Частотными показателями любого ряда распределения являют ся абсолютная численность i0й группы — частота fi и относитель ная частота — частость di, где Σfi = n, а Σdi = 1 или 100%.

Кумулятивная (накопленная) частота (Si) характеризует объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих xi. Ку мулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот, например:

S1 = f1; S2 = f1 + f2; S3 = f1 + f2 + f3 и т.д.

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации под разделяются на дискретные и интервальные.

По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки отличаются друг от друга на не которую конечную величину, т.е. даны в виде прерывных чисел. Например, число детей в семье, тарифный разряд рабочих, число работников предприятия и т.д. Непрерывные признаки могут от личаться один от другого на сколь угодно малую величину и в оп ределенных границах принимать любые значения. Например, за работная плата работников, размер среднедушевого денежного дохода, стоимость основных фондов предприятия и т.д.

Для построения вариационного ряда все значения признака (ва рианты) должны быть ранжированы или упорядочены, т.е. распо ложены в порядке возрастания или убывания. Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, состоящей из двух колонок (или строк), в одной из которых приводятся варианты, а в другой — час тоты.

228	Глава 10. Ряды распределения

При построении дискретного ряда с небольшим числом вари антов достаточно указать все встречающиеся варианты значений признака (xi), а затем подсчитать частоту повторения каждого ва рианта (fi). Например, распределение квартир жилого дома по чис лу жилых комнат характеризуется данными табл. 10.2.

			Таблица 10.2
Количество	Число квартир fi	Частость di	Накопленная
комнат xi			частота Si
1	36	0,23	36
2	81	0,53	117
3	18	0,12	135
4	9	0,06	144
5	9	0,06	153

Представленный в табл. 10.2 дискретный ряд распределения со стоит из пяти групп. Вместо абсолютного числа квартир, имеющих определенное количество комнат, можно установить их долю в об щем количестве квартир:

d =	fi	.
i	∑ fi

При анализе вариации непрерывного признака, а также в тех случаях, когда число вариантов дискретного признака достаточно велико, строятся интервальные ряды распределения. Для этого не обходимо установить оптимальное число групп (интервалов), на которое следует разбить все единицы изучаемой совокупности. При группировке внутри однородной совокупности появляется возмож ность применения равных интервалов, число которых зависит от вариации признака в совокупности и от количества обследованных единиц.

Число групп для ряда с равновеликими интервалами можно оп ределить по формуле Стерджесса: k = 1 + 3,322lgN, где N – общее число изучаемых единиц совокупности. Полученная величина ок ругляется до целого значения.

Величина интервала определяется по формуле

h = xmax − xmin ,

k

где xmax — максимальное значение признака; xmin — минимальное значение признака.

10.1. Понятие, виды рядов распределения и их построение

229

Величина интервала должна определяться в соответствии с точ ностью данных наблюдения. Значение величины интервала позво ляет определить границы всех интервалов ряда распределения. Нижнюю границу первого интервала целесообразно принимать равной минимальному значению признака. В случае построения интервальных рядов для непрерывных признаков имеет место со впадение верхних границ предшествующих интервалов и нижних границ следующих за ними интервалов. При этом значение верх ней границы предшествующего интервала, как правило, включа ется в следующий за ним интервал. В интервальных рядах распре деления дискретных признаков отнесение единиц совокупности в тот или иной интервал не вызывает затруднений, так как между верхней границей одного интервала и нижней границей смежного интервала существует разрыв.

Неравномерные интервалы применяются в статистике, когда значения признака варьируются неравномерно и в значительных размерах. Неравномерные интервалы могут быть прогрессивно воз растающими или убывающими в арифметической или геометри ческой прогрессии, а также произвольными.

Если приведен вариационный ряд с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения не обходимо рассчитать абсолютную и относительную плотность рас пределения (miа, miо), для определения которых используют следу ющие формулы:

mа =	fi	, mо =	di	.
i	hi	i	hi

Эти показатели используют для преобразования интервалов, что бывает необходимо при сравнительной оценке данных, собранных по различным совокупностям и по разному обработанных.

Пример. Имеются следующие данные по объему инвестиций в основной капитал предприятий области в 2006 г., млн руб.

			Таблица
Предприятие	Объем инвестиций	Предприятие	Объем инвестиций
	в основной капитал		в основной капитал
1	77,7	27	49,2
2	50,6	28	70,2
3	51,8	29	37,3
4	78,5	30	30,6
5	71,4	31	76,5

230 Глава 10. Ряды распределения

			Окончание табл.
Предприятие	Объем инвестиций	Предприятие	Объем инвестиций
	в основной капитал		в основной капитал
6	33,2	32	95,8
7	62,5	33	46,7
8	39,4	34	55,3
9	85,6	35	90,2
10	60,9	36	68,1
11	93,7	37	25,8
12	28,4	38	40,9
13	36,8	39	50,5
14	18,5	40	53,5
15	69,4	41	52,0
16	58,4	42	53,3
17	35,1	43	56,4
18	38,2	44	54,6
19	57,2	45	53,8
20	32,8	46	56,0
21	94,0	47	55,2
22	34,0	48	48,3
23	79,5	49	67,6
24	59,6	50	66,3
25	20,9	51	65,7
26	59,0	52	60,1

По имеющимся данным построим интервальный вариационный ряд распределения с равными интервалами.

Для данного примера согласно формуле Стерджесса при n = 52 число групп k = 6. Зная число групп, определим величину интерва ла по формуле

h = xmax − xmin = 95,8 − 18,5 ≈ 13.

k6

Врезультате получим следующий ряд распределения предприя тий области по объему инвестиций в основной капитал.

	Таблица
Объем инвестиций в основной капитал xi,	Число предприятий fi
млн руб.
18—31	5
31—44	9